DerivationsEdit
Pătratice interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
folosind integrarea prin substituție se poate arăta că
∫ A b P (x ) d x = b − a 6 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}P (x)\, dx={\tfrac {b-a}{6}}\stânga.,}
introducerea dimensiunii pasului h = (b-a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} Aceasta este, de asemenea, scrisă în mod obișnuit ca
∫ A b P ( x) d x = h 3 . {\displaystyle \int _{o}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\stânga.}
o Medie de mijloc și trapezoidal rulesEdit
un Alt derivare construiește regula lui Simpson din două simple aproximări: mijloc regulă
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
și regula trapezului
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).,}
erori în aceste aproximări sunt
1 24 ( b − a ) 3 f „( o ) + O ( ( b − a ) 4 ) și − 1 12 ( b − a ) 3 f „( o ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(o)+O((b-a)^{4})\quad {\text{și}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(o)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M + T}{3}}.}
această medie ponderată este exact regula lui Simpson.folosind o altă aproximare (de exemplu, regula trapezoidală cu de două ori mai multe puncte), este posibil să se ia o medie ponderată adecvată și să se elimine un alt termen de eroare. Aceasta este metoda lui Romberg.,
Nedeterminat coefficientsEdit
Cea de-a treia derivare pornește de la ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b}}\int _{o}^{b}f(x)\,dx\aproximativ \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
coeficienții α, β și γ pot fi fixați cerând ca această aproximare să fie exactă pentru toate polinoamele pătratice. Acest lucru dă regula lui Simpson.,
ErrorEdit
eroare în aproximarea unei integrale prin regula lui Simpson pentru n = 2 {\displaystyle n=2} este
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
în cazul în care ξ {\displaystyle \xi } (litera grecească xi) este un număr între un {\displaystyle o} și b {\displaystyle b} .,
Deoarece termenul de eroare este proporțională cu cea de-a patra derivata lui f {\displaystyle f} la ξ {\displaystyle \xi } , acest lucru arată că regula lui Simpson oferă rezultate exacte pentru orice polinom f {\displaystyle f} de gradul trei sau mai putin, de la al patrulea derivate din astfel de polinom este zero în toate punctele.
Dacă derivata a doua f „{\displaystyle f”} există și este convexă pe intervalul ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − 2 ) 3 f ” ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{o}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b}{6}}\stânga.}
Composite Simpson ruleEdit
Dacă intervalul de integrare {\displaystyle } este într-un sens „mic”, atunci regula lui Simpson cu n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals va oferi un nivel adecvat de armonizare la exact integrantă. Prin mic, ceea ce înțelegem cu adevărat este că funcția integrată este relativ netedă pe intervalul {\displaystyle } ., Pentru o astfel de funcție, un interpolant patratic neted precum cel folosit în regula lui Simpson va da rezultate bune.cu toate acestea, este adesea cazul în care funcția pe care încercăm să o integrăm nu este netedă pe interval. De obicei, aceasta înseamnă că fie funcția este foarte oscilantă, fie nu are derivate în anumite puncte. În aceste cazuri, regula lui Simpson poate da rezultate foarte slabe. Un mod comun de manipulare această problemă este de rupere în sus interval {\displaystyle } în n > 2 {\displaystyle n>2} mică subintervals., Regula lui Simpson este apoi aplicată fiecărui subinterval, rezultatele fiind însumate pentru a produce o aproximare a integralei pe întregul interval. Acest tip de abordare este numit regula compozit Simpson.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aliniat}\int _{o}^{b}f(x)\,dx&\cca {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aliniat}}}
eroare comisă de compozit regula lui Simpson este
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {sec^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {sec^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \în }|f^{(4)}(\xi )|.,}
această formulare împarte intervalul {\displaystyle } în subintervale de lungime egală. În practică, este adesea avantajos să se utilizeze subintervale de diferite lungimi și să se concentreze eforturile asupra locurilor în care integrandul se comportă mai puțin bine. Aceasta duce la metoda adaptivă Simpson.