Låt en runda definieras som en sekvens av på varandra följande förluster följt av antingen en vinst eller konkurs av spelaren. Efter en seger, spelaren ”återställs” och anses ha startat en ny omgång. En kontinuerlig sekvens av Martingale satsningar kan således delas in i en sekvens av oberoende rundor. Följande är en analys av det förväntade värdet av en runda.
låt q vara sannolikheten för att förlora (t.ex. för American double-zero roulette, Det är 20/38 för en satsning på svart eller rött). Låt B vara mängden av den ursprungliga insatsen., Låt n vara det ändliga antalet satsningar spelaren har råd att förlora.
sannolikheten för att spelaren kommer att förlora alla n-satsningar är qn. När alla satsningar förlorar är den totala förlusten
i = 1 n b 2 i − 1 = b ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b\cdot 2^{i-1}=b(2^{n}-1)}
sannolikheten att spelaren inte förlorar alla n satsningar är 1 − qn. I alla andra fall vinner spelaren den ursprungliga insatsen (B.,) Således är den förväntade vinsten per runda
( 1 − q n) b − q n b ( 2 n − 1 ) = b ( 1 − ( 2 q ) n ) {\displaystyle (1-q^{N})\cdot B-q^{N}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
När q > 1/2, uttrycket 1 − (2Q)n < 0 för alla n > 0. Således, för alla spel där en spelare är mer benägna att förlora än att vinna en viss satsning, att spelaren förväntas förlora pengar, i genomsnitt, varje runda. Att öka storleken på satsningen för varje runda per martingale-systemet tjänar bara till att öka den genomsnittliga förlusten.,
Antag att en spelare har en 63-enhet spelande bankrulle. Spelaren kan satsa 1 enhet på den första spinn. Vid varje förlust fördubblas insatsen. Således tar K som antalet föregående på varandra följande förluster, spelaren kommer alltid att satsa 2K enheter.
med en vinst på en given snurr, spelaren kommer netto 1 enhet över det totala beloppet satsas på den punkten. När denna vinst uppnås startar spelaren om systemet med en 1-enhetsinsats.
med förluster på alla de första sex spinnen förlorar spelaren totalt 63 enheter. Detta uttömmer bankrullen och martingale kan inte fortsätta.,
i det här exemplet är sannolikheten att förlora hela bankrullen och inte kunna fortsätta martingalen lika med sannolikheten för 6 på varandra följande förluster: (10/19)6 = 2.1256%. Sannolikheten att vinna är lika med 1 minus sannolikheten att förlora 6 gånger: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
i en unik omständighet kan denna strategi vara meningsfull. Anta att spelaren har exakt 63 enheter men desperat behöver totalt 64., Förutsatt q> 1/2 (det är ett riktigt kasino) och han kan bara placera satsningar på jämna odds, hans bästa strategi är djärvt spel: vid varje snurr, han bör satsa det minsta beloppet så att om han vinner han når sitt mål omedelbart, och om han inte har tillräckligt för detta, han bör helt enkelt satsa allt. Så småningom går han antingen bust eller når sitt mål. Denna strategi ger honom en sannolikhet på 97.8744% för att uppnå målet att vinna en enhet mot en 2.1256% chans att förlora alla 63 enheter, och det är den bästa sannolikheten i denna omständighet., Men djärvt spel är inte alltid den optimala strategin för att ha största möjliga chans att öka ett startkapital till något önskat högre belopp. Om spelaren kan satsa godtyckligt små mängder i godtyckligt lång odds (men fortfarande med samma förväntade förlust av 10/19 av insatsen vid varje insats), och kan bara placera en insats på varje spin, då det finns strategier med över 98% chans att uppnå sitt mål, och dessa använder mycket skygga spela om spelaren är nära att förlora all sin inkomst, i vilket fall han inte byta till extremt fet spela.