Matemática para as Artes Liberais

Resultados da Aprendizagem

  • Tornar-se familiarizado com a história da posicional do número de sistemas
  • Identificar as bases que têm sido utilizados no número de sistemas historicamente
  • Converte números entre bases
  • o Uso de dois diferentes métodos para a conversão de números entre bases

Antecedentes

Como você pode imaginar, o desenvolvimento de um sistema de base é um importante passo no sentido de tornar o processo de contagem mais eficiente., Nosso próprio sistema base-dez provavelmente surgiu do fato de que temos 10 dedos (incluindo polegares) em duas mãos. Isto é um desenvolvimento natural. No entanto, outras civilizações tiveram uma variedade de bases que não dez. Por exemplo, os nativos de Queensland usaram um sistema base-dois, contando como segue: “um, dois, dois e um, dois dois, muito.”Algumas tribos modernas sul-americanas têm um sistema base-Cinco contando desta forma:” um, dois, três, quatro, mão, mão e um, mão e dois, ” e assim por diante. Os babilônios usaram um sistema base-60 (sexigesimal)., Neste capítulo, nós terminamos com um exemplo específico de uma civilização que realmente usou um sistema base diferente de 10.

a civilização Maia é geralmente datada de 1500 a. C. a 1700 D. C. A Península de Yucatan (ver Figura 16) no México foi o cenário para o desenvolvimento de uma das civilizações mais avançadas do mundo antigo. Os maias tinham um sistema ritual sofisticado que era supervisionado por uma classe sacerdotal. Esta classe de sacerdotes desenvolveu uma filosofia com o tempo como divino e eterno., O calendário e os cálculos relacionados com ele eram, portanto, muito importantes para a vida ritual da classe sacerdotal e, portanto, do povo Maia. De fato, muito do que sabemos sobre esta cultura vem de seus registros de calendário e dados de Astronomia. Outra importante fonte de informação sobre os maias são os escritos do Padre Diego de Landa, que foi para o México como missionário em 1549.

havia dois sistemas numéricos desenvolvidos pelos maias—um para o povo comum e outro para os sacerdotes., Estes dois sistemas não só usavam símbolos diferentes, como também usavam sistemas de base diferentes. Para os sacerdotes, o sistema de números era governado por rituais. Os dias do ano eram considerados deuses, então os símbolos formais para os dias eram cabeças decoradas, como a amostra para a esquerda desde que o calendário básico foi baseado em 360 dias, o sistema de numeração sacerdotal usou um sistema de base mista empregando múltiplos de 20 e 360. Isto torna um sistema confuso, cujos detalhes iremos ignorar.,/td>

206 64,000,000 Alau 205 3,200,000 Kinchil 204 160,000 Cabal 203 8,000 Pic 202 400 Bak 201 20 Kal 200 1 Hun

The Mayan Number System

Instead, we will focus on the numeration system of the “common” people, which used a more consistent base system., Como dissemos anteriormente, Os Maias usaram um sistema base-20, chamado de Sistema “vigesimal”. Tal como o nosso sistema, é posicional, o que significa que a posição de um símbolo numérico indica o seu valor de lugar. Na tabela seguinte você pode ver o valor do lugar em seu formato vertical.

a fim de escrever números para baixo, havia apenas três símbolos necessários neste sistema. Uma barra horizontal representava a quantidade 5, um ponto representava a quantidade 1, e um símbolo especial (pensado para ser uma concha) representava zero., O sistema Maia pode ter sido o primeiro a fazer uso de zero como um substituto/número. Os primeiros 20 números são mostrados na tabela à direita.

Ao contrário do nosso sistema, onde os lugares começam à direita e depois se movem para a esquerda, os sistemas maias colocam os que estão na parte inferior de uma orientação vertical e se movem para cima à medida que o valor do lugar aumenta.

Quando os números são escritos na forma vertical, nunca deve haver mais de quatro pontos em um único lugar. Ao escrever números maias, cada grupo de cinco pontos torna-se uma barra., Além disso, nunca deve haver mais de três barras num único lugar…Quatro Barras seriam convertidas em um ponto no próximo lugar acima. É o mesmo que 10 ser convertido para um 1 no próximo lugar, quando carregamos durante a adição.

exemplo

Qual é o valor deste número, que é mostrado na forma vertical?

Mostrar a Solução

a partir de baixo, temos aquelas lugar. Há duas barras e três pontos neste lugar., Uma vez que cada barra vale 5, Temos 13 quando contamos os três pontos em um lugar. Olhando para o valor do lugar acima dele(os lugares vinte), vemos que existem três pontos, então temos três vinte.

Portanto, podemos escrever esse número em base dez como:

(3 × 201) + (13 × 200) = (3 × 201) + (13 × 1) = 60 + 13 = 73

Exemplo

o Que é o valor da seguinte Maia número?,

Mostrar a Solução

Este número tem 11 na queridos lugar, zero na década de 20 lugar, e 18 no 202 = 400 lugar. Portanto, o valor deste número na base-dez é:

18 × 400 + 0 × 20 + 11 × 1 = 7211.

tente

converta o número Maia abaixo para base 10.,

Mostrar a Solução

Exemplo

Converter a base 10 de um número 357510 para Maia numerais.

Show Solution

This problem is done in two stages. Primeiro temos de nos converter para um número base 20. Fá-lo-emos utilizando o método previsto na última secção do texto. O segundo passo é converter esse número para símbolos maias.,

A mais alta potência de 20 que o irá dividir-se em 3575 é 202 = 400, então, vamos começar dividindo e, em seguida, continuar a partir daí:

3575 ÷ 400 = 8.9375
0.9375 × 20 = 18.75
0.75 × 20 = 15.0

Isto significa que 357510 = 8,18,1520

O segundo passo é converter-se que este Maia notação. Este número indica que temos 15 na posição de um. São três barras no fundo do número. Também temos 18 na casa dos 20, por isso são três barras e três pontos na segunda posição. Finalmente, temos 8 no lugar 400s, então isso é uma barra e três pontos no topo., Temos o seguinte:

Note que no exemplo anterior uma nova notação foi utilizada quando escrevemos 8,18,1520. As vírgulas entre os três números 8, 18 e 15 estão agora separando os valores de lugar para nós para que possamos mantê-los separados um do outro. Este uso da vírgula é ligeiramente diferente de como eles são usados no sistema decimal. Quando escrevemos um número na base 10, como 7.567.323, as vírgulas são usadas principalmente como um auxiliar para ler o número facilmente, mas eles não separam os valores de um único lugar um do outro., Vamos precisar desta Notação sempre que a base que usamos for maior que 10.

escrevendo números com bases maiores que 10

quando a base de um número é maior que 10, separe cada “dígito” com uma vírgula para tornar clara a separação dos dígitos.

Por exemplo, na base 20, para escrever o número correspondente a 17 × 202 + 6 × 201 + 13 × 200, escreveríamos 17,6,1320.

no vídeo a seguir apresentamos mais exemplos de como escrever números usando Numerais maias, bem como converter numerais escritos em Maias para a forma base 10.,

O próximo vídeo mostra mais exemplos de conversão de números base 10 em números maias.

adicionando números maias

ao adicionar números maias juntos, adotaremos um esquema que os Maias provavelmente não usaram, mas que tornará a vida um pouco mais fácil para nós.

Exemplo

Adicionar, na Maia, com o número 37 e 29 de:

Mostrar a Solução

Primeiro desenhe uma caixa ao redor de cada um dos vertical lugares. Isto ajudará a evitar que os valores do lugar sejam misturados.,

em seguida, coloque todos os símbolos de ambos os números em um único conjunto de locais (caixas), e à direita deste novo número de desenhar um conjunto de caixas vazias, onde você vai colocar o montante final:

agora Você está pronto para começar a carregar. Comece com o lugar que tem o menor valor, assim como você faz com números árabes. Comece no lugar inferior,onde cada ponto vale 1. Existem seis pontos, mas um máximo de quatro são permitidos em qualquer lugar; uma vez que você chega a cinco pontos, você deve converter para uma barra., Uma vez que cinco pontos fazem uma barra, desenhamos uma barra através de cinco pontos, deixando-nos com um ponto que está abaixo do limite de quatro pontos. Coloque este ponto na parte inferior do conjunto de caixas vazias que acabou de desenhar:

Agora Veja as barras no local inferior. Há cinco, e o número máximo que o lugar pode ter é três. Quatro barras são iguais a um ponto no lugar mais alto seguinte.

sempre que temos quatro barras em um único lugar, nós automaticamente convertemos isso para um ponto no próximo lugar para cima., Desenhamos um círculo em torno de quatro barras e uma seta até a seção dos pontos do lugar mais alto. No final da seta, desenhe um novo ponto. Esse ponto representa 20 exactamente como os outros pontos naquele lugar. Sem contar com as barras em círculo no lugar de baixo, resta uma barra. Uma barra está abaixo do limite de três barras; coloque-a sob o ponto no conjunto de lugares vazios à direita.

Agora existem apenas três pontos no local mais alto seguinte, por isso desenhe-os na caixa vazia correspondente.,

podemos ver aqui que temos 3 twenties (60), e 6 ones, para um total de 66. Verificamos e observamos que 37 + 29 = 66, por isso fizemos esta adição corretamente. É mais fácil fazê-lo na base dez? Provavelmente, mas isso é só porque te é mais familiar. Sua tarefa aqui é tentar aprender um novo sistema de base e como a adição pode ser feita de maneiras ligeiramente diferentes do que você viu no passado. Note, no entanto, que o conceito de transporte ainda é usado, assim como é em nosso próprio algoritmo de adição.,

tente adicionar 174 e 78 no Maia, primeiro convertendo-se para números maias e depois trabalhando inteiramente dentro desse sistema. Não adicionar na base-dez (decimal) até ao fim quando verificar o seu trabalho.

Show Solution

a sample solution is shown.

no último vídeo mostramos mais exemplos de adição de algarismos maias.,

Neste módulo, temos esboçado brevemente o desenvolvimento de Números e nosso sistema de contagem, com a ênfase na parte “breve”. Existem numerosas fontes de informação e pesquisa que enchem muitos volumes de livros sobre este tema. Infelizmente, não podemos começar a chegar perto de cobrir toda a informação que está lá fora.

apenas arranhámos a superfície da riqueza da investigação e da informação que existe sobre o desenvolvimento de Números e contagem ao longo da história humana., O que é importante notar é que o sistema que utilizamos todos os dias é um produto de milhares de anos de progresso e desenvolvimento. Representa contribuições de muitas civilizações e culturas. Não desce até nós do céu, um presente dos deuses. Não é a criação de um editor de livros. É tão humano como nós, como o resto da matemática. Por trás de cada símbolo, fórmula e Regra há um rosto humano a ser encontrado, ou pelo menos procurado.

além disso, esperamos que você agora tenha uma apreciação básica pelo quão interessantes e diversos sistemas de números podem ficar., Além disso, temos quase a certeza de que vocês também começaram a reconhecer que nós tomamos nosso próprio sistema de números por certo tanto que quando tentamos nos adaptar a outros sistemas ou bases, nós nos encontramos realmente tendo que nos concentrar e pensar sobre o que está acontecendo.

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