Let one round be defined as a sequence of consecutive losses followed by either a win, or bankruptcy of the gambler. Após uma vitória, o jogador “reinicia” e é considerado como tendo começado uma nova rodada. Uma sequência contínua de apostas de Gamarra pode, assim, ser dividida em uma sequência de rodadas independentes. Segue-se uma análise do valor esperado de uma rodada.
Let q be the probability of losing (e.g. for American double-zero roulette, it is 20/38 for a bet on black or red). Deixe B ser o montante da aposta inicial., Que n Seja o número finito de apostas que o jogador pode dar ao luxo de perder.
a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas é qn. Quando todas as apostas perder, a perda total é
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
A probabilidade de o jogador não perde todos os n apostas é 1 − qn. Em todos os outros casos, o jogador ganha a aposta inicial (B., Assim, o lucro esperado por rodada é de
( 1 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 p ) n ) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2t)^{n})}
Sempre que p > 1/2, a expressão 1 − (2t)n < 0 para todo n > 0. Assim, para todos os jogos onde um jogador é mais provável perder do que ganhar qualquer aposta dada, que o jogador é esperado perder dinheiro, em média, cada rodada. Aumentar o tamanho da aposta para cada rodada por sistema de Gamarra só serve para aumentar a perda média.,suponha que um jogador tenha um saldo de 63 unidades de jogo. O jogador pode apostar uma unidade na primeira volta. Em cada perda, a aposta é dobrada. Assim, tomando k como o número de perdas consecutivas anteriores, o jogador sempre vai apostar 2K unidades.
com uma vitória em qualquer giro dado, o jogador irá ganhar 1 unidade sobre a quantidade total apostada para esse ponto. Uma vez que esta vitória é alcançada, o jogador reinicializa o sistema com uma aposta de 1 unidade.com perdas em todas as seis primeiras voltas, o jogador perde um total de 63 unidades. Isto esgota a banca e o martingale não pode ser continuado.,
neste exemplo, a probabilidade de perder toda a banca e ser incapaz de continuar o martingale é igual à probabilidade de 6 perdas consecutivas: (10/19)6 = 2.1256%. A probabilidade de ganhar é igual a 1 menos a probabilidade de perder 6 vezes: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.numa circunstância única, esta estratégia pode fazer sentido. Suponha que o jogador possui exatamente 63 unidades, mas precisa desesperadamente de um total de 64., Supondo que q > 1/2 (é um casino real) e ele só pode colocar apostas até as probabilidades, sua melhor estratégia é ousada de jogo: em cada rodada, ele deve apostar a menor quantidade tal que, se ele ganha, ele atinge o seu alvo imediatamente, e, se ele não tem o suficiente para isso, ele deve simplesmente apostar tudo. Eventualmente, ou ele vai à falência ou atinge o alvo. Esta estratégia lhe dá uma probabilidade de 97.8744% de alcançar o objetivo de ganhar uma unidade contra 2.1256% de chance de perder todas as 63 unidades, e essa é a melhor probabilidade possível nesta circunstância., No entanto, jogar a negrito nem sempre é a melhor estratégia para ter a maior chance possível de aumentar um capital inicial para algum montante desejado mais elevado. Se o jogador pode apostar arbitrariamente pequena quantidade arbitrariamente longo de probabilidades (mas ainda com a mesma expectativa de perda de 10/19 da estaca em cada aposta), e só pode colocar uma aposta em cada rodada, em seguida, há as estratégias acima de 98% de chance de atingir o seu objetivo, e estes usam muito tímida jogo a menos que o jogador está perto de perder todo o seu capital, caso em que ele não mude para extremamente ousado jogar.