non-euklidovské geometrie a hry

termín „non-Euclidean“je často používán hráči (vývojáři her, novináři, atd.) znamená jakoukoli hru, kde prostor nefunguje přesně jako v našem světě. Zatímco takové hry obvykle bývají úžasné a velmi zábavné, to není to, co „non-Euclidean“ tradičně znamená pro matematiky, pro které má přesnější význam, což není „nic, co není zcela normální prostor“. Tento článek obsahuje souhrn toho, co znamená“ non-euklidovský“, a různé podivné geometrie používané ve hrách.,

objevování non-Euklidovský geometrie je jedním z nejslavnějších, překvapující, a bláznivé momenty v historii matematiky. Je to něco, o čem mnoho skvělých myslitelů více než 2000 let věřilo, že neexistuje (nejen v reálném světě, ale také ve fantasy světech)., Tolik populární expozice matematiky diskutovat non-euklidovský geometrie byly vytvořeny, že tento termín oprávněně vstoupil do široké veřejnosti svědomí, jako něco velmi cizí, důležité, šílené, a těžko pochopitelné. Obecně platí, že něco velmi cool!

v Poslední době, termín „non-Euklidovský geometrie“ byl vyhrazen některé herní vývojáři pro jakoukoliv hru space, která pracuje jiným způsobem, než my., To je nešťastné, protože hráči jsou přitahovány k těmto hrám, myšlení “ hej, konečně budu mít šanci pochopit, že podivné a důležité věci, co všechny tyto matematici byli blázni!“, což není zdaleka pravda – zatímco tyto hry jsou obvykle velmi cool, jsou obvykle založeny na relativně jednoduchých konceptech, které nemají nic společného s původní věcí.

Euclid ukázal, jak vše v geometrii (Pythagorova věta atd.,), by mohl být odvozen od malého souboru velmi jednoduché postuláty… ale tam byla jedna věc, on byl šťastný: jeho pátý postulát, který byl ve skutečnosti není tak jednoduché: Pokud úsečka protíná dvě přímky tvoří dva vnitřní úhly na stejné straně, že součet menší než dva pravé úhly, pak se tyto dvě linky, je-li prodloužena na dobu neurčitou, setkat se na té straně, na které je součet úhlů menší než dva pravé úhly.. Euclid věřil, že jeho pátý postulát by mohl být prokázán od ostatních, a on selhal, a stejně tak mnoho matematiků v průběhu věků., Záhada byla vyřešena v 19.století.

jsem rozhodnut publikovat práci na parallels, jakmile ji mohu uvést do pořádku, dokončit ji a vzniká příležitost. Objev jsem ještě neučinil, ale cesta, kterou jsem následoval, je téměř jistá, že mě povede k mému cíli, pokud je tento cíl možný. Ještě to nemám, ale našel jsem věci tak nádherné, že jsem byl ohromen. Byla by to věčná škoda, kdyby se tyto věci ztratily, protože ty, můj drahý otče, musíš přiznat, když jsi je viděl. Jediné, co nyní mohu říci, je to, že jsem vytvořil nový a jiný svět z ničeho., Vše, co jsem vám zatím poslal, je jako domeček z karet ve srovnání s věží. — János Bolyai

Bolyai, Lobačevskij a Gauss vytvořili nový svět, kde všechny Euklidových postulátů, kromě páté, což ukazuje, že pátý postulát nemůže být prokázána od ostatních. Vzhledem k tomu, Euclid věřil, že taková věc nemůže existovat, to bylo voláno Gauss non-euklidovské geometrie.

dnes nazýváme tuto hyperbolickou geometrii, zatímco (dvourozměrná) Neeuklidovská geometrie může být hyperbolická nebo sférická., Koule je zakřivená ve třetí dimenzi; říkáme, že má konstantní pozitivní zakřivení. (Povrch Země je dobrá aproximace, i když zakřivení není přesně konstantní: je o něco rovnější na pólech.) Euklidovská geometrie má zakřivení 0, zatímco hyperbolická geometrie má konstantní negativní zakřivení.,

můžete snadno zjistit, zda jste v non-Euklidovský světě následujícími způsoby:

• Podívejte se na paralelní linky. V euklidovské geometrii jsou v konstantních vzdálenostech od sebe., Ve sférické geometrii se sbíhají a v hyperbolické geometrii se liší.
• Podívejte se na úhly trojúhelníku. V euklidovské geometrii se sčítají až o 180 stupňů. Ve sférické geometrii shrnují více (například vezměte severní pól a dva vrcholy na rovníku jako vrcholy). V hyperbolické geometrii se sčítají na méně.
• snadný způsob, jak zjistit, zda hra používá skutečně Neeuklidovskou geometrii, je hledat obdélníky., V neeuklidovské geometrii nejsou žádné obdélníky, cokoli, co vypadá trochu jako obdélník, má ve skutečnosti své úhly menší než 90 stupňů nebo jeho okraje jsou zakřivené. Takže, pokud vidíte obdélníky, hra je (pravděpodobně) není non-euklidovský.
• v euklidovské geometrii má kruh poloměru r obvod 2NR. V sférické geometrii je to 2nsin(r) (který je ohraničen) a v hyperbolické geometrii je to 2nsinh(r) (který roste exponenciálně). V trojrozměrném hyperbolickém světě s „absolutní jednotkou“ 1m bude mít koule s poloměrem 100m větší objem než pozorovatelný vesmír!,
• ve skutečně neeuklidovských 3D hrách a simulacích funguje paralaxa jinak. V euklidovském prostoru jsou věci, které jsou daleko od vás (hvězdy, vzdálené hory), vidět zhruba na stejném místě, kde se pohybujete. To se mění v neeuklidovských geometriích: v hyperbolickém prostoru se všechno pohybuje, zatímco jiné neeuklidské geometrie jsou ještě podivnější.

Zahrajte si naše HyperRogue prozkoumat non-Euklidovský světa, a získat nějaké tušení o tom, jak non-Euklidovský geometrie funguje. Hlavní hra je určena pro hyperbolickou rovinu, ale můžete také experimentovat s dalšími geometriemi 2D a 3D.,

Rozvody

Hry tvrdí, že je non-Euklidovský mají obvykle světů, získané tím, že vykonává nějakou „operaci“: jsme snížit některé fragmenty (komory), z Euklidovský prostor, a pak lepidlo je dohromady v nějakém nestandardním způsobem. Ve 3D hrách místo, kde jsme provedli operaci, obvykle vypadá jako portál, ale hra může také způsobit, že operace bude bezproblémová., Matematicky, tato se nazývá Euklidovský (nebo byt) potrubí (s rámečkem); Euklidovský/s plochou, protože je vyroben z fragmentů Euklidovský prostor, a „hranice“, protože tam jsou obvykle některé zdi, které jste nemohli projít, a některé body uvnitř těchto zdí ani nemohl být modelován důsledně (stěny, portály). Je také možné mít rozdělovače bez hranic; obvykle vypadají jako periodické prostory.

takové hry se pravděpodobně nazývají Neeuklidské, protože jejich geometrii nelze důsledně interpretovat jako součást světa podobného našemu., V euklidovském světě, když jdete 10m, otočte 90 stupňů vpravo, jděte 10m, otočte 90 stupňů vpravo, jděte 10m, otočte 90 stupňů vpravo, jděte 10m a otočte 90 stupňů vpravo, vrátíte se zpět do výchozího bodu a orientace. V rozdělovači (a také v neeuklidovské geometrii, jak je popsáno výše) je možné skončit v jiném bodě. (Skvělý příklad je VR projekt Čaj pro Boha, kde VR světu, že jste zkoumání je obrovský, zatímco v reálném světě jste jen chodit sem a tam po malé místnosti.,) Je také možné vytvořit smyčku, která vás přivede zpět do výchozího bodu uvnitř rozdělovače, ale v euklidovském světě by se lišila. To však pro matematika neznamená Neeuklidovská geometrie. Chirurgie mění topologii prostoru, ale nemění jeho geometrii.

V potrubí, můžete někdy najít trojúhelníků, jejichž úhly součet je něco jiného než 180 stupňů, nebo paralelní linie, které přestat být blízko, když jeden z nich jde přes portál., Ve skutečně Neeuklidovském světě se však tyto jevy dějí i pro velmi malé trojúhelníky a pro každou dvojici čar. Efekty, jako je tato animace, nemohly být dosaženy pomocí portálů — v neeuklidovské geometrii je možné vidět celý pravoúhlý pětiúhelník najednou, zatímco u portálů bude jeden z pěti pravých úhlů vždy skrytý za Portálem.

jednoduchý (ale omezené) způsob, jak realizovat potrubí ve hře je, aby se neviditelné teleportační zařízení, které bez problémů teleport hráče do jiného umístění, která vypadá úplně stejně., Tato technika funguje v podstatě v jakémkoli herním enginu (i v Minecraftu). Viděl jsem mnoho komentářů pod videi pomocí této techniky říkat “ to není non-Euclidean, jste jen pomocí teleportů!“Tyto komentáře mají pravdu, že to není v matematickém smyslu Neeuklidské, ale použití teleportů s tím nemá nic společného. Obecně mi připadá ten sentiment divný. Je to efekt, na kterém záleží, ne jak je implementován. Každá videohra je přece jen iluze.

samozřejmě bychom to mohli udělat také počínaje Neeuklidovským prostorem, získáním neeuklidovského rozdělovače., Hyperbolické rozdělovače jsou obvykle ohraničeny, a tak ztrácejí svůj exponenciální růst (a v závislosti na herním designu může být tento exponenciální růst obrovským technickým problémem); paralelní čáry a trojúhelníky však stále fungují jinak.

když vzdálenost není euklidovská metrika

viděl jsem, že někteří lidé tvrdí, že všechny hry hrané na čtvercových mřížkách nejsou euklidovské., To je proto, že v takové hře, počet kroků, které musíte podniknout, aby dosažení bodu (x,y) od bodu (0,0) je dán vztahem |x|+|y| (tzv. taxíku metrické) nebo max(|x|, |y|) (tak nazývá Čebyševova metrika), nebo nějaký jiný vzorec, kde množiny bodů v d kroky je osmiúhelník, zatímco Pythagorova věta říká, že vzdálenost mezi těmito dvěma body je vlastně odmocnina z x2+y2 (tzv. Euklidovská metrika). Podobně lze říci, že Hyperogue není hyperbolický, protože se jedná o hru založenou na mřížce.,

Ve skutečnosti, nemáme opravdu potřebujete síť, pro tento problém: pokud budete hrát top-down hru s kontinuální prostor pomocí klávesnice, můžete obvykle pohybovat v osmi směrech, takže vzdálenost bude stále být dán jeden ze vzorců uvedených výše. Takže by to dělalo spoustu her, které nejsou euklidovské.

zdá se, že je to opět zmatek vyplývající z několika věcí pojmenovaných po Euclid. „Non-Euclidean“ znamená, že euclidův paralelní axiom není spokojen, ne že metrika je jiná než euklidovská metrika., Hry založené na mřížce nejsou lidmi normálně vnímány jako něco divného, a to se očekává, protože mnoho důležitých vlastností těchto prostorů je podobných vlastnostem spojitých prostorů. Paralelní čáry v čtvercové mřížce fungují jako v euklidovské geometrii, zatímco velké stěny v Hyperogue fungují jako přímky v hyperbolické geometrii. Čtvercová mřížka roste kvadraticky, stejně jako euklidovská rovina, zatímco Hyperogue svět roste exponenciálně. A tak dále., Poměrně působivý jev nastává, když se simuluje, jak se vliv rozšířil na čtvercové mřížky — například, že se simuluje přenos tepla (v čase 0 jeden bod sítě je velmi horké, a nechat teplo šířit do dalších bodů), nebo náhodné procházky (v čase 0 existuje mnoho částeček v jednom bodě mřížky, a pak každý z nich se pohybuje náhodně). I když se na první pohled může zdát, že vlny by se měly šířit ve čtvercových nebo osmiúhelníkových tvarech (kvůli struktuře mřížky), jsou ve skutečnosti dokonale kruhové!, To se děje na jakékoli dostatečně symetrické mřížce v euklidovské rovině, ale v jiných sítích se bude lišit!

Umělci spojené s non-Euklidovský geometrie

M. C. Escher vytvořil mnoho skvělých děl na základě nemožné geometrie, která se zase inspirovala mnoho úžasné hry. Pokud čtete, že Escher používá non-euklidovské geometrie, to je pravda, on dělal používat non-euklidovské geometrie v jeho kruhu limitní série. Nicméně, pokud vám hra připomíná např., Vzestupně a sestupně, Vodopád, relativita, hloubka, nebo jiný svět ii, no, tato díla nemají mnoho společného s Neeuklidskou geometrií. Běžně používané termíny pro tyto prostory zahrnují nemožný prostor / geometrii nebo Escheresque.

dalším umělcem, který je běžně spojován s Neeuklidovskou geometrií, je H. P., Lovecraft: plochy příliš velké, aby náleží jakákoliv věc, právo nebo správné pro tuto zemi geometrie sen-místo, co viděl, byla abnormální, non-Euklidovský, a loathsomely vonící sfér a dimenzí, na rozdíl od nás si člověk nemohl být jistý, že na moři a na zemi byly horizontální, a tudíž relativní poloha všeho ostatního se zdála phantasmally proměnné. úhel, který byl ostrý, ale choval se, jako by to bylo tupé. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Tyto popisy jsou velmi vágní, ale popsat některé pocity, které laik má, kde objevování non-Euklidovský simulace poměrně dobře, a to i překvapivě dobře vzhledem k tomu, že Lovecraft neměl žádný přístup k takové simulace: on se zmínil, že tam je něco velmi zvláštní o úhlech v R ‚ Lyeh, a máte pocit, v non-Euklidovský simulace, zatímco ve hrách pomocí „non-Euklidovský“ v non-matematický význam, úhly vypadají většinou normální; připomínají hráč více Escher nemožné architektury než R ‚ Lyeh., Tento článek to zkoumá podrobněji.

Hry a interaktivní ukázky použití non-Euklidovský geometrie

• naše HyperRogue — roguelike hra, odehrávající se v hyperbolické rovině (tj., dva-dimenzionální hyperbolické geometrie). Používá hyperbolickou rovinu (bez topologické operace nebo hranice), takže její svět je větší než nebe nikoho, MineCraft nebo cokoli euklidovského.
• Bringris – naše non-euklidovský padající blok hra (podobně jako Tetris), vyrobený s Hyperogue motorem.
• MagicTile-like Rubikova kostka, ale v non-euklidovské 2D rozvody.,
• hyperbolické bludiště-bludiště v hyperbolickém 2D potrubí.
• Hypernom-používá trojrozměrnou sférickou geometrii.
• jednotná Polychora – více trojrozměrná sférická geometrie.
• non-Euclidean VR (H3)-jedná se o trojrozměrnou hyperbolickou geometrii. Viz také H2xR (hyperbolický v některých rozměrech a euklidovský v jiných rozměrech) a nová verze.
• naše virtuální háčkování-demo v trojrozměrné sférické geometrii.
• zakřivené prostory-proletět trojrozměrnými Neeuklidovskými rozvody.,
• hyperbolické hry-jednoduché hry ve 2D hyperbolických rozdělovačích.
• HyperSweeper — minolovka v hyperbolické rovině.
• Sokyokuban-Sokoban-jako v hyperbolické rovině, hratelné v prohlížeči. Holonomie je zajímavá. (Viz také toto pro další puzzle založené na holonomy.)

hry ve vývoji

V poslední době existuje několik skvělých neeuklidských herních projektů ve vývoji!

• Hypermine – Jedná se o Minecraft podobný v trojrozměrném hyperbolickém prostoru., Snímky obrazovky v galerii jsou docela působivé a vývoj postupuje docela dobře! (aktualizace: bohužel vývoj se v poslední době zpomaluje: ()
• HyperBlock-další Minecraft-like. To používá geometrii H2xR, tj. hyperbolickou rovinu s souřadnicí “ z “ pracující Euklidovským způsobem.
• Hyperbolica-Neeuklidská hra ve vývoji. Přívěs ukazuje hyperbolickou geometrii a trochu sférické geometrie., Na rozdíl od HyperRogue, Hypermine a Hyperbolica, které jsou zaměřeny na hraní v nekonečném světě, to se zdá být více příběhu-založená hra, s chůzí, puzzle, střelba prvků, a více mainstream grafika. (Slunce v hyperbolický prostor, není práce, jako je uvedeno v přívěsu — to by se mělo stát viditelně jasnější, jak jsme se přesunout směrem k němu — ale doufejme, že to bude měnit 🙂
• Non-Euklidovský kulečník, ve VR — myšlenka mapování skutečné pravoúhlý čtvercový stůl na hyperbolické pravoúhlý pentagonu, nebo sférický pravoúhlý trojúhelník, je velmi cool!,
• Poslední, ale ne nejméně, HyperRogue je také ve vývoji —jeho non-Euklidovský motoru a unikátní svět je skvělý základě testování pro různé experimenty s herní žánry nebo jiné zvláštní geometrií, a výsledky těchto experimentů jsou přidány do hry. Změnou možností můžete získat něco úplně jiného než původní roguelike v hyperbolické rovině.Můžete experimentovat s sférickou geometrií, různými rozdělovači bez hranic, 3D geometrií včetně neizotropních; roguelity, závody, hádanky a tak dále.,
• Spaceflux —stávající videa show „fraktální geometrie“, ale plány na kickstarter stránce zmínit hyperbolické geometrie, a dokonce i non-izotropní geometrie (Rozp).

Příklady významných hry hrál na rozvody

• Asteroids (1979) — když jdete přes východní okraj světa, objeví se na západním okraji; podobně na sever nebo na západ. Jedná se o dvourozměrný plochý rozdělovač bez hranice (nazývaný plochý torus).
• Pac-Man (1980) — jako asteroidy., Ve většině verzí můžete projít pouze hranou E-W, ale ne přes okraj N-S, což z něj činí válec (rozdělovač s hranicí).
• civilizace (1991)-jak bylo uvedeno výše, povrch koule není euklidovský. Proto není možné vytvořit rovnou mapu země, která nic nenarušuje. Bohužel většina her, které se odehrávají na sférické planetě, nebere v úvahu tuto Neeuklidovskou geometrii; berou plochou mapu a předstírají, že tato mapa nemá žádné zkreslení., Civilizace se hraje na válci (nemůžete projít pólem, zatímco v reálném světě by nejkratší let z Evropy na Havaj prošel Severním pólem). Některé další hry se hrají na flat tori, což je v jistém smyslu ještě více odlišné od koule.
• Portál (2007) – jakmile umístíte některé portály, svět se stává rozdělovačem s hranicí.
• Manifold Garden (2019) – používá termín „rozdělovač“ správně. Ještě jsem to nehrál, zdá se, že je to většinou trojrozměrný plochý torus (tj.,, trojrozměrný plochý rozdělovač bez hranic), ale má také některé portály.
• fragmenty Euclid, Paradox Vector-tyto hry jsou na Escheresque Euclidean rozvody. Escheresque jako v Escherově relativitě nebo jiném světě: směry nejsou konzistentní. Fragmenty Euclid je logická hra, zatímco Paradox vektor je FPS.
• Model (být propuštěn v roce 2020) se zdá být hra s portály, kde jeden konec portálu může být větší, než na druhém konci, a tedy objekty, se může stát větší nebo menší, poté, co šel přes portál., Mirror stage (2009) je podobný nápad ve 2D; viz také Sierpińského hrobka. Je také možné mít portály, kde jeden konec je čtverec a druhý konec je obdélník, což způsobuje, že objekty jsou nataženy portály (viz také moje staré demo založené na podobné myšlence). Toto již není euklidovský rozdělovač, ale spíše afinní (mohli bychom to nazvat „podobným rozdělovačem“, pokud je povoleno pouze škálování, ale zdá se, že se tento termín nepoužívá)., Afinní / podobná geometrie se liší od euklidovské geometrie (3.axiom se stává bezvýznamným), ale stále se nazývá Neeuklidská, protože paralelní linie nejsou ovlivněny.

Další významné hry, které jsou geometricky divné

• Antichamber — tato hra je pravděpodobně zodpovědný za popularizaci matematicky nesprávné použití termínu „non-Euklidovský“. Je to většinou Euklidovský potrubí (s rámečkem), ale vykazuje také některé účinky, které by neměly stát v potrubí (např. jste skončili na jiném místě, když jdete na některé kroky a zpět)., Věřím, že téměř všechny podivné věci v Antichamberu by mohly být (a pravděpodobně byly) implementovány pomocí teleportačního triku desribed výše.
• čtyřrozměrné hry. Někteří lidé mohou myslet na tyto hry jako non-euklidovský, protože čtyři prostorové rozměry by se nevešly do našeho trojrozměrného světa. Svět, který funguje stejně jako náš starý trojrozměrný euklidovský prostor, kromě toho, že má více rozměrů, je však stále určitě euklidovský (podle definice)., To je samozřejmě možné mít čtyři-dimenzionální non-Euklidovský prostor, ale v době psaní, zdá se, že žádná hra se pokusil zavést.
• perspektivní triky, jako je Fez, Echodrom, Monument Valley, Naya ‚ s Quest nebo Perspective. Superliminal má některé perspektivní a“afinní rozmanité“ aspekty. Tyto hry jsou divné a cool, ale neměl by být nazýván non-euklidovský buď. Nazval bych některé z nich Escheresque.

Videa tvrdí, že je non-Euklidovský (správně nebo ne)

• Není Uzel — klasický video představovat non-Euklidovský 3D geometrie.,
• non-euclidean virtuální realita-to je non-euklidovský v matematickém smyslu.
• náš chrám Cthulhu ve 3D – „čtverce“ jsou ve skutečnosti zakřivené. Na první pohled se zdá, že tento svět se skládá ze sekvence menších a menších kuliček. Ve skutečnosti, tyto „kuličky“ jsou horospheres (tvar z hyperbolické geometrie, která není opravdu Euklidovský analogové; zajímavé je, že zatímco 3D svět, tady je non-Euklidovský geometrie na horosphere je Euklidovský), a všechny jsou nekonečné., (více podobných videí)
• naše SolvRogue – zatímco ve dvou rozměrech máme pouze sférickou, euklidovskou a hyperbolickou geometrii, existují ještě podivnější neeuklidovské geometrie ve třech rozměrech. Jděte sem pro více.
• non-Euclidean Worlds engine-toto video začíná kruhovým limitem M. C. Escher, který je skutečně založen na neeuklidovské (hyperbolické) geometrii. Většina videa však představuje prostý starý afinní rozdělovač s hranicí.
• “ ne! Euclid!“GPU Ray Tracer dostane upgrade! – to je docela zajímavé, protože je to skutečně zakřivený prostor, který není založen na operaci.,

díky Henry Segerman pro navrhování vylepšení, a všem vývojářům, kteří se snaží vytvořit tyto mindbending geometrické zkušenosti!