Číslo

NumeralsEdit

Čísla by měla být odlišena od číslice, symboly používané k reprezentaci čísla. Egypťané vynalezl první šifrované číselné soustavě, a Řekové následuje mapování jejich počítání čísla na Iónské a Dórské abecedy., Římské číslice, systém, který používá kombinace písmen z latinky, zůstal dominantní v Evropě, dokud šíření superior Hind–arabské číslice systém kolem konce 14. století, a Hind–arabské číslice, systém zůstává nejběžnější systém pro reprezentaci čísla v dnešním světě. Klíčem k účinnosti systému byl symbol pro nulu, který byl vyvinut starověkými indickými matematiky kolem roku 500 nl.,

První použití numbersEdit

Kosti a další artefakty byly objeveny s značky nakrájíme je, že mnozí věří, že jsou ověřovací značky. Tyto tally značky mohou být použity pro počítání uplynulého času, jako je počet dnů, lunární cykly nebo vedení záznamů o množství, například zvířat.

tallingový systém nemá žádnou koncepci hodnoty místa (jako v moderní desítkové notaci), která omezuje jeho reprezentaci velkých čísel. Nicméně tallying systémy jsou považovány za první druh abstraktního číselného systému.,

první známý systém s hodnotou místa byl systém Mezopotámské základny 60 (c. 3400 ) a nejstarší známá základna 10 systém pochází z roku 3100 v Egyptě.

zero Edit

první známé zdokumentované použití nulových dat do AD 628, a objevil se v Brāhmasphuṭasiddhānta, hlavním díle Indického matematika Brahmagupty. S 0 zacházel jako s číslem a diskutoval o operacích, které se ho týkají, včetně rozdělení. V této době (7. století) koncepce jasně dosáhl v Kambodži Rudých číslice a dokumentace ukazuje myšlenku, později se šíří do Číny a Islámského světa.,

Brahmagupta je Brāhmasphuṭasiddhānta je první kniha, která zmiňuje, nula jako číslo, proto Brahmagupta je obvykle považován za první formulovat koncept nuly. Dal pravidla používání žádné negativní a pozitivní čísla, jako je „nula plus kladné číslo je kladné číslo, záporné číslo plus nula je záporné číslo.,“Brāhmasphuṭasiddhānta je nejstarší známý text k léčbě nula jako číslo v jeho vlastní pravý, spíše než jednoduše jako zástupný symbol číslice představující další číslo, jako bylo provedeno Babyloňané, nebo jako symbol pro nedostatečné množství, jako to bylo provedeno tím, že Ptolemaios a Římané.

použití 0 jako čísla by mělo být odlišeno od jeho použití jako zástupné číslice v systémech s hodnotou místa. Mnoho starověkých textů používalo 0. Používaly ho babylonské a Egyptské texty. Egypťané používali slovo nfr k Označení nulového zůstatku v účetnictví s dvojitým vstupem., Indické texty používaly sanskrtské slovo Shunye nebo shunya, aby odkazovaly na pojem void. V matematických textech toto slovo často odkazuje na číslo nula. V podobném duchu, Pāṇini (5. století před naším LETOPOČTEM) používali null (nula) provozovatel v Ashtadhyayi, časný příklad algebraické gramatiky Sanskrtu (viz též Pingala).

před Brahmaguptou existují další použití nuly, i když dokumentace není tak úplná jako v Brāhmasphuṭasiddhāntě.,záznamy

ukazují, že starověcí Řekové si nebyli jisti stavem 0 jako čísla: ptali se sami sebe: „jak nemůže být“ nic “ něco?“vedoucí k zajímavým filozofickým a středověkým obdobím, náboženským argumentům o povaze a existenci 0 a vakua. Paradoxy Zeno Elea závisí částečně na nejisté interpretaci 0. (Starověcí Řekové se dokonce ptali, zda 1 bylo číslo.,)

pozdní Olmec lidé z jihu-centrální Mexiko začal používat symbol pro nulu, shell glyph, v Novém Světě, možná do 4. století před naším LETOPOČTEM, ale určitě o 40 PŘ. n. l., který se stal nedílnou součástí Maya číslice a mayského kalendáře. Mayská aritmetika používala základnu 4 a základnu 5 psanou jako základ 20. George I. Sánchez v roce 1961 ohlásil základnu 4, základnu 5 „finger“ abacus.

130 AD, Ptolemaios, ovlivněn Hipparchos a Babyloňané, bylo použití symbolu pro 0 (malé kružnice s dlouhou overbar) v šedesátinný číslice systém, jinak používat abecední řecké číslice., Protože byla použita sama, ne jako zástupný symbol, byla tato helénistická nula prvním zdokumentovaným použitím skutečné nuly ve Starém světě. V pozdějších byzantských rukopisech jeho syntaxe Mathematica (Almagest) se helénistická nula proměnila v řecké písmeno Omicron (jinak znamená 70).

Další pravá nula byla použita v tabulkách vedle římských číslic o 525 (první známé použití Dionysius Exiguus), ale jako slovo, nulla znamenat nic, ne jako symbol. Když divize produkoval 0 jako zbytek, nihil, také znamenat nic, byl použit., Tyto středověké nuly byly použity všemi budoucími středověkými komputisty (kalkulačky Velikonoc). Izolované použití jejich počátečního, N, bylo použito v tabulce římských číslic Bede nebo kolegou asi 725, skutečný nulový symbol.

Záporná čísla Upravit

abstraktní pojem záporná čísla byla uznána již jako 100-50 před naším LETOPOČTEM v Číně. Devět kapitol o matematickém umění obsahuje metody pro nalezení oblastí čísel; červené pruty byly použity k označení pozitivních koeficientů, černé pro negativní., První zmínka v západním díle byla ve 3.století nl v Řecku. Diophantus odkazoval na rovnici ekvivalentní 4x + 20 = 0 (řešení je negativní) v aritmetice, říkat, že rovnice dala absurdní výsledek.

během 600. let se v Indii používala záporná čísla k reprezentaci dluhů. Diophantus‘ předchozí odkaz byl projednán více výslovně Indický matematik Brahmagupta, v Brāhmasphuṭasiddhānta v 628, kdo používá záporná čísla na výrobu obecný tvar kvadratické rovnice, která zůstává v použití dnes., Nicméně, v 12. století v Indii, Bhaskara dává negativní kořeny kvadratické rovnice, ale říká, že negativní hodnota „je v tomto případě nesmí být přijato, protože to je nedostatečné; lidé nesouhlasí negativní kořeny“.

Evropské matematici, pro nejvíce se rozdělit, bránil pojem záporná čísla až do 17. století, i když Fibonacciho dovoleno negativní řešení finančních problémů, kde by mohly být interpretovány jako dluhy (kapitola 13 Liber Počítadla, 1202) a později jako ztráty (v Flos)., Současně Číňané označovali záporná čísla nakreslením diagonálního tahu pravou nenulovou číslicí odpovídající číslice kladného čísla. První použití negativních čísel v Evropském díle bylo Nicolasem Chuquetem během 15. století. Použil je jako exponenty, ale označil je za „absurdní čísla“.

Jako nedávno, v 18. století bylo běžnou praxí, aby ignorovat všechny negativní výsledky se vrátil do rovnice za předpokladu, že jsou nesmyslné, stejně jako René Descartes udělal s negativní řešení v souřadnicové soustavy.,

Rational numbers Edit

je pravděpodobné, že pojem frakční čísla se datuje do pravěku. Staří Egypťané používali jejich egyptský zlomek notaci pro racionální čísla v matematických textech, jako je Rhind matematický Papyrus a Kahun Papyrus. Klasické řecké a indické matematici provedli studie teorie racionálních čísel jako součást obecné studie teorie čísel. Nejznámější z nich jsou Euclidovy prvky, které se datují zhruba do roku 300 př.n. l., Z indických textů je nejdůležitější Sthananga Sutra, která také pokrývá teorii čísel jako součást obecného studia matematiky.

koncept desetinných zlomků je úzce spojen s notací desetinné místo-hodnota; zdá se, že se oba vyvinuli v tandemu. Například je běžné, že Jain math sutra zahrnuje výpočty aproximací desetinných zlomků na pi nebo druhou odmocninu 2. Podobně Babylonské matematické texty používaly sexagesimální (základní 60) frakce s velkou frekvencí.,

Iracionální čísla Upravit

nejstarší známé použití iracionálních čísel byl v Indickém Sulba Sútry složený mezi 800 a 500 před naším LETOPOČTEM. První důkazy existence iracionálních čísel je obvykle připisován Pythagorovi, konkrétně Pythagorova Hippasus Metapontu, kdo vyrábí (většinou geometrické) důkaz iracionality odmocniny ze 2. Příběh pokračuje, že Hippasus objevil iracionální čísla, když se snažil reprezentovat druhou odmocninu 2 jako zlomek., Pythagoras však věřil v absolutnost čísel a nemohl přijmout existenci iracionálních čísel. Nemohl vyvrátit jejich existenci přes logiku, ale nemohl přijmout iracionální čísla, a tak, údajně, a často hlásil, že odsouzen Hippasus k smrti utopením, aby bránila šíření této znepokojující zprávy.

16. století přineslo konečné Evropské přijetí negativních integrálních a zlomkových čísel. Do 17. století matematici obecně používali desetinné zlomky s moderní notací., To nebylo, nicméně, až do 19. století, že matematici odděleny irrationals do algebraické a transcendentní části, a ještě jednou se ujal vědecké studie irrationals. To zůstalo téměř spící, protože Euclid. V roce 1872 vznikla publikace teorií Karla Weierstrasse (jeho žáka e.Kossaka), Eduarda Heina, Georga Cantora a Richarda Dedekinda. V 1869, Charles Méray vzal stejný výchozí bod jako Heine, ale teorie je obecně odkazoval se na rok 1872., Weierstrass metoda byla zcela stanovené Salvatore Pincherle (1880), a Dedekind obdržel další výtečnosti přes autorovu pozdější práci (1888) a potvrzení Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, a Heine jejich teorie na nekonečné řadě, zatímco Dedekind zakládá na myšlence snížit (Schnitt) v systému reálných čísel, oddělující všech racionálních čísel na dvě skupiny, které mají určité charakteristické vlastnosti. Předmět obdržel pozdější příspěvky z rukou Weierstrasse, Kroneckera a Méraye.,

hledat kořeny pátého stupně a vyšší stupeň rovnice byl důležitý vývoj, Abel–Ruffini teorém (Ruffini 1799, Abel 1824) ukázal, že nemohou být vyřešeny radikály (vzorce zahrnující pouze aritmetické operace a kořeny). Proto bylo nutné zvážit širší soubor algebraických čísel (všechna řešení polynomiálních rovnic). Osnova (1832) propojené polynomiální rovnice do teorie grup, což vede k oblasti Galois teorie.,

Pokračovat frakce, úzce souvisí s iracionální čísla (a vzhledem k Cataldi, 1613), získal pozornost na rukou Euler, a při otevření 19. století byly přivezeny do popředí přes spisy Joseph Louis Lagrange. Další pozoruhodné příspěvky byly provedeny Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), a Günther (1872). Ramus první připojený objekt s determinanty, což, s následným příspěvky Heine, Möbius, a Günther, v teorii Kettenbruchdeterminanten.,

Transcendentální čísla a reals Upravit

existenci transcendentální čísla byla nejprve stanovena o Liouville (1844, 1851). Hermite v roce 1873 dokázal, že E je transcendentální a Lindemann v roce 1882 dokázal, že π je transcendentální. Konečně, Cantor ukázal, že soubor všech reálných čísel je neuvěřitelně nekonečný, ale soubor všech algebraických čísel je počítatelně nekonečný, takže existuje nekonečný počet transcendentálních čísel.,

Nekonečno a drobnosti Upravit

nejstarší známé pojetí matematické nekonečno objeví v Yajur Vedě, starověké Indické skript, který na jednom místě uvádí, „Pokud jste odstranit část z nekonečna nebo přidání součástí do nekonečna, co stále zůstává, je nekonečno.“Nekonečno bylo oblíbeným tématem filozofického studia mezi matematiky Jain c. 400 . Rozlišovali mezi pěti typy nekonečna: nekonečný V jednom a dvou směrech, nekonečný v oblasti, nekonečný všude a nekonečný neustále.,

Aristoteles definoval tradiční západní pojem matematické nekonečnosti. Rozlišoval mezi skutečným nekonečnem a potenciálním nekonečnem—obecnou shodou je, že pouze ten druhý měl skutečnou hodnotu. Dvě nové vědy Galileo Galilei diskutovaly o myšlence vzájemných korespondencí mezi nekonečnými množinami. Ale další zásadní pokrok v teorii učinil Georg Cantor; v roce 1895 vydal knihu o jeho nové teorie, zavádí, mimo jiné, transfinitní čísla a formulování hypotézy kontinua.,

V roce 1960, Abraham Robinson ukázal, jak nekonečně velkých a nekonečně malých čísel může být přesně definovány a použity na rozvoj oblasti nestandardní analýzy. Systém hyperreal čísla představuje přísnou metodu léčení představy o nekonečné a nekonečně čísel, které byly použity nedbale tím, matematiků, vědců a inženýrů, někdy od vynálezu infinitezimální kalkul tím, že Newton a Leibniz.,

moderní geometrická verze nekonečna je dána projektivní geometrií, která zavádí „ideální body v nekonečnu“, jednu pro každý prostorový směr. Každá rodina rovnoběžných čar v daném směru je postulována, aby se sblížila s odpovídajícím ideálním bodem. To úzce souvisí s myšlenkou mizejících bodů v perspektivním kreslení.,

Komplexní čísla Upravit

nejdříve letmý odkaz na odmocniny ze záporných čísel došlo v práci matematik a vynálezce Heron Alexandrijský v 1. století našeho letopočtu, kdy měl za objem nemožné komolého jehlanu. Oni stali se více prominentní, když v 16. století uzavřené vzorce pro kořeny třetího a čtvrtého stupně polynomů byly objeveny italsky matematici jako Niccolò Fontana Tartaglia a Gerolamo Cardano., Brzy bylo zjištěno, že tyto vzorce, i když se člověk zajímal pouze o skutečná řešení, někdy vyžadovaly manipulaci se čtvercovými kořeny negativních čísel.

to bylo dvojnásob znepokojující, protože v té době ani nepovažovali záporná čísla za pevná. Když René Descartes v roce 1637 pro tyto veličiny vytvořil termín „imaginární“, považoval to za hanlivé. (Viz imaginární číslo pro diskusi o „realitě“ složitých čísel.,) Dalším zdrojem zmatku bylo, že rovnice

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

zdálo svévolně v rozporu s algebraické identity,

b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

, který je platný pro kladná reálná čísla a, b, a byl také použit v komplexní číslo výpočty s jedním a, b pozitivní a druhý negativní., Nesprávné použití této identity a související identita

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

v případě, kdy jsou a i b záporné, dokonce i Euler. Tato obtíž ho nakonec vedla k Úmluvě o použití speciálního symbolu i namísto − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}}, aby se ochránil před touto chybou.

18. století vidělo dílo Abrahama de Moivre a Leonharda Eulera., De Moivre je vzorec (1730) uvádí:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin\theta }

zatímco Eulerova vzorce komplexní analýzy (1748) nám dal:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e θ . {\displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta =e^{i \ theta }.}

existence komplexních čísel nebyla zcela přijata, dokud Caspar Wessel popsal geometrickou interpretaci v roce 1799., Carl Friedrich Gauss znovuobjevil a popularizoval ji o několik let později a v důsledku toho teorie složitých čísel získala pozoruhodnou expanzi. Myšlenka grafického znázornění komplexních čísel se však objevila již v roce 1685 ve wallisově de algebře tractatus.

také v roce 1799 poskytl Gauss první obecně uznávaný důkaz základní věty algebry, což ukazuje, že každý polynom nad komplexními čísly má v této oblasti úplnou sadu řešení., Všeobecné přijetí teorie komplexních čísel je vzhledem k práci Augustin Louis Cauchy a Niels Henrik Abel, a to zejména ten, kdo byl první, aby směle použít komplexní čísla s úspěchem, který je dobře známý.

Gauss studoval komplexní čísla formy a + bi, kde a A b jsou integrální nebo racionální (a já je jedním ze dvou kořenů x2 + 1 = 0). Jeho student, Gotthold Eisenstein, studoval typ a + bw, kde ω je komplexní kořen x3-1 = 0., Další takové třídy (tzv. cyclotomic fields) komplexních čísel odvodit z kořenů jednoty xk − 1 = 0 a pro vyšší hodnoty k. Toto zobecnění je do značné míry způsobeno Ernst Kummer, který také vynalezl ideální čísla, které byly vyjádřeny jako geometrické entity Felix Klein v roce 1893.

v roce 1850 Victor Alexandre Puiseux učinil klíčový krok rozlišování mezi póly a body větví a představil koncept základních singulárních bodů. To nakonec vedlo k koncepci rozšířené komplexní roviny.,

Prime numbers Edit

Prime numbers byly studovány v celé zaznamenané historii. Euclid věnoval jednu knihu z Prvků teorie prvočísel; v něm ukázal, že nekonečnost prvočísel a základní věta aritmetiky, a představil Euklidovský algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

V 240 PŘ.N.L. Eratosthenes použil Síto Eratosthenovo rychle izolovat prvočísel. Ale většina dalšího vývoje teorie prvočísel v Evropě se datuje do renesance a později éry.,

v roce 1796 Adrien-Marie Legendre domýšlel prvočíselnou větu, popisující asymptotické rozdělení prvočísel. Další výsledky týkající se rozložení prvočísel patří Eulerova důkazu, že součet reciprocals z prvočísel diverguje, a Goldbach dohad, který tvrdí, že žádné dostatečně velké sudé číslo je součtem dvou prvočísel. Další domněnkou související s distribucí prvočísel je Riemannova hypotéza, formulovaná Bernhardem Riemannem v roce 1859., Prvočíselná věta byla nakonec prokázána Jacquesem Hadamardem a Charlesem de la Vallée-Poussinem v roce 1896. Goldbach a Riemannovy domněnky zůstávají neprokázané a nerefované.