DerivationsEdit
kwadratische interpolatieedit
P ( x ) = f ( a) (x − m) (x − b) (a − m) (a − b ) + f ( M) (x − A) (x − B) (m − A) (m − b ) + f ( b) (x − A) (x − m) (b − A) (b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a) {\tfrac {(x-m)(x-b)}{(A-m)(A-b)}}+f(M) {\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-A)(m-B)}}+f(B) {\tfrac {(x-A)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
door integratie door substitutie kan men aantonen dat
∫ a b P (x ) d x = b − a 6 . {\displaystyle\int _{a}^{b}P(x)\, dx={\tfrac {b-a}{6}} \ left.,}
introducerend de stapgrootte h=(b − a ) / 2 {\displaystyle h = (b-a)/2} Dit wordt ook vaak geschreven als
∫ a b P ( x ) d x = h 3 . {\displaystyle\int _{a}^{b}P(x)\, dx={\tfrac {h}{3}} \ left.}
gemiddelde van het middelpunt en de trapeziumvormige regeledit
een andere afleiding construeert Simpson ‘ s regel uit twee eenvoudigere benaderingen: de middenregel
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-A)F\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
en de trapeziumvormige regel
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( A)) + F ( B)). {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}} (b-a) (f(A)+f (b)).,}
De fouten in deze benaderingen zijn
1 24 ( b − a ) 3 f ‘( a ) + O ( ( b − a), 4 ) en − 1 12 ( b − a ) 3 f ‘( a ) + O ( ( b − a), 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{en}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
Dit gewogen gemiddelde is precies Simpson ‘ s regel.
met behulp van een andere benadering (bijvoorbeeld de trapeziumregel met twee keer zoveel punten) is het mogelijk om een geschikt gewogen gemiddelde te nemen en een andere foutterm te elimineren. Dit is Romberg ‘ s methode.,
onbepaalde coëfficiëntenwaarde
de derde afleiding begint met de ansatz
1 b-a ∫ a b f (x) d x ≈ α f ( a) + β f ( a + b 2) + γ f ( b). {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\, dx \approx\alpha f(a)+\beta F\left ({\tfrac {a+b}{2}}\right)+ \ gamma f(b).}
de coëfficiënten α, β en γ kunnen worden vastgesteld door te eisen dat deze benadering exact is voor alle kwadratische veeltermen. Dit levert Simpson ‘ s regel op.,
Errorredit
de fout bij het benaderen van een integraal door Simpson ‘ s regel voor n = 2 {\displaystyle n=2} is
− 1 90 ( b − a 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
waarin ξ {\displaystyle \Xi } (de Griekse letter xi) een getal is tussen A {\displaystyle A} en B {\displaystyle B} .,
aangezien de foutterm evenredig is met de vierde afgeleide van F {\displaystyle f} Op ξ {\displaystyle \xi } , toont dit aan dat Simpson ‘ s regel exacte resultaten geeft voor elke veelterm f {\displaystyle f} van graad drie of minder, aangezien de vierde afgeleide van een dergelijke veelterm op alle punten nul is.
als de tweede afgeleide f “{\displaystyle f”} bestaat en convex is in het interval (a, b ) {\displaystyle (A,\ b)}:
( b − a) f ( a + b 2) + 1 3 ( b − a 2) 3 f ” ( a + b 2) ≤ ∫ a b f ( x) d x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leQ \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}
samengestelde Simpsons regeldit
als het interval van integratie {\displaystyle } in zekere zin “klein” is, dan zal Simpsons regel met n = 2 {\displaystyle n=2} subinterventies een adequate benadering van de exacte integraal bieden. Met klein bedoelen we eigenlijk dat de geïntegreerde functie relatief glad is over het interval {\displaystyle}., Voor zo ’n functie zal een gladde kwadratische interpolant zoals die in Simpson’ s regel gebruikt goede resultaten geven.
echter, het is vaak het geval dat de functie die we proberen te integreren niet glad is over het interval. Typisch, dit betekent dat ofwel de functie is zeer Oscillerend, of het ontbreekt derivaten op bepaalde punten. In deze gevallen kan de regel van Simpson zeer slechte resultaten opleveren. Een veel voorkomende manier om dit probleem aan te pakken is door het interval {\displaystyle } op te splitsen in n > 2 {\displaystyle n>2} kleine subintervals., Simpson ‘ s regel wordt dan toegepast op elke subinterval, waarbij de resultaten worden opgeteld om een benadering voor de integraal over het gehele interval te produceren. Dit soort benadering wordt de composite Simpson ‘ s rule genoemd.,
∫ b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\), dx&\ca {\frac {h}{3}}\som _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
De fout begaan door de composiet Simpson regel is
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi))} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . het is niet de bedoeling dat ik het doe.^{4}}{180}}( b-a) \ max _{\xi \ in} / f^{(4)} (\xi )|.,}
Deze formulering splitst het interval {\displaystyle } in subintervallen van gelijke lengte. In de praktijk is het vaak voordelig om subintervals van verschillende lengtes te gebruiken en de inspanningen te concentreren op de plaatsen waar de integrand zich minder goed gedraagt. Dit leidt tot de adaptieve Simpsons methode.