DerivationsEdit
Kvadratické interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − o ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f () {\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-o)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
pomocí integrace substitucí lze ukázat, že
∫ A B P (x) d x = b − a 6 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}P (x)\, DX={\tfrac {b-a}{6}}\vlevo.,}
zavedení velikosti kroku h = (b-a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} Toto je také běžně psáno jako
∫ A B P ( x) d x = H 3 . {\displaystyle \ int _ {a}^{B}P (x)\, DX={\tfrac {h}{3}}\vlevo.}
v Průměru střed a trapézového rulesEdit
Další odvození konstruktů Simpson je pravidlo ze dvou jednodušší aproximace: střed pravidlo,
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
a lichoběžníkové pravidlo,
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}} (b-a) (f(a)+f (b)).,}
chyby těchto aproximací jsou
1 24 ( b − a ) 3 f „( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) a − 1 12 ( b − a ) 3 f „( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f“(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{a}}\quad{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f“(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M + T}{3}}.}
tento vážený průměr je přesně Simpsonovým pravidlem.
při použití jiné aproximace (například lichoběžníkového pravidla s dvojnásobkem bodů) je možné vzít vhodný vážený průměr a odstranit další chybový termín. Tohle je Rombergova metoda.,
Neurčený coefficientsEdit
třetí odvození vychází z ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
koeficienty α, β a γ mohou být fixovány tím, že vyžadují, aby tato aproximace byla přesná pro všechny kvadratické polynomy. To dává Simpsonovu vládu.,
ErrorEdit
chyba v procesu sbližování nedílnou tím, že Simpson je pravidlo, pro n = 2 {\displaystyle n=2}
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi)}
, kde ξ {\displaystyle \xi } (řecké písmeno xi) je nějaké číslo mezi {\displaystyle a} a b {\displaystyle b} .,
Vzhledem k chybě termín je úměrná čtvrté derivace f {\displaystyle f} na ξ {\displaystyle \xi } , to ukazuje, že Simpson je pravidlo poskytuje přesné výsledky pro jakýkoliv polynom f {\displaystyle f} stupně tři nebo méně, od čtvrté derivace tohoto polynomu je nulová ve všech bodech.
Když je druhá derivace f „{\displaystyle f“} existuje a je konvexní na intervalu ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − 2 ) 3 f “ ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f“\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}
Composite Simpson ‚ s ruleEdit
v Případě, že interval integrace {\displaystyle } je v jistém smyslu „malé“, pak Simpson je pravidlo s n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals bude poskytovat adekvátní aproximací k přesné integrál. V malém, co opravdu máme na mysli, je to, že integrovaná funkce je relativně hladká v intervalu {\displaystyle } ., Pro takovou funkci bude mít hladký kvadratický interpolant, jako je ten, který byl použit v Simpsonově pravidle, dobré výsledky.
často se však stává, že funkce, kterou se snažíme integrovat, není v intervalu hladká. Obvykle to znamená, že buď funkce je vysoce oscilační, nebo v určitých bodech postrádá deriváty. V těchto případech může Simpsonovo pravidlo přinést velmi špatné výsledky. Jeden obyčejný způsob, jak zvládnout tento problém je rozbití intervalu {\displaystyle } do n > 2 {\displaystyle n>2} malé subintervals., Simpson je pravidlo je pak použita na každý subinterval, s výsledky shrnout a vytvořit odhad pro integrál přes celý interval. Tento přístup se nazývá kompozitní Simpsonovo pravidlo.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\ca {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
pochybení ze strany composite Simpson je pravidlo je,
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi)} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a) \ max _{\xi \ in} / F^{(4)} (\xi)|.,}
tato formulace rozděluje interval {\displaystyle } V subintervalech stejné délky. V praxi je často výhodné používat subintervaly různých délek a soustředit úsilí na místa, kde je integrand méně dobře vychovaný. To vede k adaptivní Simpsonově metodě.