Lascia che un round sia definito come una sequenza di perdite consecutive seguite da una vittoria o dal fallimento del giocatore. Dopo una vittoria, il giocatore “resetta” ed è considerato aver iniziato un nuovo round. Una sequenza continua di scommesse martingale può quindi essere suddivisa in una sequenza di giri indipendenti. Di seguito è riportata un’analisi del valore atteso di un round.
Sia q la probabilità di perdere (ad esempio per American double-zero roulette, è 20/38 per una scommessa su nero o rosso). Sia B l’importo della puntata iniziale., Sia n il numero finito di scommesse che il giocatore può permettersi di perdere.
La probabilità che il giocatore perderà tutte le scommesse n è qn. Quando tutte le scommesse perdono, la perdita totale è
∑ i = 1 n B 2 2 i − 1 = B ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
La probabilità che il giocatore non perda tutte le n scommesse è 1 − qn. In tutti gli altri casi, il giocatore vince la scommessa iniziale (B., Così, il profitto atteso per ogni turno è
( 1 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 q ) n ) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
ogni volta che q > 1/2, l’espressione 1 − (2q)n < 0 per ogni n > 0. Pertanto, per tutti i giochi in cui un giocatore ha più probabilità di perdere che di vincere una determinata scommessa, quel giocatore dovrebbe perdere denaro, in media, ogni round. Aumentare la dimensione della scommessa per ogni round per il sistema martingale serve solo ad aumentare la perdita media.,
Supponiamo che un giocatore ha un 63 unità gioco d’azzardo bankroll. Il giocatore potrebbe scommettere 1 unità al primo giro. Su ogni perdita, la scommessa è raddoppiata. Quindi, prendendo k come numero di precedenti perdite consecutive, il giocatore scommetterà sempre 2k unità.
Con una vittoria su un dato giro, il giocatore netto 1 unità sull’importo totale scommesso a quel punto. Una volta ottenuta questa vittoria, il giocatore riavvia il sistema con una puntata di 1 unità.
Con perdite su tutti i primi sei giri, il giocatore perde un totale di 63 unità. Questo esaurisce il bankroll e la martingala non può essere continuata.,
In questo esempio, la probabilità di perdere l’intero bankroll e di non essere in grado di continuare la martingala è uguale alla probabilità di 6 perdite consecutive: (10/19)6 = 2.1256%. La probabilità di vincere è pari a 1 meno la probabilità di perdere 6 volte: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
In una circostanza unica, questa strategia può avere senso. Supponiamo che il giocatore possieda esattamente 63 unità ma ha disperatamente bisogno di un totale di 64., Supponendo che q > 1/2 (si tratta di un vero casinò) e può scommettere solo a quote pari, la sua strategia migliore è il gioco audace: ad ogni giro, dovrebbe scommettere l’importo più piccolo in modo tale che se vince raggiunge immediatamente il suo obiettivo, e se non ne ha abbastanza per questo, dovrebbe semplicemente scommettere tutto. Alla fine o va busto o raggiunge il suo obiettivo. Questa strategia gli dà una probabilità del 97,8744% di raggiungere l’obiettivo di vincere un’unità contro una probabilità del 2,1256% di perdere tutte le 63 unità, e questa è la migliore probabilità possibile in questa circostanza., Tuttavia, il gioco audace non è sempre la strategia ottimale per avere la più grande possibilità possibile di aumentare un capitale iniziale a un importo più elevato desiderato. Se il giocatore può scommettere importi arbitrariamente piccoli a quote arbitrariamente lunghe (ma con la stessa perdita prevista di 10/19 della puntata ad ogni puntata), e può piazzare una sola puntata ad ogni giro, allora ci sono strategie con una probabilità superiore al 98% di raggiungere il suo obiettivo, e queste usano un gioco molto timido a meno che il giocatore non sia vicino a perdere tutto il suo capitale, nel qual caso passa a un gioco estremamente audace.