Simpson regola


DerivationsEdit

Quadratica interpolationEdit

P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a), ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

Usando l’integrazione per sostituzione si può mostrare che

∫ a b P (x ) d x − b-a 6. Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.,}

Introducendo la dimensione del passo h = ( b-a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} questo è anche comunemente scritto come

∫ a b P ( x) d x = h 3 . Per maggiori informazioni, consultare il sito .}

Media il punto medio e la forma trapezoidale rulesEdit

un’Altra derivazione costrutti Simpson regola da due semplici approssimazioni: il punto medio regola

M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}

e trapezoidale regola

T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}} (b-a) (f(a)+f (b)).,}

Gli errori in queste approssimazioni sono

1 24 ( b − a ) 3 f “( a ) + O ( ( b − a), 4 ) e − 1 12 ( b − a ) 3 f “( a ) + O ( ( b − a), 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{e}}\quad{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M + T}{3}}.}

Questa media ponderata è esattamente la regola di Simpson.

Usando un’altra approssimazione (ad esempio, la regola trapezoidale con il doppio dei punti), è possibile prendere una media ponderata adeguata ed eliminare un altro termine di errore. Questo è il metodo di Romberg.,

Coefficienti indeterminatimodifica

La terza derivazione inizia dall’ansatz

1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _ {a}^{b} f(x)\,dx\circa \alfa f (a)+\beta f\sinistra ({\tfrac {a+b}{2}}\destra)+\gamma f (b).}

I coefficienti α, β e γ possono essere fissati richiedendo che questa approssimazione sia esatta per tutti i polinomi quadratici. Questo produce la regola di Simpson.,

ErrorEdit

L’errore nell’approssimazione di un integrale da Simpson regola per n = 2 {\displaystyle n=2} è

− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi)}

in cui ξ {\displaystyle \xi } (la lettera greca xi) è un numero tra un {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} .,

Poiché il termine di errore è proporzionale alla quarta derivata di f {\displaystyle f} a ξ {\displaystyle \xi } , questo mostra che la regola di Simpson fornisce risultati esatti per qualsiasi polinomio f {\displaystyle f} di grado tre o meno, poiché la quarta derivata di tale polinomio è zero in tutti i punti.

Se la derivata seconda f “{\displaystyle f”} esiste ed è convessa nell’intervallo ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)}:

(b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f ” ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}

Regola composita di Simpson

Se l’intervallo di integrazione {\displaystyle } è in un certo senso “piccolo”, allora la regola di Simpson con n = 2 {\displaystyle n=2} subintervalli fornirà un’approssimazione adeguata all’integrale esatto. In piccolo, ciò che intendiamo veramente è che la funzione integrata è relativamente liscia nell’intervallo {\displaystyle}., Per una tale funzione, un interpolante quadratico liscio come quello usato nella regola di Simpson darà buoni risultati.

Tuttavia, è spesso il caso che la funzione che stiamo cercando di integrare non sia liscia nell’intervallo. In genere, ciò significa che la funzione è altamente oscillatoria o manca di derivati in determinati punti. In questi casi, la regola di Simpson può dare risultati molto scarsi. Un modo comune per gestire questo problema è suddividere l’intervallo {\displaystyle} in n > 2 {\displaystyle n>2} piccoli sottointervalli., La regola di Simpson viene quindi applicata a ciascun sottointervallo, con i risultati sommati per produrre un’approssimazione per l’integrale sull’intero intervallo. Questo tipo di approccio è definito la regola composita di Simpson.,

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\ca {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}

L’errore commesso dal composito Simpson regola è

− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi)} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\stile di visualizzazione {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a) \ max _ {\xi\in }|f^{(4)} (\xi )|.,}

Questa formulazione suddivide l’intervallo {\displaystyle } in sottointervalli di uguale lunghezza. In pratica, è spesso vantaggioso utilizzare subintervalli di diverse lunghezze e concentrare gli sforzi sui luoghi in cui l’integrando è meno ben educato. Questo porta al metodo adattivo di Simpson.

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