DerivationsEdit
kvadratisk interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − B ) + f ( B ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − A ) ( b − M ) . {\displaystyle P(x)=f(a) {\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m) {\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-B)}}+f(B) {\tfrac {(x-a)(x-m)}{(B-a)(b-M)}}.}
genom att använda integration med substitution kan man visa att
b p ( x ) D x = b − a 6 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b}{6}}\kvar.,}
introducerar stegstorleken h = ( b − a ) / 2 {\displaystyle h=(B-A)/2} Detta är också vanligt skrivet som
b p ( x ) D x = h 3 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\kvar.}
medelvärdet av mittpunkten och trapetsreglesedit
en annan härledning konstruerar Simpsons regel från två enklare approximationer: mittregeln
m = ( b − a ) f ( A + B 2 ) {\displaystyle M=(B-A)F\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
och trapetsregeln
T = 1 2 ( B − a ) ( F ( A ) + f ( B))). – herr talman! {\displaystyle t={\tfrac {1}{2}} (b-a) (F (A)+f (B))).,}
felen i dessa approximationer är
1 24 ( b − a ) 3 f ”( A ) + O ( ( b − a ) 4 ) och − 1 12 ( b − a ) 3 f ”( A ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}F”(A)+O((b-a)^{4})\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(B-A)^{3}f”(a)+o((b-a)^{4}),} 2 m + t 3 . {\displaystyle {\tfrac {2m + t}{3}}.}
detta vägda medelvärde är exakt Simpsons regel.
med hjälp av en annan approximation (till exempel trapezregeln med dubbelt så många poäng) är det möjligt att ta ett lämpligt viktat genomsnitt och eliminera en annan felperiod. Detta är Rombergs metod.,
obestämda koefficientsedit
den tredje härledningen startar från ansatz
1 b − a b f ( x ) D x α f ( a ) + β F ( A + B 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-A}} \ int _{a}^{b}f (x)\, dx \approx\alpha f(a)+\beta f\left ({\tfrac {a+b}{2}}\right)+ \ gamma f(b).}
koefficienterna α, β Och γ kan fastställas genom att kräva att denna approximation är exakt för alla kvadratiska polynom. Detta ger Simpsons regel.,
ErrorEdit
felet vid approximering av en integral av Simpsons regel för N = 2 {\displaystyle N=2} är
− 1 90 ( b − a 2 ) 5 F ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}F^{(4)}(\xi),}
där ξ {\displaystyle \Xi } (den grekiska bokstaven xi) är ett tal mellan en {\displaystyle A} och b {\displaystyle B} .,
eftersom felperioden är proportionell mot det fjärde derivatet av f {\displaystyle F} vid ξ {\displaystyle \xi } , visar detta att Simpsons regel ger exakta resultat för alla polynomiala f {\displaystyle F} av grad tre eller mindre, eftersom det fjärde derivatet av ett sådant polynom är noll på alla punkter.
om det andra derivatet f ”{\displaystyle f”} finns och är konvext i intervallet ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} :
( b − a ) f ( A + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f ” ( A + B 2) ≤ a b f ( x ) D x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-a)F\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\vänster.}
Composite Simpsons ruleEdit
om integrationsintervallet {\displaystyle} i någon mening är ”litet”, kommer Simpsons regel med N = 2 {\displaystyle n=2} subintervals att ge en tillräcklig approximation till det exakta integralet. Med små menar vi verkligen att funktionen som integreras är relativt jämn över intervallet {\displaystyle } ., För en sådan funktion kommer en jämn kvadratisk interpolant som den som används i Simpsons regel att ge bra resultat.
det är dock ofta så att funktionen vi försöker integrera inte är jämn över intervallet. Vanligtvis innebär detta att antingen funktionen är mycket oscillerande, eller det saknar derivat vid vissa punkter. I dessa fall kan Simpsons regel ge mycket dåliga resultat. Ett vanligt sätt att hantera detta problem är att bryta upp intervallet {\displaystyle } i n > 2 {\displaystyle n>2} små underinterval., Simpsons regel tillämpas sedan på varje subinterval, med resultaten summeras för att producera en approximation för integralet över hela intervallet. Denna typ av tillvägagångssätt kallas komposit Simpsons regel.,
b f ( x ) D x h 3 J = 1 n/2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg} \\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
felet som begås av komposit Simpsons regel är
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b − a) f^{(4)} (\xi),} h 4 180 ( b-a) max ξ | f ( 4) (ξ)|. {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in }|F^{(4)} (\xi)|.,}
denna formulering delar upp intervallet {\displaystyle } i underintervaller av samma längd. I praktiken är det ofta fördelaktigt att använda underintervaller av olika längder och koncentrera ansträngningarna på de platser där integrementet är mindre välskött. Detta leder till adaptive Simpsons metod.