Származékokszerkesztés
kvadratikus interpolációszerkesztés
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( A − m ) ( A − b ) + f ( m ) ( x − A ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( b − m ) ( b − m ) ( b − m ) . {\displaystyle P (x) = f(a) {\tfrac {(x-m) (x-b)} {(A-m) (A-b)}}+f(m) {\tfrac {(x-A) (x-b)} {(m-a) (m-b)}}+f(b) {\tfrac {(x-A) (x-m)} {(b-A) (b-m)}}}} {(b-m)}}}}.}
az integráció helyettesítéssel történő használata azt mutatja, hogy
∫ a b p (x) D x = b − a 6 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}p (x)\, dx = {\tfrac {b-a}{6}}\bal.,}
bemutatjuk a lépés mérete h = (b-a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} ez is általánosan írt, mint
∫ A b P ( x) D x = h 3 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}p (x)\, dx = {\tfrac {h} {3}}} \ bal.}
Átlagolási a középpont, valamint a trapéz alakú rulesEdit
egy Másik változata konstrukciók Simpson szabály a két egyszerűbb közelítések: a középpont szabály
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a) – f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
a trapéz szabály
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a) (F(a)+f (b))).,}
A hibák, ezek a közelítések vagy
1 24 ( b − a ) 3 f “( a ) + O ( ( b − a ) 4) − 1 12 ( b − a ) 3 f “( a ) + O ( ( b − a ) 4.) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{de}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
Ez a súlyozott átlag pontosan Simpson szabálya.
egy másik közelítés (például a trapéz szabály kétszer annyi pontot), lehetséges, hogy egy megfelelő súlyozott átlag, és megszünteti egy másik hiba kifejezés. Ez Romberg módszere.,
meghatározatlan együtthatókszerkesztés
a harmadik deriváció az ansatz
1 b − a ∫ A b f ( x ) D x ≈ α F ( a ) + β F ( A + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1} {b-a}} \ int _ {a}^{b}f (x)\, DX \ approx \ alpha f (a)+\beta f\left ({\tfrac {a+b}{2}}\right) + \ gamma f(b).}
az α, β És γ együtthatók úgy rögzíthetők, hogy minden kvadratikus polinom esetében ez a közelítés pontos legyen. Ez adja Simpson szabályát.,
ErrorEdit
A hiba egyébként szerves által Simpson szabály az n = 2 {\displaystyle n=2} az − 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi.),}
amennyiben ξ {\displaystyle \xi.} (a görög betű, xi.), az egyes szám között egy {\displaystyle a} b {\displaystyle b} .,
mivel a hiba kifejezés arányos az f {\displaystyle f} negyedik deriváltjával ξ {\displaystyle \xi} – nél, ez azt mutatja,hogy Simpson szabálya pontos eredményeket ad a három vagy annál kisebb fokú f {\displaystyle f} polinomhoz, mivel egy ilyen polinom negyedik származéka nulla minden ponton.
Ha a második f “{\displaystyle f”} származék létezik és konvex az ( A , b ) {\displaystyle (a,\ b)} intervallumban :
( b − a ) f ( A + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f ” ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) D x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-a)F\left({\tfrac {a+b}{2}}}}\right)+{\tfrac {1} {3}}}\left({\tfrac {b-a} {2}}}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b} {2}}}\int _{a}^{b} f(x)\, dx \leq {\tfrac {b-a} {6}}\balra.}
Composite Simpson ‘s ruleEdit
Ha az integrációs intervallum {\displaystyle } bizonyos értelemben “kicsi”, akkor a Simpson szabálya n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals megfelelő közelítést biztosít a pontos integrálhoz. Kicsiben valójában azt értjük, hogy az integrálandó funkció viszonylag sima a {\displaystyle} intervallumon., Egy ilyen funkcióhoz egy sima kvadratikus interpoláns, mint a Simpson szabályában használt, jó eredményeket ad.
azonban gyakran előfordul, hogy az integrálni kívánt funkció nem sima az intervallumban. Ez általában azt jelenti, hogy vagy a funkció erősen oszcilláló, vagy bizonyos pontokon hiányzik a származékok. Ezekben az esetekben Simpson szabálya nagyon rossz eredményeket adhat. A probléma kezelésének egyik gyakori módja a {\displaystyle } intervallum n > 2 {\displaystyle n>2} kis alinterval., Simpson szabály ezután alkalmazzák az egyes subinterval, az eredményeket összegezve, hogy készítsen egy közelítés az integrál az egész intervallum. Ez a fajta megközelítés nevezik a kompozit Simpson szabály., ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{igazítva}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\körülbelül {\frac {h}{3}}\összeg _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{igazítva}}}
A hibát követett el, az összetett Simpson szabály − h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a) – f^{(4)}(\xi.),} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ a | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a) \ max _ {\xi \ in} / f^{(4)} (\xi)|.,}
Ez a megfogalmazás osztja az intervallumot {\displaystyle } egyenlő hosszúságú részintervallumokban. A gyakorlatban gyakran előnyös a különböző hosszúságú részintervallumok használata, és az erőfeszítéseket azokra a helyekre kell összpontosítani, ahol az integrand kevésbé jól viselkedik. Ez az adaptív Simpson módszeréhez vezet.