7.1 Simple exponential smoothing
Il più semplice dei metodi di smoothing esponenziale è naturalmente chiamato simple exponential smoothing (SES)13. Questo metodo è adatto per la previsione dei dati senza tendenza chiara o modello stagionale. Ad esempio, i dati di Figura 7.1 non mostrano alcun comportamento di tendenza chiaro o alcuna stagionalità. (C’è un aumento negli ultimi anni, che potrebbe suggerire una tendenza., Considereremo se un metodo di tendenza sarebbe meglio per questa serie più avanti in questo capitolo.) Abbiamo già considerato il naïve e la media come possibili metodi per la previsione di tali dati (Sezione 3.1).
oildata <- window(oil, start=1996)autoplot(oildata) + ylab("Oil (millions of tonnes)") + xlab("Year")
Figura 7.1: Produzione di petrolio in Arabia Saudita dal 1996 al 2013.
La tabella seguente mostra i pesi associati alle osservazioni per quattro diversi valori di \(\alpha\) durante la previsione utilizzando un semplice livellamento esponenziale., Si noti che la somma dei pesi anche per un piccolo valore di \(\alpha\) sarà approssimativamente uno per qualsiasi dimensione di campione ragionevole.
Presentiamo due forme equivalenti di smoothing esponenziale semplice, ognuna delle quali porta all’equazione di previsione (7.1).
Ottimizzazione
L’applicazione di ogni metodo di smoothing esponenziale richiede la scelta dei parametri di smoothing e dei valori iniziali. In particolare, per un semplice livellamento esponenziale, dobbiamo selezionare i valori di \(\alpha\) e \(\ell_0\). Tutte le previsioni possono essere calcolate dai dati una volta che conosciamo quei valori., Per i metodi che seguono di solito c’è più di un parametro di livellamento e più di un componente iniziale da scegliere.
In alcuni casi, i parametri di smoothing possono essere scelti in modo soggettivo: il forecaster specifica il valore dei parametri di smoothing in base all’esperienza precedente. Tuttavia, un modo più affidabile e obiettivo per ottenere valori per i parametri sconosciuti è stimarli dai dati osservati.
Nella sezione 5.,2, abbiamo stimato i coefficienti di un modello di regressione minimizzando la somma dei residui quadrati (solitamente noti come SSE o “somma degli errori quadrati”). Allo stesso modo, i parametri sconosciuti e i valori iniziali per qualsiasi metodo di smoothing esponenziale possono essere stimati riducendo al minimo l’SSE. I residui sono specificati come \(e_t=y_t – \hat{y}_{t|t-1}\) per \ (t = 1,\dots, T\)., Quindi, troviamo i valori dei parametri sconosciuti e i valori iniziali che minimizzano\
A differenza del caso di regressione (dove abbiamo formule che restituiscono i valori dei coefficienti di regressione che minimizzano l’SSE), questo comporta un problema di minimizzazione non lineare, e dobbiamo usare uno strumento di ottimizzazione per risolverlo.