Anzahl

NumeralsEdit

Zahlen sollten von Ziffern unterschieden werden, die Symbole verwendet, um Zahlen darzustellen. Die Ägypter erfanden das erste verschlüsselte Zahlensystem, und die Griechen folgten, indem sie ihre Zählzahlen auf ionische und dorische Alphabete abbildeten., Römische Ziffern, Ein System, das Kombinationen von Buchstaben aus dem römischen Alphabet verwendete, dominierte in Europa bis zur Verbreitung des überlegenen hindu–arabischen Zahlensystems um das späte 14. Der Schlüssel zur Wirksamkeit des Systems war das Symbol für Null, das von alten indischen Mathematikern um 500 n. Chr.,

Erste Verwendung von numbersEdit

Knochen und andere Artefakte wurden mit in sie geschnittenen Markierungen entdeckt, von denen viele glauben, dass sie Tally-Markierungen sind. Diese tally Markierungen können für die Zählung der verstrichenen Zeit verwendet worden sein, wie die Anzahl der Tage, Mondzyklen oder Aufzeichnungen von Mengen, wie von Tieren.

Ein Tallyesystem hat kein Konzept des Ortswerts (wie in der modernen Dezimalnotation), das seine Darstellung großer Zahlen begrenzt. Nichtsdestotrotz gelten Tallsysteme als die erste Art abstraktes Zahlensystem.,

Das erste bekannte System mit Platzwert war das mesopotamische Basis-60-System (um 3400 v. Chr.) und das früheste bekannte Basis-10-System stammt aus 3100 v. Chr. in Ägypten.

Zero Edit

Die erste bekannte dokumentierte Verwendung von Zero stammt aus dem Jahr 628 n. Chr. und erschien im BrāhmasphuṭAsiddhānta, dem Hauptwerk des indischen Mathematikers Brahmagupta. Er behandelte 0 als Zahl und diskutierte Operationen, einschließlich Division. Zu dieser Zeit (im 7.Jahrhundert) hatte das Konzept Kambodscha als Khmer-Ziffern eindeutig erreicht, und die Dokumentation zeigt, dass sich die Idee später auf China und die islamische Welt ausbreitete.,

Brahmaguptas BrāhmasphuṭAsiddhānta ist das erste Buch, das Null als Zahl erwähnt, daher wird Brahmagupta normalerweise als das erste betrachtet, das den Begriff Null formuliert. Er gab Regeln für die Verwendung von Null mit negativen und positiven Zahlen an, z. B. „Null plus eine positive Zahl ist eine positive Zahl und eine negative Zahl plus Null ist die negative Zahl.,“Der BrāhmasphuṭAsiddhānta ist der früheste bekannte Text, der Null als eigenständige Zahl behandelt und nicht einfach als Platzhalterziffer, um eine andere Zahl darzustellen, wie es die Babylonier getan haben, oder als Symbol für einen Mangel an Quantität, wie es von Ptolemäus und den Römern getan wurde.

Die Verwendung von 0 als Zahl sollte von der Verwendung als Platzhalternummer in Platzwertsystemen unterschieden werden. Viele alte Texte verwendet 0. Babylonische und ägyptische Texte verwendeten es. Ägypter verwendeten das Wort nfr, um den Nullsaldo in der doppelten Buchhaltung zu bezeichnen., Indische Texte verwendeten ein Sanskrit-Wort Shunye oder Shunya, um sich auf das Konzept der Leere zu beziehen. In mathematischen Texten bezieht sich dieses Wort oft auf die Zahl Null. In ähnlicher Weise verwendete PāṇIni (5. Jahrhundert v. Chr.) den Nulloperator im Ashtadhyayi, ein frühes Beispiel für eine algebraische Grammatik für die Sanskrit-Sprache (siehe auch Pingala).

Es gibt andere Verwendungen von Null vor Brahmagupta, obwohl die Dokumentation nicht so vollständig ist wie im BrāhmasphuṭAsiddhānta.,

Aufzeichnungen zeigen, dass die alten Griechen über den Status von 0 als Zahl unsicher schienen: Sie fragten sich: „Wie kann‘ nichts ‚ etwas sein?“was zu interessanten philosophischen und im Mittelalter religiösen Argumenten über die Natur und Existenz von 0 und das Vakuum führt. Die Paradoxien von Zeno von Elea hängen zum Teil von der unsicheren Interpretation von 0 ab. (Die alten Griechen fragten sogar, ob 1 eine Zahl sei.,)

Das späte olmekische Volk von Süd-Zentralmexiko begann, ein Symbol für Null, eine Muschelglyphe, in der Neuen Welt zu verwenden, möglicherweise im 4. Jahrhundert vor Christus, aber sicherlich um 40 v. Chr., was ein integraler Bestandteil der Maya-Ziffern und des Maya-Kalenders wurde. Maya Arithmetik verwendet Basis 4 und Basis 5 als Basis 20 geschrieben. George I. Sánchez berichtete 1961 von einem Base 4, Base 5 „Finger“ Abacus.

Um 130 n. Chr. verwendete Ptolemäus, beeinflusst von Hipparchus und den Babyloniern, ein Symbol für 0 (einen kleinen Kreis mit einer langen Überleiste) in einem sexagesimalen Zahlensystem, das sonst alphabetische griechische Ziffern verwendete., Da es allein verwendet wurde, nicht nur als Platzhalter, war diese hellenistische Null die erste dokumentierte Verwendung einer echten Null in der Alten Welt. In späteren byzantinischen Manuskripten seiner Syntaxis Mathematica (Almagest) verwandelte sich die hellenistische Null in den griechischen Buchstaben Omicron (sonst 70).

Eine weitere wahre Null wurde in Tabellen neben römischen Ziffern von 525 verwendet (erste bekannte Verwendung von Dionysius Exiguus), aber als Wort bedeutet nulla nichts, nicht als Symbol. Als Division 0 als Rest erzeugte, wurde Nihil, auch nichts bedeutend, verwendet., Diese mittelalterlichen Nullen wurden von allen zukünftigen mittelalterlichen Rechnern (Rechner von Ostern) verwendet. Eine isolierte Verwendung ihrer Initialen, N, wurde in einer Tabelle mit römischen Ziffern von Bede oder einem Kollegen über 725 verwendet, ein wahres Nullsymbol.

Negative Zahlen bearbeiten

Das abstrakte Konzept negativer Zahlen wurde bereits 100-50 v. Chr. Die neun Kapitel über die mathematische Kunst enthält Methoden zum Auffinden der Bereiche von Zahlen; Rote Stäbe wurden verwendet, um positive Koeffizienten zu bezeichnen, schwarz für negativ., Die erste Referenz in einem westlichen Werk war im 3. Jahrhundert n. Chr. in Griechenland. Diophantus bezog sich in Arithmetica auf die Gleichung, die 4x + 20 = 0 (die Lösung ist negativ) entspricht, und sagte, dass die Gleichung ein absurdes Ergebnis ergab.

Während der 600er Jahre wurden negative Zahlen in Indien verwendet, um Schulden darzustellen. Diophantus ‚ vorherige Referenz wurde vom indischen Mathematiker Brahmagupta in BrāhmasphuṭAsiddhānta im Jahr 628 expliziter diskutiert, der negative Zahlen verwendete, um die allgemeine quadratische Formel zu erzeugen, die heute noch verwendet wird., Jahrhundert in Indien, Bhaskara gibt negative Wurzeln für quadratische Gleichungen, sagt aber, dass der negative Wert“in diesem Fall nicht zu nehmen ist, denn es ist unzureichend; Die Menschen genehmigen negative Wurzeln nicht“.Jahrhundert widersetzten sich die europäischen Mathematiker größtenteils dem Konzept der negativen Zahlen, obwohl Fibonacci negative Lösungen für finanzielle Probleme ermöglichte, bei denen sie als Schulden interpretiert werden konnten (Kapitel 13 von Liber Abaci, 1202) und später als Verluste (in Flos)., Gleichzeitig gaben die Chinesen negative Zahlen an, indem sie einen diagonalen Strich durch die am weitesten rechts stehende Ziffer der entsprechenden positiven Ziffer zeichneten. Die erste Verwendung negativer Zahlen in einem europäischen Werk wurde von Nicolas Chuquet im 15. Er benutzte sie als Exponenten, bezeichnete sie aber als „absurde Zahlen“.Jahrhundert war es gängige Praxis, negative Ergebnisse von Gleichungen unter der Annahme zu ignorieren, dass sie bedeutungslos waren, genau wie René Descartes es mit negativen Lösungen in einem kartesischen Koordinatensystem tat.,

Rationale Zahlen Bearbeiten

Es ist wahrscheinlich, dass das Konzept der Bruchzahlen aus prähistorischen Zeiten stammt. Die alten Ägypter verwendeten ihre ägyptische Bruchnotation für rationale Zahlen in mathematischen Texten wie dem Rhind-Papyrus und dem Kahun-Papyrus. Klassische griechische und indische Mathematiker studierten die Theorie der rationalen Zahlen im Rahmen des allgemeinen Studiums der Zahlentheorie. Das bekannteste davon sind Euklids Elemente, die etwa 300 v. Chr., Von den indischen Texten ist das Sthananga Sutra am relevantesten, das auch die Zahlentheorie als Teil eines allgemeinen Mathematikstudiums behandelt.

Das Konzept der Dezimalbrüche ist eng mit der Dezimalstellen-Wert-Notation verknüpft; die beiden scheinen sich im Tandem entwickelt zu haben. Zum Beispiel ist es üblich, dass das Jain Math Sutra Berechnungen von Dezimalbruchs Approximationen an pi oder die Quadratwurzel von 2 enthält. In ähnlicher Weise verwendeten babylonische Mathematiktexte sexagesimale (Basis 60) Brüche mit großer Häufigkeit.,

Irrationale Zahlen bearbeiten

Die früheste bekannte Verwendung irrationaler Zahlen war in den indischen Sulba Sutras zwischen 800 und 500 v. Chr. Die ersten Existenzbeweise irrationaler Zahlen werden normalerweise Pythagoras zugeschrieben, genauer gesagt dem pythagoreischen Hippas von Metapontum, der einen (höchstwahrscheinlich geometrischen) Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel von 2 hervorbrachte. Die Geschichte besagt, dass Hippasus irrationale Zahlen entdeckte, als er versuchte, die Quadratwurzel von 2 als Bruch darzustellen., Pythagoras glaubte jedoch an die Absolutheit der Zahlen und konnte die Existenz irrationaler Zahlen nicht akzeptieren. Er konnte ihre Existenz nicht durch Logik widerlegen, aber er konnte keine irrationalen Zahlen akzeptieren, und so verurteilte er Hippasus angeblich und häufig zum Tode durch Ertrinken, um die Verbreitung dieser beunruhigenden Nachricht zu behindern.Jahrhundert brachte die endgültige europäische Akzeptanz negativer Integral-und Bruchzahlen. Jahrhundert verwendeten Mathematiker im Allgemeinen Dezimalbrüche mit moderner Notation., Jahrhundert trennten Mathematiker Irrationale in algebraische und transzendentale Teile und unternahmen erneut das wissenschaftliche Studium von Irrationalen. Es war seit Euklid fast ruhend geblieben. Im Jahr 1872 wurde die Veröffentlichung der Theorien von Karl Weierstrass (von seinem Schüler E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor und Richard Dedekind herbeigeführt. 1869 hatte Charles Méray den gleichen Ausgangspunkt genommen wie Heine, aber die Theorie wird allgemein auf das Jahr 1872 bezogen., Weierstrass ‚ Methode wurde vollständig von Salvatore Pincherle (1880) dargelegt, und Dedekinds hat durch das spätere Werk des Autors (1888) und die Billigung durch Paul Tannery (1894) zusätzliche Bedeutung erhalten. Weierstraß, Cantor und Heine stützen Ihre Theorien auf unendlichen Reihen, während Dedekind gründet seine auf die Idee, einen Schnitt (Schnitt) in das system der reellen zahlen, die Trennung aller rationalen zahlen in zwei Gruppen mit bestimmten charakteristischen Eigenschaften. Das Thema hat spätere Beiträge in den Händen von Weierstrass, Kronecker und Méray erhalten.,

Die Suche nach Wurzeln von quintischen und höhergradigen Gleichungen war eine wichtige Entwicklung, der Abel–Ruffini-Satz (Ruffini 1799, Abel 1824) zeigte, dass sie nicht durch Radikale (Formeln, die nur arithmetische Operationen und Wurzeln beinhalten) gelöst werden konnten. Daher war es notwendig, die breitere Menge algebraischer Zahlen (alle Lösungen für Polynomgleichungen) zu berücksichtigen. Galois (1832) verknüpfte Polynomgleichungen mit der Gruppentheorie, aus der das Feld der Galois-Theorie hervorging.,

Fortgesetzte Brüche, die eng mit irrationalen Zahlen zusammenhängen (und aufgrund von Cataldi, 1613), erhielten Aufmerksamkeit durch Euler und wurden bei der Eröffnung des 19. Weitere bemerkenswerte Beiträge leisteten Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) und Günther (1872). Ramus verband das Subjekt zunächst mit Determinanten, was sich mit den nachfolgenden Beiträgen von Heine, Möbius und Günther in der Theorie der Kettenbruchdeterminanten ergab.,

Transzendentale Zahlen und Reale Bearbeiten

Die Existenz transzendentaler Zahlen wurde erstmals von Liouville (1844, 1851) begründet. Hermite bewies 1873, dass e transzendental ist und Lindemann bewies 1882, dass π transzendental ist. Schließlich zeigte Cantor, dass die Menge aller reellen Zahlen unzählbar unendlich ist, aber die Menge aller algebraischen Zahlen unzählbar unendlich ist, so dass es eine unzählbar unendliche Anzahl transzendentaler Zahlen gibt.,

Unendlichkeit und Unendlichkeit Bearbeiten

Die früheste bekannte Vorstellung der mathematischen Unendlichkeit erscheint im Yajur Veda, einer alten indischen Schrift, die an einem Punkt besagt: „Wenn Sie einen Teil aus der Unendlichkeit entfernen oder einen Teil zur Unendlichkeit hinzufügen, ist das, was übrig bleibt, immer noch unendlich.“Unendlichkeit war ein beliebtes Thema der philosophischen Studie unter den Jain Mathematiker c. 400 BC. Sie unterschieden zwischen fünf Arten von Unendlichkeit: unendlich in eine und zwei Richtungen, unendlich in der Fläche, unendlich überall und unendlich ewig.,

Aristoteles definierte den traditionellen westlichen Begriff der mathematischen Unendlichkeit. Er unterschied zwischen tatsächlicher Unendlichkeit und potenzieller Unendlichkeit—der allgemeine Konsens war, dass nur letztere einen wahren Wert hatten. Galileo Galilei ‚ s Zwei Neue Wissenschaften diskutiert die Idee der eins-zu-eins-Entsprechungen zwischen unendlichen Mengen. Aber der nächste große Fortschritt in der Theorie wurde von Georg Cantor gemacht; 1895 veröffentlichte er ein Buch über seine neue Mengenlehre, in dem er unter anderem transfinite Zahlen einführte und die Kontinuumshypothese formulierte.,

In den 1960er Jahren zeigte Abraham Robinson, wie unendlich große und unendlich kleine Zahlen streng definiert und zur Entwicklung des Bereichs der nichtstandardisierten Analyse verwendet werden können. Das System der hyperrealen Zahlen stellt eine rigorose Methode zur Behandlung der Ideen über unendliche und unendliche Zahlen dar, die seit der Erfindung der Infinitesimalrechnung durch Newton und Leibniz beiläufig von Mathematikern, Wissenschaftlern und Ingenieuren verwendet wurden.,

Eine moderne geometrische Version der Unendlichkeit wird durch die projektive Geometrie gegeben, die „ideale Punkte im Unendlichen“ einführt, einen für jede räumliche Richtung. Jede Familie paralleler Linien in einer bestimmten Richtung wird postuliert, um zum entsprechenden idealen Punkt zu konvergieren. Dies hängt eng mit der Idee der Fluchtpunkte beim perspektivischen Zeichnen zusammen.,

Komplexe Zahlen bearbeiten

Der früheste flüchtige Hinweis auf Quadratwurzeln negativer Zahlen fand in der Arbeit des Mathematikers und Erfinders Heron von Alexandria im 1.Jahrhundert nach Christus statt, als er das Volumen eines unmöglichen Frustums einer Pyramide betrachtete. Jahrhundert geschlossene Formeln für die Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades von italienischen Mathematikern wie Niccolò Fontana Tartaglia und Gerolamo Cardano entdeckt wurden., Es wurde bald klar, dass diese Formeln, auch wenn man sich nur für reale Lösungen interessierte, manchmal die Manipulation von Quadratwurzeln negativer Zahlen erforderten.

Dies war doppelt beunruhigend, da sie zu diesem Zeitpunkt nicht einmal negative Zahlen als fest ansahen. Als René Descartes 1637 den Begriff „imaginär“ für diese Mengen prägte, hielt er ihn für abfällig. (Siehe imaginäre Zahl für eine Diskussion der“ Realität “ komplexer Zahlen.,) Eine weitere Quelle der Verwirrung war, daß die Gleichung

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

schien launisch inkonsistent mit der algebraischen Identität

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

das für positive reelle Zahlen a und b gültig ist und auch in komplexen Zahlenberechnungen mit einer von a, b positiv und das andere negativ., Die falsche Verwendung dieser Identität und die zugehörige Identität

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

in dem Fall, wenn sowohl a als auch b negativ sind, selbst bedeviled Euler. Diese Schwierigkeit führte ihn schließlich zu der Konvention, das spezielle Symbol i anstelle von − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} zu verwenden, um sich vor diesem Fehler zu schützen.Jahrhundert sah das Werk von Abraham de Moivre und Leonhard Euler., De Moivre s formula (1730) heißt es:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

während die Eulersche Formel-komplexe analysis (1748) gab uns:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}

Die Existenz komplexer Zahlen wurde erst vollständig akzeptiert, als Caspar Wessel 1799 die geometrische Interpretation beschrieb., Carl Friedrich Gauss entdeckte und popularisierte es einige Jahre später wieder, und als Ergebnis erhielt die Theorie der komplexen Zahlen eine bemerkenswerte Expansion. Die Idee der grafischen Darstellung komplexer Zahlen war jedoch bereits 1685 in Wallis De Algebra tractatus aufgetaucht.

Auch 1799 lieferte Gauss den ersten allgemein akzeptierten Beweis für den Grundsatzsatzsatz der Algebra und zeigte, dass jedes Polynom über den komplexen Zahlen eine ganze Reihe von Lösungen in diesem Bereich hat., Die allgemeine Akzeptanz der Theorie komplexer Zahlen ist auf die Arbeit von Augustin Louis Cauchy und Niels Henrik Abel zurückzuführen, und insbesondere auf letzteren, der als erster mutig komplexe Zahlen mit einem bekannten Erfolg verwendete.

Gauss studierte komplexe Zahlen der Form a + bi, wobei a und b integral oder rational sind (und i eine der beiden Wurzeln von x2 + 1 = 0 ist). Sein Schüler Gotthold Eisenstein studierte den Typ a + bw, wobei ω eine komplexe Wurzel von x3-1 = 0 ist., Andere solche Klassen (zyklotomische Felder genannt) komplexer Zahlen ergeben sich aus den Wurzeln der Einheit xk − 1 = 0 für höhere Werte von k. Diese Verallgemeinerung ist weitgehend auf Ernst Kummer zurückzuführen, der auch Idealzahlen erfand, die 1893 von Felix Klein als geometrische Entitäten ausgedrückt wurden.

Victor Alexandre Puiseux unternahm 1850 den entscheidenden Schritt zur Unterscheidung zwischen Polen und Verzweigungspunkten und führte das Konzept der wesentlichen Einzelpunkte ein. Dies führte schließlich zum Konzept der erweiterten komplexen Ebene.,

Primzahlen bearbeiten

Primzahlen wurden im Laufe der aufgezeichneten Geschichte untersucht. Euklid widmete der Theorie der Primzahlen ein Buch der Elemente; Darin bewies er die Unendlichkeit der Primzahlen und den Grundsatzsatzsatz der Arithmetik und präsentierte den euklidischen Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.

Im Jahr 240 v. Chr. verwendete Eratosthenes das Sieb von Eratosthenen, um Primzahlen schnell zu isolieren. Aber die meiste Weiterentwicklung der Theorie der Primzahlen in Europa geht auf die Renaissance und spätere Epochen zurück.,

Im Jahr 1796 vermutete Adrien-Marie Legendre den Primzahlsatz, der die asymptotische Verteilung von Primzahlen beschreibt. Weitere Ergebnisse in Bezug auf die Verteilung der Primzahlen umfassen Eulers Beweis, dass die Summe der Reziproken der Primzahlen divergiert, und die Goldbach-Vermutung, die behauptet, dass jede ausreichend große gerade Zahl die Summe zweier Primzahlen ist. Eine weitere Vermutung in Bezug auf die Verteilung der Primzahlen ist die Riemann-Hypothese, die Bernhard Riemann 1859 formulierte., Der Primzahlsatz wurde schließlich 1896 von Jacques Hadamard und Charles de la Vallée-Poussin bewiesen. Goldbach und Riemanns Vermutungen bleiben unbewiesen und unwiderlegt.