Icosahedron

de reguliere icosahedron is een van de vijf platonische lichamen. Het is een convexe regelmatige veelvlak bestaande uit twintig driehoekige zijden, met vijf samenkomst op elk van de twaalf hoekpunten. Het heeft 30 randen en 12 hoekpunten. De dubbele veelvlakte is de dodecaëder.,

Afmetingen

Als de rand van de lengte van een reguliere icosaëder is de straal van een omschreven gebied (dat raakt de icosaëder op alle hoekpunten) is

en de straal van de ingeschreven bol (de raaklijn aan elk van de icosaëder gezichten) is

tijdens de midradius, die raakt aan het midden van elke zijde, is

waar (ook wel ) is de gulden snede.,

Oppervlakte en volume

De oppervlakte en het volume van een reguliere icosaëder van edge lengte zijn:

Cartesische coördinaten

Het volgende Cartesische coördinaten definiëren van de hoekpunten van een icosaëder met rand-lengte 2, in het midden van de oorsprong:

waar is de gulden snede (ook geschreven τ)., Merk op dat deze hoekpunten vijf sets vormen van drie onderling gecentreerde, wederzijds orthogonale gouden rechthoeken.

de 12 randen van een regelmatige octaëder kunnen in de gulden snede worden verdeeld, zodat de resulterende hoekpunten een regelmatige icosaëder definiëren. Dit wordt gedaan door eerst vectoren langs de randen van de octaëder zodanig te plaatsen dat elk vlak door een cyclus wordt begrensd, en vervolgens op dezelfde manier elke rand in de gulden middenweg langs de richting van zijn vector te verdelen., De vijf octahedra ‘ s die een bepaalde icosaëder definiëren vormen een regelmatige veelvlakverbinding, net als de twee icosaëders die op deze manier kunnen worden gedefinieerd vanuit een bepaalde octaëder.

constructie door een systeem van gelijkhoekige lijnen

de volgende constructie van de icoshaedron vermijdt vervelende berekeningen in het getalveld nodig in meer elementaire benaderingen.

het bestaan van de icosaëder komt overeen met het bestaan van zes equiangulaire lijnen in ., Inderdaad, het snijden van een dergelijk systeem van equiangular lijnen met een Euclidische bol gecentreerd op hun gemeenschappelijke snijpunt levert de twaalf hoekpunten van een regelmatige icosaëder op die gemakkelijk kunnen worden gecontroleerd. Omgekeerd, veronderstel het bestaan van een regelmatige icosaëder, vormen lijnen gedefinieerd door zijn zes paren van tegenovergestelde hoekpunten een equiangulair systeem.

om een dergelijk equiangulair systeem te construeren, beginnen we met de matrix

van vierkante grootte ., (Mnemonisch: de matrix codeert de hoeken, acuut voor een positieve ingang, stomp anders, tussen vijf cyclisch opeenvolgende hoekpunten grenzend aan een eerste hoekpunt van een icosaëder gecentreerd op de oorsprong.)

een eenvoudige berekening levert . Dit impliceert dat eigenwaarden heeft , beide met multipliciteit 3 omdat symmetrisch is en van spoor 0., De matrix induceert deze Euclidische structuur op de quotiëntruimte die isomorf is aan sinds de kernel van heeft dimensie 3. De afbeelding onder de projectie van de zes coördinaatassen in vormt dus een systeem van zes gelijke lijnen in die paarsgewijs snijden onder een gemeenschappelijke scherpe hoek van ., Orthogonale projectie van op de -eigenruimte van geeft dus de twaalf hoekpunten van de icosaëder.

een tweede eenvoudige constructie van de icosaëder maakt gebruik van de representatietheorie van de alternerende groep die werkt met directe isometrie op de icosaëder.

Stellaties

volgens specifieke regels in het boek The fifty nine icosahedra, werden 59 stellaties geïdentificeerd voor de reguliere icosahedron. De eerste vorm is de icosaëder zelf., Een is een gewone Kepler-Poinsot solid. Drie zijn gewone samengestelde veelvlakken.

de zijden van de icosaëder worden naar buiten uitgebreid als vlakken elkaar kruisen, gebieden in de ruimte definiëren zoals blijkt uit dit sterschema van de kruispunten in een enkel vlak.,

Geometric relations

Icosahedron as a snub tetrahedron.,

Icosahedron as an alternated truncated octahedron.

There are distortions of the icosahedron that, while no longer regular, are nevertheless vertex-uniform., Deze zijn invariant onder dezelfde rotaties als de tetraëder, en zijn enigszins analoog aan de snub kubus en snub dodecaëder, inclusief sommige vormen die chiraal zijn en sommige met Th-symmetrie, dat wil zeggen hebben verschillende vlakken van symmetrie van de tetraëder. De icosaëder heeft een groot aantal stellaties, waaronder een van de Kepler-Poinsot polyhedra en enkele van de reguliere verbindingen, die hier besproken kunnen worden.

de icosaëder is uniek onder de Platonische vaste stoffen door een dihedrale hoek van ten minste 120°. De dihedrale hoek is ongeveer 138,19°.,ss dan 120° en kan niet worden gebruikt als de vlakken van een convexe regelmatig veelvlak, omdat een dergelijke constructie niet zou voldoen aan de eis dat ten minste drie gezichten ontmoeten op een hoekpunt en laat een positieve gebrek voor het vouwen in drie dimensies, icosahedra kan niet worden gebruikt als de cellen van een regelmatige convexe polychoron, omdat, net, ten minste drie cellen moeten voldoen aan een rand en laat een positieve gebrek voor het vouwen in vier dimensies (in het algemeen voor een convexe polytope in afmetingen, ten minste drie facetten moeten voldoen aan een piek heeft bereikt en laat een positieve gebrek voor het vouwen in n-ruimte)., In combinatie met geschikte cellen met kleinere dihedrale hoeken kan icosaëder echter worden gebruikt als cellen in semi-regelmatige polychora (bijvoorbeeld de snub 24-cel), net zoals zeshoeken kunnen worden gebruikt als vlakken in semi-regelmatige veelvlakken (bijvoorbeeld de afgeknotte icosaëder). Ten slotte hebben niet-convexe polytopen niet dezelfde strenge eisen als convexe polytopen, en icosahedra zijn inderdaad de cellen van de icosahedrale 120-cel, een van de tien niet-convexe reguliere polychora.

een icosaëder kan ook een gyroelongated pentagonal bipyramid worden genoemd., Het kan worden ontbonden in een gyroelongated vijfhoekige piramide en een vijfhoekige piramide of in een vijfhoekige antiprism en twee gelijke vijfhoekige piramides.

de icosaëder kan ook een kortstondige tetraëder worden genoemd, omdat een kortstondige tetraëder een normaal icosaëder oplevert., Als alternatief, gebruikmakend van de nomenclatuur voor snub polyhedra die verwijst naar een snub kubus als een snub cuboctaëder (cuboctaëder = gerectificeerde kubus) en een snub dodecaëder als een snub icosidodecaëder (icosidodecaëder = gerectificeerde dodecaëder), kan men de icosaëder de snub octaëder (octaëder = gerectificeerde tetraëder) noemen.

een gerectificeerde icosaëder vormt een icosidodecaëder.

icosaëder vs dodecaëder

wanneer een icosaëder in een bol is gegraveerd, neemt deze minder het volume van de bol in (60,54%) dan een dodecaëder in dezelfde bol (66,49%).,

ook, omdat dit dualen zijn, is het mogelijk om de een in de ander om te zetten(zie hieronder).,

Icosahedron

Truncated icosahedron

Icosidodecahedron

Truncated dodecahedron

Dodecahedron

Uses and natural forms

In 1904, Ernst Haeckel described a number of species of Radiolaria, including Circogonia icosahedra, whose skeleton is shaped like a regular icosahedron. A copy of Haeckel’s illustration for this radiolarian appears in the article on regular polyhedra.

	In sommige roleplaying spellen wordt de twintigzijdige dobbelsteen (kortweg d20) gebruikt om het succes of falen van een actie te bepalen. Deze dobbelsteen is in de vorm van een regelmatige icosaëder. Het kan worden genummerd van “0” tot “9” tweemaal (in welke vorm het meestal dient als een tienzijdige dobbelsteen, of d10), maar de meeste moderne versies zijn gelabeld van “1” tot “20”. Zie systeem d20.,

een icosaëder is het driedimensionale spelbord voor Icosagame, voorheen bekend als het ICO Crystal spel.

een icosaëder wordt gebruikt in het bordspel Scattergories om een letter van het alfabet te kiezen. Zes weinig gebruikte letters, zoals X, Q en Z, worden weggelaten.

in een magische 8-Ball worden verschillende antwoorden op ja-nee-vragen afgedrukt op een gewone icosaëder.

de icosaëder die in een functionele vorm wordt weergegeven, is te zien in de lichttint Sol De la Flor., De rozet gevormd door de overlappende stukken vertonen een gelijkenis met de Frangipani bloem.

als elke rand van een icosaëder wordt vervangen door een weerstand van 1 ohm, is de weerstand tussen tegenoverliggende hoekpunten 0,5 ohm, en die tussen aangrenzende hoekpunten 11/30 ohm.

De symmetriegroep van de icosaëder is isomorf met de afwisselende groep op vijf letters. Deze niet-abeliaanse enkelvoudige groep is de enige niet-triviale normale subgroep van de symmetrische groep op vijf letters., Aangezien de Galoisgroep van de Algemene quintische vergelijking isomorf is met de symmetrische groep op vijf letters, en het feit dat de icosahedrale Groep eenvoudig en niet-Abel is, betekent dat quintische vergelijkingen geen oplossing in radicalen hoeven te hebben. Het bewijs van de stelling van Abel-Ruffini gebruikt dit eenvoudige feit, en Felix Klein schreef een boek dat gebruik maakte van de theorie van de icosahedrale symmetrieën om een analytische oplossing voor de Algemene quintische vergelijking af te leiden.,

zie ook

sjabloon:Wiktionarypar

• afgeknotte icosaëder
• regelmatige veelvlak
• geodetische rasters gebruik een iteratief gesplitst icosaëder om rasters te genereren op een bol
• Jessen ‘ s icosaëder

sjabloon:Wikisource1911Enc

sjabloon:commonscat

• Weisstein, Eric W., “icosahedron” van MathWorld.
• papieren modellen van de icosaëder
• de uniforme veelvlakken
• K. J. M., MacLean, a Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
• Interactive Icosahedron model-works right in your webbrowser
• Virtual Reality Polyhedra de Encyclopedia of Polyhedra
• Tulane.,edu is Een bespreking van de super-structuur en de icosaëder
• Papieren Modellen van de Veelvlakken Veel links
• Origami Veelvlakken – Modellen is gemaakt met een Modulaire Origami
• de video van de icosahedrale spiegel is een sculptuur

Sjabloon:Veelvlakken

az:Ikosaedrca:Icosàedrecs:Dvacetistěnda:Ikosaederet:Ikosaeedereo:Dudekedrofa:بیستوجهیit:Icosaedrohe:איקוסהדרוןlv:Ikosaedrshu:Ikozaédernl:Icosaëderno:Ikosaederpl:Dwudziestościan foremnypt:Icosaedrosimple:Icosahedronsq:Ikosaedri ik rregulltsr:Икосаедарsv:Ikosaederta:uitbrak முக்கோணகம்th:ทรงยี่สิบหน้าuk:Ікосаедр.