Icosaedro (Português)

o icosaedro regular é um dos cinco sólidos platónicos. É um poliedro regular convexo composto de vinte faces triangulares, com cinco reuniões em cada um dos Doze vértices. Tem 30 arestas e 12 vértices. Seu poliedro duplo é o dodecaedro.,

Dimensões

Se o comprimento da aresta do icosaedro regular é , o raio da esfera circunscrita (aquele que toca o icosaedro em todos os vértices) é

e o raio de uma esfera inscrita (tangente a cada uma das faces do icosaedro) é

enquanto o midradius, que toca no meio de cada aresta, é

, onde (também chamado de ), é a razão de ouro.,

Área e volume

A área de superfície e o volume de um icosaedro regular de aresta de comprimento são:

coordenadas Cartesianas

As seguintes coordenadas Cartesianas definem os vértices de um icosaedro com aresta de comprimento 2, centrado na origem:

, onde é a razão de ouro (também escrito τ)., Note que estes vértices formam cinco conjuntos de três retângulos de ouro ortogonais e mutuamente centrados.

as 12 arestas de um octaedro regular podem ser particionadas na razão dourada para que os vértices resultantes definam um icosaedro regular. Isto é feito colocando primeiro vetores ao longo das bordas do octaedro de tal forma que cada face é limitada por um ciclo, então Particionando similarmente cada aresta na média dourada ao longo da direção de seu vetor., Os cinco octaedros que definem qualquer icosaedro dado formam um composto poliedral regular, assim como os dois icosaedros que podem ser definidos desta forma a partir de qualquer octaedro dado.

construção por um sistema de linhas equiangulares

a seguinte construção do icoshaedron evita cálculos tediosos no campo Número necessário em abordagens mais elementares.

A existência do icosaedro equivale à existência de seis linhas equiangulares em ., Na verdade, Intersectar tal sistema de linhas equiangulares com uma esfera Euclidiana centrada na sua intersecção comum produz os doze vértices de um icosaedro regular, como pode ser facilmente verificado. Inversamente, supondo a existência de um icosaedro regular, as linhas definidas por seus seis pares de vértices opostos formam um sistema equiangular.

para construir um tal equiangular sistema, vamos começar com a matriz

de tamanho quadrado ., (Mnemônico: a matriz codifica os ângulos, agudos positivo de entrada, obtuso, de outra forma, entre cinco ciclicamente vértices consecutivos adjacente ao primeiro vértice de um icosaedro centrado na origem.)

a straightforward computation yields . Isto implica que tem autovalores , ambos com multiplicidade 3 desde é simétrico e de traço 0., A matriz induz thusan Euclidiana estrutura no espaço quociente qual é isomórfica à desde que o kernel de tem dimensão 3. A imagem sob a projeção um dos seis eixos de coordenadas no formas assim asystem de seis equiangular linhas interseção entre pares em comum um ângulo agudo de ., Projeção ortogonal de para o -eigenspace de produz, assim, os doze vértices do icosaedro.

uma segunda construção simples do icosaedro usa a teoria da representação do grupo Alternante agindo por isometrias diretas no icosaedro.

Stellations

According to specific rules defined in the book the fifty nine icosahedra, 59 stellations were identified for the regular icosahedron. A primeira forma é o icosaedro em si., Um é um sólido Kepler-Poinsot regular. Três são poliedros compostos regulares.

21 de 59 estrelamentos

As faces do icosaedro estendido para fora como planos intersectam-se, a definição de regiões no espaço, como mostrado por este stellation diagrama de interseções em um único plano.,

Geometric relations

Icosahedron as a snub tetrahedron.,

Icosahedron as an alternated truncated octahedron.

There are distortions of the icosahedron that, while no longer regular, are nevertheless vertex-uniform., Estas são invariantes sob as mesmas rotações como o tetraedro, e são um pouco parecido com o cubo snub e dodecaedro snub, incluindo algumas formas que são quirais e alguns com Th-simetria, por exemplo, tem diferentes planos de simetria do tetraedro. O icosaedro tem um grande número de constelações, incluindo um dos poliedros de Kepler-Poinsot e alguns dos compostos regulares, que poderiam ser discutidos aqui.o icosaedro é único entre os sólidos platônicos em possuir um ângulo Diédrico não inferior a 120°. Seu ângulo Diédrico é aproximadamente 138.19°.,ss de 120° e não pode ser usado como o rosto de um convexo regular poliedro porque tal construção não satisfazem a exigência de que, pelo menos, três faces se encontram em um vértice e deixam uma marca positiva defeito de dobramento em três dimensões, icosahedra não podem ser usadas como células de um convexo regular polychoron porque, da mesma forma, pelo menos três células devem atender a uma borda e deixam uma marca positiva defeito de dobramento em quatro dimensões (em geral para um polī ıtopo convexo em dimensões, pelo menos, três aspectos devem atender a um pico e deixam uma marca positiva defeito para dobrar em n-espaço)., No entanto, quando combinado com células adequadas com ângulos diedrais menores, icosaedra pode ser usado como células em polychora semi-regular (por exemplo, a snub 24-cell), assim como hexágonos podem ser usados como faces em poliedros semi-regulares (por exemplo, o icosaedro truncado). Finalmente, os politopos não convexos não possuem os mesmos requisitos estritos que os politopos convexos, e icosaedras são, de fato, as células das 120 células icosaedrais, uma das dez polícoras regulares não convexas.um icosaedro também pode ser chamado de bipiramida pentagonal giroelongada., Pode ser decomposta em uma pirâmide pentagonal giroelongada e uma pirâmide pentagonal ou em um antiprisma pentagonal e duas pirâmides pentagonais iguais.

o icosaedro também pode ser chamado de tetraedro snub, uma vez que a snubificação de um tetraedro regular dá um icosaedro regular., Alternativamente, usando a nomenclatura de afronta poliedros que se refere a um cubo snub como uma afronta cuboctahedron (cuboctahedron = rectificado o cubo) e um dodecaedro chato como uma afronta icosidodecaedro (icosidodecaedro = rectificado o dodecaedro), pode-se chamar o icosaedro a afronta octaedro (octaedro = rectificado tetraedro).um icosaedro rectificado forma um icosidodecaedro.

Icosaedro vs dodecaedro

quando um icosaedro está inscrito numa esfera, ocupa menos do volume da esfera (60,54%) do que um dodecaedro inscrito na mesma esfera (66,49%).,

também, como estes são duais, é possível transformar um no outro (ver abaixo).,

Icosahedron

Truncated icosahedron

Icosidodecahedron

Truncated dodecahedron

Dodecahedron

Uses and natural forms

muitos vírus, por exemplo herpes, têm a forma de um icosaedro. Estruturas virais são construídas de subunidades proteicas idênticas repetidas e o icosaedro é a forma mais fácil de montar usando essas subunidades. Um poliedro regular é usado porque pode ser construído a partir de uma única unidade de proteína básica usada repetidamente; isso economiza espaço no genoma viral.,

In 1904, Ernst Haeckel described a number of species of Radiolaria, including Circogonia icosahedra, whose skeleton is shaped like a regular icosahedron. A copy of Haeckel’s illustration for this radiolarian appears in the article on regular polyhedra.

	em alguns jogos de roleplaying, o dado de vinte lados (para abreviar, d20) é usado para determinar o sucesso ou a falha de uma ação. Este dado é na forma de um icosaedro regular. Pode ser numerada de ” 0 “a” 9 ” duas vezes (em que forma geralmente serve como um dado de dez lados, ou d10), mas a maioria das versões modernas são rotuladas de “1” a “20”. Ver Sistema d20.,

Um icosaedro é o tridimensional jogo de tabuleiro para Icosagame, anteriormente conhecido como o Ico de Cristal Jogo.

um icosaedro é usado no jogo de tabuleiro Scattergories para escolher uma letra do alfabeto. Seis letras pouco usadas, como X, Q E Z, são omitidas.dentro de uma bola 8 mágica, várias respostas para perguntas sim-não são impressas em um icosaedro regular.

o icosaedro exibido de forma funcional é visto na sombra da luz Sol De la Flor., A roseta formada pelas peças sobrepostas mostra uma semelhança com a flor Frangipani.

se cada aresta de um icosaedro é substituído por um resistor ohm único, a resistência entre vértices opostos é 0.5 ohms, e entre vértices adjacentes 11/30 ohms.

O grupo de simetria do icosaedro é isomórfico ao grupo Alternante em cinco letras. Este grupo simples nãoabeliano é o único subgrupo normal não trivial do grupo simétrico em cinco letras., Uma vez que o grupo Galois da equação quíntica geral é isomórfico ao grupo simétrico em cinco letras, e o fato de que o grupo icosaédrico é simples e nãoabeliano significa que as equações quínticas não precisam ter uma solução nos radicais. The proof of the Abel-Ruffini theorem uses this simple fact, and Felix Klein wrote a book that made use of the theory of icosahedral symmetries to derive an analytical solution to the general quintic equation.,

Veja também:

Modelo:Wiktionarypar

• icosaedro Truncado
• poliedro Regular
• Geodésico grades usar um iterativamente cortado icosaedro para gerar grades em uma esfera
• Jessen do icosaedro

Modelo:Wikisource1911Enc

Modelo:Commonscat

• Weisstein, Eric W., “Icosaedro” a partir de MathWorld.modelos em papel do icosaedro o poliedro uniforme, MacLean, a Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
• icosahedron model – works right in your web browser
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Tulane.,edu é Uma discussão da super estrutura e o icosaedro
• Papel de Modelos de Poliedros Muitos links
• Origami Poliedros – Modelos é feita com um Origami Modular
• o vídeo de icosahedral espelho é uma escultura

Modelo:Poliedros

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