laat één ronde gedefinieerd worden als een opeenvolging van opeenvolgende verliezen gevolgd door ofwel een overwinning, ofwel een faillissement van de gokker. Na een overwinning, de gokker “reset” en wordt beschouwd als een nieuwe ronde zijn begonnen. Een continue reeks van martingale inzetten kan dus worden verdeeld in een reeks van onafhankelijke rondes. Hierna volgt een analyse van de verwachte waarde van één ronde.
laat q de kans zijn om te verliezen (bijvoorbeeld voor Amerikaanse double-zero roulette is het 20/38 voor een inzet op zwart of rood). Laat B het bedrag van de eerste inzet zijn., Laat n het eindige aantal weddenschappen de gokker kan veroorloven om te verliezen.
de kans dat de gokker alle n weddenschappen verliest is qn. Als alle inzetten verliezen, is het totale verlies
i i = 1 N B 2 2 i − 1=B ( 2 n-1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i − 1} = B(2^{n}-1)}
de kans dat de gokker niet alle n inzetten verliest is 1-qn. In alle andere gevallen wint de gokker de eerste inzet (B., Dus, de verwachte winst per ronde is
( 1 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 q ) n ) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
Wanneer q > 1/2, de uitdrukking 1 − (2q)n < 0 voor alle n > 0. Dus, voor alle spellen waar een gokker is meer kans om te verliezen dan om een bepaalde inzet te winnen, die gokker wordt verwacht om geld te verliezen, gemiddeld, elke ronde. Het verhogen van de grootte van de inzet voor elke ronde per het martingale systeem dient alleen om het gemiddelde verlies te verhogen.,
stel dat een gokker een 63-eenheid gokbankroll heeft. De gokker kan 1 eenheid inzetten op de eerste draai. Bij elk verlies wordt de inzet verdubbeld. Dus, het nemen van k als het aantal voorgaande opeenvolgende verliezen, zal de speler altijd inzet 2k eenheden.
met een winst op een bepaalde spin, zal de gokker netto 1 eenheid over het totale bedrag ingezet op dat punt. Zodra deze overwinning is behaald, start de gokker het systeem opnieuw op met een 1 eenheid inzet.
met verliezen op alle van de eerste zes spins, verliest de gokker in totaal 63 eenheden. Dit put de bankroll uit en de martingale kan niet worden voortgezet.,
in dit voorbeeld is de kans op het verliezen van de volledige bankroll en het niet kunnen doorgaan met de martingale gelijk aan de kans op 6 opeenvolgende verliezen: (10/19)6 = 2,1256%. De kans om te winnen is gelijk aan 1 min de kans om 6 keer te verliezen: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
in een unieke omstandigheid kan deze strategie zinvol zijn. Stel dat de gokker precies 63 eenheden bezit, maar een totaal van 64 hard nodig heeft., Uitgaande van q > 1/2 (Het is een echt casino) en hij mag alleen inzetten op even odds, zijn beste strategie is vet spel: bij elke spin, moet hij het kleinste bedrag zodanig inzetten dat als hij wint hij zijn doel onmiddellijk bereikt, en als hij niet genoeg voor dit heeft, moet hij gewoon alles inzetten. Uiteindelijk gaat hij failliet of bereikt zijn doel. Deze strategie geeft hem een kans van 97,8744% van het bereiken van het doel van het winnen van een eenheid VS.een 2,1256% kans op het verliezen van alle 63 eenheden, en dat is de best mogelijke kans in deze omstandigheid., Echter, vet spel is niet altijd de optimale strategie voor het hebben van de grootst mogelijke kans om een startkapitaal te verhogen tot een gewenst hoger bedrag. Als de gokker willekeurig kleine bedragen kan inzetten op willekeurig lange kansen (maar nog steeds met hetzelfde verwachte verlies van 10/19 van de inzet bij elke inzet), en kan slechts een inzet bij elke spin, dan zijn er strategieën met meer dan 98% kans op het bereiken van zijn doel, en deze gebruiken zeer timide spelen, tenzij de gokker is dicht bij het verliezen van al zijn kapitaal, in welk geval hij overschakelt naar extreem vet spel.