DerivationsEdit
toisen Asteen interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {- (x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
Käyttämällä yhdentymistä korvaaminen voidaan osoittaa, että
∫ a b P ( x ) d x = b − a-6 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\jäljellä.,}
Esittelyssä askelpituudella h = ( b − a ) / 2 {\displaystyle h=(b-a)/2} tämä on myös yleisesti kirjoitettu
∫ a b P ( x ) d x = h 3 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {s}{3}}\jäljellä.}
Keskimäärin midpoint ja puolisuunnikkaan rulesEdit
Toinen johtaminen rakentaa Simpsonin sääntö kahdesta yksinkertaisempi arvioita: midpoint sääntö
M: = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
ja puolisuunnikkaan sääntö
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).,}
virheitä näiden likiarvot ovat
1 24 ( b − a ) 3 f ”( a ) + O ( ( b − a), 4 ) ja − 1 12 ( b − a ) 3 f ”( a ) + O ( ( b − a), 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{ja}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
tämä painotettu keskiarvo on täsmälleen Simpsonin sääntö.
Käyttämällä toista lähentämisestä (esimerkiksi puolisuunnikkaan sääntö kaksi kertaa niin monta pistettä), se on mahdollista ottaa sopiva painotettu keskiarvo ja poistaa toinen virhetermi. Tämä on Rombergin menetelmä.,
Määrittelemätön coefficientsEdit
kolmas johtaminen alkaa ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
kertoimet α, β ja γ voi olla kiinteä vaatimalla, että tämä approksimaatio on tarkka kaikille toisen asteen polynomi. Tämä on Simpsonin sääntö.,
ErrorEdit
virhe lähentämällä olennainen Simpsonin sääntö n = 2 {\displaystyle n=2} on
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
missä ξ {\displaystyle \xi } (kreikkalainen kirjain xi) on jokin numero välillä, {\displaystyle a} ja b {\displaystyle b} .,
Koska virhe aikavälillä on verrannollinen neljäs derivaatta f {\displaystyle f} klo ξ {\displaystyle \xi } , tämä osoittaa, että Simpsonin sääntö tarjoaa tarkkoja tuloksia tahansa polynomi f {\displaystyle f} aste on kolme tai vähemmän, koska neljäs derivaatta tällainen polynomi on nolla kaikissa pisteissä.
Jos toinen derivaatta f ”{\displaystyle f”} olemassa ja se on kupera väli ( a , b ) {\displaystyle (a\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f ” ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − a-6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\jäljellä.}
Composite Simpsonin ruleEdit
Jos aikaväli integraatio {\displaystyle } on jossain mielessä ”pieni”, niin Simpsonin säännön n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals antaa riittävä approksimaatio hyvin olennainen. Pieni, mitä me todella tarkoitamme on, että toiminto on integroitu on suhteellisen tasainen ajan välein, {\displaystyle } ., Tällaisen funktion, sileä quadratic interpolant kuten Simpsonin sääntö antaa hyviä tuloksia.
kuitenkin usein on niin, että toiminto, jota yritämme integroida, ei ole tasainen koko ajan. Tyypillisesti tämä tarkoittaa, että joko funktio on erittäin oskillatiivinen tai siitä puuttuu johdannaisia tietyissä kohdissa. Näissä tapauksissa Simpsonin sääntö saattaa tuottaa erittäin huonoja tuloksia. Yksi yleinen tapa käsitellä tätä ongelmaa on rikkomalla välein, {\displaystyle } osaksi n > 2 {\displaystyle n>2} pieni subintervals., Simpsonin sääntöä sovelletaan sitten jokaiseen osaintervaliin, jolloin tulokset lasketaan yhteen, jotta saadaan approksimaatio integraalille koko intervallin ajan. Tällaista lähestymistapaa kutsutaan Simpsonin yleissäännöksi.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = s 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\n {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
virhettä yhdistetty Simpsonin sääntö on,
− s 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {s^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),} s 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {s^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in }|f^{(4)}(\xi )|.,}
tämä formulaatio jakaa intervallin {\displaystyle } yhtä pitkiin osahyväksyntöihin. Käytännössä on usein edullista käyttää eripituisia osahyväksyntiä ja keskittää ponnistelut paikkoihin, joissa kokonaisluku on huonommin käyttäytyvä. Tämä johtaa adaptiivisen Simpsonin menetelmään.