Dodecahedron

een dodecahedron (Grieks δωδεκάεδρον, Van δώδεκα ‘twaalf’ + εδρον’ basis’,’ stoel ‘of’ gezicht’) is een veelvlak met twaalf gezichten, maar meestal wordt een regelmatige dodecahedron bedoeld: een Platonische vaste stof bestaande uit twaalf regelmatige vijfhoekige gezichten, met drie samenkomst op elk hoekpunt. Het heeft twintig (20) hoekpunten en dertig (30) randen. De dubbele veelvlakte is de icosaëder. Als men elk van de Platonische lichamen zou maken met randen van dezelfde lengte, zou de dodecaëder de grootste zijn.,

Oppervlakte en volume

De oppervlakte van Een en het volume V van een reguliere dodecaëder met een randlengte van a zijn:

Cartesische coördinaten

De volgende Cartesische coördinaten definiëren van de hoekpunten van een dodecaëder met middelpunt de oorsprong:

(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)

waar φ = is de gulden snede (ook geschreven τ). De randlengte is 2 / φ = √ 5-1. De bevattende bol heeft een straal van √3.

De dihedrale hoek van een dodecaëder is 2arctaan (φ) Of ongeveer 116.,565 graden.

Geometrische relaties

de regelmatige dodecaëder is de derde in een oneindige verzameling van afgeknotte trapezoëder die kan worden geconstrueerd door de twee axiale hoekpunten van een vijfhoekige trapezoëder af te knippen.

De stellaties van de dodecaëder vormen drie van de vier Kepler-Poinsot-veelvlakken.

een gerectificeerde dodecaëder vormt een icosidodecaëder.

de reguliere dodecaëder heeft 120 symmetrieën en vormt de groep .,

Vertex-opstelling

de dodecaëder deelt zijn vertex-opstelling met vier niet-convexe uniforme veelvlakken en drie uniforme verbindingen.

vijf kubussen passen binnen, met hun randen als diagonalen van de zijden van de dodecaëder, en samen vormen deze de reguliere veelvlakken van vijf kubussen. Omdat twee tetrahedra ’s op alternatieve hoekpunten passen, kunnen vijf en tien tetrahedra’ s ook in een dodecaëder passen.,>
Small ditrigonal icosidodecahedron

Ditrigonal dodecadodecahedron
Great ditrigonal icosidodecahedron
Compound of five cubes
Compound of five tetrahedra
Compound of ten tetrahedra

Icosahedron vs dodecahedron

When a dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere’s volume (66.,49%) dan een icosaëder die in dezelfde bol is ingeschreven (60,54%).

een gewone dodecaëder met randlengte 1 heeft meer dan drie en een half keer het volume van een icosaëder met dezelfde lengte randen (7.663… vergeleken met 2,181…).

ook, omdat dit dualen zijn, is het mogelijk om het ene in het andere te transformeren.,=”5534c8ab48″>
Great dodecahedron

Great stellated dodecahedron Facet diagram

More dodecahedra

The term dodecahedron is also used for other polyhedra with twelve faces, most notably the rhombic dodecahedron which is dual to the cuboctahedron (an Archimedean solid) and occurs in nature as a crystal form., De Platonische vaste dodecaëder kan een vijfhoekige dodecaëder of een regelmatige dodecaëder worden genoemd om het te onderscheiden. De pyritohedron is een onregelmatige vijfhoekige dodecaëder.,ngles, dubbel, zeshoekig prisma

Zeshoekige trapezohedron – 12 vliegers, dubbel, zeshoekig antiprism

Triakis tetraëder – 12 gelijkbenige driehoeken, het dubbele van de afgeknotte tetraëder

Ruitvormig dodecaëder (hierboven vermeld) – 12 ruitvormige tegels, dubbele van cuboctahedron

Andere nonregular geconfronteerd:

1. Hendecagonal piramide – 11 gelijkbenige driehoeken en 1 hendecagon
2. Trapezo-ruitvormig dodecaëder – 6 ruitvormige tegels, 6 trapezoids – dubbele van Driehoekige orthobicupola
3. Rhombo-zeshoekige dodecaëder of Langwerpige Dodecaëder – 8 ruitvormige tegels en 4 gelijkzijdige zeshoeken.,

in totaal zijn er 6.384.634 topologisch verschillende dodecahedra ‘ s.

geschiedenis en gebruik

Dodecaëderobjecten hebben enkele praktische toepassingen gevonden, en hebben ook een rol gespeeld in de beeldende kunst en in de filosofie.Plato ‘ s dialogue Timaeus (C. 360 v. Chr.,) associeert de andere vier platonische lichamen met de vier klassieke elementen; Aristoteles postuleerde dat de hemelen waren gemaakt van een vijfde element, aithêr (ether in het Latijn, ether in het Amerikaans Engels), maar hij had geen interesse in het matchen met Plato ‘ s vijfde vaste stof. enkele eeuwen later werden kleine, holle Romeinse dodecahedra ‘ s gemaakt en zijn gevonden in verschillende Romeinse ruïnes in Europa. Hun doel is niet zeker. in de twintigste-eeuwse kunst komt dodecahedra voor in het werk van M. C. Escher, zoals zijn lithografie Reptiles (1943), en in zijn gravitatie., In Salvador Dalí ‘ s schilderij het Sacrament van het Laatste Avondmaal (1955) is de kamer een holle dodecaëder.

in moderne role-playing spellen wordt de dodecaëder vaak gebruikt als een twaalfzijdige dobbelsteen, een van de meest voorkomende veelvlakken.

zie ook

• draaiende dodecaëder
• afgeknotte dodecaëder
• Snub dodecaëder
• Pentakis dodecaëder
• Hamiltoniaanse pad
• 120-cel: een regelmatige polychoron (4D polytoop) waarvan het oppervlak bestaat uit 120 dodecaëdercellen.,olyhedra – Modellen gemaakt met Modulaire Origami
• Dodecaëder – 3-d model dat werkt in je browser
• Virtual Reality Veelvlakken De Encyclopedie van de Veelvlakken
  • VRML modellen
  1. Regelmatig dodecaëder reguliere
  2. Ruitvormig dodecaëder quasiregular
  3. Decagonal prisma vertex-transitieve
  4. Vijfhoekige antiprism vertex-transitieve
  5. Zeshoekige dipyramid face-transitieve
  6. Triakis tetraëder face-transitieve
  7. zeshoekige trapezohedron face-transitieve
  8. Vijfhoekige koepel regelmatig gezichten
• Weisstein, Eric W.,”Dodecahedron” van MathWorld.Weisstein, Eric W., “Elongated Dodecahedron” from MathWorld.
• K. J. M., MacLean, Een Geometrische Analyse van de Vijf Platonische Lichamen en Andere Semi-Regelmatige Veelvlakken

Sjabloon:Veelvlakken

az:Dodekaedrca:Dodecàedrecs:Dvanáctistěncy:Dodecahedronda:Dodekaederet:Korrapärane dodekaeedereo:Dekduedroit:Dodecaedrohe:דודקהדרוןht:Dodekayèdlv:Dodekaedrshu:Dodekaédernl:Dodecaëderno:Dodekaederpl:Dwunastościan foremnypt:Dodecaedroqu:Chunka iskayniyuq uyasr:Додекаедарsq:Dodekaedri ik rregulltsv:Dodekaederta:bannerette ஐங்கோணகம்th:ทรงสิบสองหน้าuk:Додекаедр.