DerivationsEdit
Kvadratisk interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a) – (b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
ved Hjelp av integrasjon ved substitusjon, kan man vise at
∫ a b S ( x ) d x = b − a 6 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\venstre.,}
å Innføre trinn størrelse h = ( b − a ) / 2 {\displaystyle h=(b-a)/2} dette er også ofte skrevet som
∫ a b S ( x ) d x = h-3 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\venstre.}
Gjennomsnitt midtpunktet, og den trapesformede rulesEdit
en Annen avledning konstruksjoner Simpson ‘ s regel fra to enklere tilnærming: midtpunktet regel
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
og den trapesformede regel
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).,}
feil i disse anslag er
1 24 ( b − a ) 3 f «( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) og − 1 12 ( b − a ) 3 f » ( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{og}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
Dette vektet gjennomsnitt er nøyaktig Simpson ‘ s regel.
du Bruker en annen tilnærming (for eksempel, den trapesformede regel med dobbelt så mange poeng), er det mulig å ta en egnet vektet gjennomsnitt og eliminere en annen feil sikt. Dette er Romberg ‘ s metode.,
Ubestemt coefficientsEdit
Den tredje avledning starter fra ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
koeffisientene α, β og γ kan bli løst ved å kreve at denne tilnærming være nøyaktig for alle kvadratiske polynomer. Dette gir Simpson ‘ s regel.,
ErrorEdit
feil i tilnærmet en integrert del av Simpson ‘ s rule for n = 2 {\displaystyle n=2} er
− 1 90 ( b − a 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
hvor ξ {\displaystyle \xi } (den greske bokstaven xi) er noen tall mellom en {\displaystyle a} og b {\displaystyle b} .,
Siden feilen sikt er proporsjonal til den fjerde deriverte av f {\displaystyle f} på ξ {\displaystyle \xi } , dette viser at Simpson er regelen gir nøyaktige resultater for noen polynom f {\displaystyle f} grad av tre eller mindre, siden den fjerde deriverte av et slikt polynom er null på alle punkter.
Dersom den andre deriverte f «{\displaystyle f»} eksisterer og er konveks i intervallet ( a , b ) {\displaystyle (a\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f » ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\venstre.}
Kompositt Simpson ‘ s ruleEdit
Hvis intervallet av integrering {\displaystyle } er i en viss forstand «liten», så Simpson ‘ s regel med n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals vil gi en adekvat tilnærming til den eksakte integrert. Ved små, hva vi egentlig mener er at funksjonen er integrert er relativt jevn over intervallet {\displaystyle } ., For en slik funksjon, en jevn kvadratisk interpolant som den som brukes i Simpson ‘ s regel vil gi gode resultater.
Imidlertid er det ofte slik at funksjonen vi prøver å integrere er ikke glatte over intervallet. Vanligvis betyr dette at enten funksjonen er svært oscillatory, eller det mangler derivater på enkelte punkter. I disse tilfellene, Simpson ‘ s styre kan gi dårlige resultater. En vanlig måte å håndtere dette problemet på, er ved å bryte opp intervallet {\displaystyle } i n > 2 {\displaystyle n>2} små subintervals., Simpson ‘ s regel er deretter anvendt til hver subinterval, med resultatene blir summert til å produsere en tilnærmet verdi for integralet over hele intervallet. Denne typen tilnærming er betegnet kompositt Simpson ‘ s regel.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{justert}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\ca {\frac {t}{3}}\sum _{k=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {t}{3}}{\bigg },\end{justert}}}
feil begått av kompositt Simpson ‘ s regel er
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),} h 4 180 ( b − a ) maks ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\maks _{\xi \i }|f^{(4)}(\xi )|.,}
Denne formuleringen deler intervallet {\displaystyle } i subintervals av lik lengde. I praksis er det ofte en fordel å bruke subintervals av ulike lengder, og konsentrere innsatsen på de stedene hvor integrand er mindre veloppdragen. Dette fører til den adaptive Simpson ‘ s metode.