icke-euklidisk geometri och spel

termen ”icke-euklidisk” används ofta av spelare (spelutvecklare, journalister etc.) att betyda någon form av spel där utrymmet inte fungerar precis som i vår värld. Medan sådana spel vanligtvis tenderar att vara fantastiska och väldigt roliga, är det inte vad ”icke-euklidiska” traditionellt betyder för matematiker, för vilka det har en mer exakt mening, vilket inte är ”något som inte är ett helt normalt utrymme”. Denna artikel innehåller en sammanfattning av vad” icke-euklidiska ” betyder, och de olika konstiga geometrier som används i spel.,

upptäckten av icke-euklidisk geometri är en av de mest berömda, överraskande och galna stunderna i matematikens historia. Det är något som många stora tänkare i mer än 2000 år trodde inte att existera (inte bara i den verkliga världen utan också i fantasivärldar)., Så många populära utställningar av matematik som diskuterar icke-euklidisk geometri har skapats att termen med rätta har gått in i det allmänna samvetet, som något extremt främmande, viktigt, galet och svårt att förstå. I allmänhet, något extremt coolt!

nyligen har termen ”icke-euklidisk geometri” tilldelats av vissa spelutvecklare för någon form av spelutrymme som fungerar på ett annat sätt än vårt., Detta är olyckligt, eftersom spelarna lockas till sådana spel, tänker ” Hej, äntligen kommer jag att få en chans att förstå det konstiga och viktiga vad alla dessa matematiker var galna om!”, som inte är nära sanningen – medan dessa spel vanligtvis är väldigt coola, är de vanligtvis baserade på relativt enkla begrepp som inte har något att göra med den ursprungliga saken.

Euclid har visat hur allt i geometri (Pythagoras sats, etc.,) kunde härledas från en liten uppsättning mycket enkla postulat… men det var en sak som han inte var glad över: hans femte postulat, vilket inte var så enkelt: om ett linjesegment skär två raka linjer som bildar två invändiga vinklar på samma sida som summan till mindre än två rät vinkel, så möts de två linjerna, om de förlängs på obestämd tid, på den sidan där vinklarna summerar till mindre än två rät vinkel.. Euclid trodde att hans femte postulat kunde bevisas från de andra, och han misslyckades, och det gjorde många matematiker genom tiderna., Mysteriet har lösts i 19th century.

Jag är fast besluten att publicera ett arbete på paralleller så snart jag kan lägga det i ordning, slutföra det och möjligheten uppstår. Jag har ännu inte gjort upptäckten men den väg som jag har följt är nästan säker på att leda mig till mitt mål, förutsatt att detta mål är möjligt. Jag har ännu inte det men jag har hittat saker så magnifika att jag var förbluffad. Det skulle vara en evig synd om dessa saker gick förlorade när du, min käre Fader, är skyldig att erkänna när du sett dem. Allt jag kan säga Nu är att jag har skapat en ny och annorlunda värld av ingenting., Allt jag har skickat dig hittills är som ett korthus jämfört med ett torn. – János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky och Gauss har skapat en ny värld, där alla Euclids postulater håller utom den femte, vilket visar att det femte postulatet inte kunde bevisas från de andra. Eftersom Euclid trodde att en sådan sak inte kunde existera, har den kallats av Gauss icke-euklidisk geometri.

idag kallar vi denna hyperboliska geometri, medan (tvådimensionell) icke-euklidisk geometri kan vara hyperbolisk eller sfärisk., En sfär är krökt i den tredje dimensionen; vi säger att den har konstant positiv krökning. (Jordens yta är en bra approximation, även om krökningen inte är exakt konstant: den är något mer platt på polerna.) Euklidisk geometri har krökning 0, medan den hyperboliska geometrin har konstant negativ krökning.,

Du kan enkelt berätta om du är i en icke-euklidisk värld på följande sätt:

• leta efter parallella linjer. I euklidisk geometri är de i konstanta avstånd från varandra., I sfärisk geometri konvergerar de, och i hyperbolisk geometri avviker de.
• titta på vinklarna i en triangel. I euklidisk geometri summerar de upp till 180 grader. I sfärisk geometri summerar de upp till mer (till exempel ta Nordpolen och två hörn på ekvatorn som hörn). I hyperbolisk geometri sammanfattar de upp till mindre.
• ett enkelt sätt att berätta om ett spel använder verkligen icke-euklidisk geometri är att leta efter rektanglar., I icke-euklidisk geometri finns inga rektanglar, allt som ser lite ut som en rektangel har faktiskt sina vinklar mindre än 90 grader, eller kanterna är böjda. Så, om du ser rektanglar, är spelet (förmodligen) inte icke-Euclidean.
• i euklidisk geometri har en cirkel med radie r omkrets 2NR. I sfärisk geometri är det 2nsin (r) (som är avgränsad), och i hyperbolisk geometri är det 2nsinh (r) (som växer exponentiellt). I en tredimensionell hyperbolisk värld med” absolut enhet ” på 1m kommer en boll med radie 100m att ha större volym än det observerbara universum!,
• i verkligt icke-euklidiska 3D-spel och simuleringar fungerar parallaxen annorlunda. I euklidiska rymden ses saker som är långt ifrån dig (Stjärnor, avlägsna berg) på ungefär samma plats som du flyttar. Dessa förändringar i icke-euklidiska geometrier: i hyperboliskt utrymme rör sig allt, medan andra icke-euklidiska geometrier är ännu konstigare.

Spela vår HyperRogue för att utforska en icke-euklidisk värld och få några intuitioner om hur icke-euklidisk geometri fungerar. Huvud gameplay är utformad för hyperboliska planet, men du kan också experimentera med andra 2D och 3D geometrier.,

Manifolds

spel som påstår sig vara icke-euklidiska har vanligtvis världar som erhållits genom att utföra någon form av ”kirurgi”: vi skär några fragment (kamrar) ur ett euklidiskt utrymme och limar dem sedan på något icke-standardiserat sätt. I 3D-spel, den plats där vi utförde kirurgi ser normalt ut som en portal, men spelet kan också göra operationen verkar sömlös., Matematiskt kallas detta en euklidisk (eller platt) grenrör (med gräns); euklidisk / platt eftersom den är gjord av fragment av euklidiskt utrymme och ”med gräns” eftersom det vanligtvis finns några väggar som du inte kunde gå igenom, och vissa punkter inuti sådana väggar kunde inte ens modelleras konsekvent (portalernas väggar). Det är också möjligt att ha grenrör utan gräns; vanligtvis ser dessa ut som periodiska utrymmen.

sådana spel kallas förmodligen icke-euklidiska eftersom deras geometri är omöjlig att tolka konsekvent som en del av en värld som liknar vår., I en euklidisk värld, när du går 10m, sväng 90 grader höger, gå 10m, sväng 90 grader höger, gå 10m, sväng 90 grader höger, gå 10m och sväng 90 grader höger, du återvänder tillbaka till din startpunkt och orientering. I ett grenrör (och även i icke-euklidisk geometri som beskrivits ovan) är det möjligt att hamna i en annan punkt. (Ett bra exempel på detta är VR-projektet Tea for God, där VR-världen du utforskar är enorm, medan du i den verkliga världen bara går fram och tillbaka runt ett litet rum.,) Det är också möjligt att göra en slinga som tar dig tillbaka till din utgångspunkt inuti grenröret, men skulle vara annorlunda i euklidisk Värld. Detta är dock inte vad icke-euklidisk geometri betyder för en matematiker. Kirurgi förändrar rymdens topologi, men det ändrar inte sin geometri.

i ett grenrör kan du ibland hitta trianglar vars vinklar summerar till något annat än 180 grader, eller parallella linjer som slutar vara nära när en av dem går igenom en portal., Men i en verkligt icke-euklidisk Värld händer dessa fenomen även för mycket små trianglar och för varje par linjer. Effekter som denna animering kunde inte uppnås med hjälp av portaler – i icke-euklidisk geometri är det möjligt att se hela rätvinkliga pentagon samtidigt, medan med portaler kommer en av de fem rätvinklarna alltid att döljas bakom en portal.

ett enkelt (men begränsat) sätt att implementera en manifold i ett spel är att göra osynliga teleporteringsenheter, som smidigt teleporterar spelaren till en annan plats som ser exakt densamma ut., Den tekniken fungerar i princip vilken spelmotor som helst (även i Minecraft). Jag har sett många kommentarer under videor med hjälp av denna teknik säger ” Detta är inte icke-Euclidean, du använder bara teleporterar!”Dessa kommentarer är rätt att detta inte är icke-euklidisk i matematisk mening, men att använda teleporter har inget att göra med det. I allmänhet tycker jag att känslan är konstig. Det är effekten som betyder något, inte hur den genomförs. Alla videospel är trots allt en illusion.

naturligtvis kan vi också göra detta börjar med icke-euklidiska utrymme, erhålla en icke-euklidiska manifold., Hyperboliska grenrör är vanligtvis avgränsade, så de förlorar sin exponentiella tillväxt (och beroende på speldesignen kan denna exponentiella tillväxt vara ett stort tekniskt problem); parallella linjer och trianglar fungerar dock fortfarande annorlunda.

när Avståndet inte är Euclidean metric

Jag har sett vissa människor hävdar att alla spel som spelas på kvadratiska nät är icke-Euclidean., Detta beror på att i ett sådant spel, antalet steg du behöver ta för att nå punkt (x,y) från punkten (0,0) ges av formeln |x|+|y| (så kallad taxicab metric) eller max(|x|, |y|) (så kallad Chebyshev metric), eller någon annan formel där uppsättningen punkter i D-steg är en oktagon, medan Pythagoras teorem säger att avståndet mellan dessa två punkter faktiskt är kvadratroten av x2+y2 (så kallad Euclidean metric). På samma sätt kan man säga att HyperRogue inte är hyperbolisk, eftersom det är ett rutnätbaserat spel.,

faktum är att vi inte verkligen behöver ett rutnät för detta problem: om du spelar ett top-down-spel med kontinuerligt utrymme med tangentbordet kan du vanligtvis flytta i åtta riktningar, så Avståndet kommer fortfarande att ges av en av formlerna ovan. Så detta skulle göra massor av spel icke-Euclidean.

detta verkar återigen vara en förvirring till följd av att ha flera saker uppkallade efter Euclid. Icke-euklidiska: att Euclids parallella axiom inte är uppfyllt, inte att metriska är annorlunda än euklidiska metriska., Grid – baserade spel uppfattas normalt inte av människor som något konstigt, och detta förväntas, eftersom många viktiga egenskaper hos dessa utrymmen liknar de kontinuerliga utrymmena. Parallella linjer i ett kvadratiskt rutnät fungerar som i euklidisk geometri, medan stora väggar i HyperRogue fungerar som raka linjer i hyperbolisk geometri. Ett kvadratiskt rutnät växer kvadratiskt, precis som euklidiska planet, medan HyperRogue världen växer exponentiellt. Och så vidare., Ett ganska imponerande fenomen uppstår när du simulerar hur effekter sprids på ett kvadratiskt rutnät – till exempel simulerar du värmeöverföring (i tid 0 är en punkt i gallret väldigt varmt och du låter värmen sprida sig till andra punkter) eller slumpmässig promenad (i tid 0 finns det många partiklar i en punkt i gallret, och sedan rör sig var och en av dem slumpmässigt). Även om det kan visas vid första anblicken att vågorna ska spridas i kvadratiska eller åttkantiga former (på grund av strukturen rutnät), de är i själva verket helt cirkulär!, Detta händer på något tillräckligt symmetriskt rutnät på euklidiska planet, men kommer att vara annorlunda i andra galler!

konstnärer i samband med icke-euklidisk geometri

M. C. Escher har skapat många stora konstverk baserade på omöjliga geometrier, som i sin tur har inspirerat många fantastiska spel. Om du läser att Escher använde icke-euklidisk geometri, är detta sant, Han använde icke-euklidisk geometri i sin cirkel Limit-serie. Men om ett spel påminner dig om t. ex., Stigande och fallande, vattenfall, relativitet, djup eller annan värld II, ja, dessa konstverk har inte mycket att göra med icke-euklidisk geometri. Vanliga termer för sådana utrymmen inkluderar omöjligt utrymme / geometri eller Escheresque.

en annan konstnär som vanligtvis förknippas med icke-euklidisk geometri är H. P., Lovecraft: ytor som är för stora för att tillhöra något rätt eller rätt för denna jord var geometrin hos den drömplats han såg onormal, icke-euklidisk och loathsomely redolent av sfärer och dimensioner bortsett från vår man kunde inte vara säker på att havet och marken var horisontella, varför den relativa positionen för allt annat verkade phantasmalt variabel. en vinkel som var akut, men betedde sig som om den var trubbig. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Dessa beskrivningar är mycket vaga, men de beskriver några av de känslor som en lekman har där att utforska en icke-Euklidisk simulering ganska bra, även otroligt bra med tanke på det faktum att Lovecraft har inte haft tillgång till sådana simuleringar: han nämner att det är något mycket konstigt med vinklar i R’Lyeh, och du får den här känslan i en icke-Euklidisk simulering, medan i spel med ”icke-Euklidiska” i en icke-matematisk mening, de vinklar som ser mest normal; de påminner spelare mer av Escher är omöjligt arkitekturer än R’Lyeh., Denna artikel utforskar detta mer detaljerat.

spel och interaktiva demos med hjälp av icke-euklidisk geometri

• vår HyperRogue — en roguelike spel som äger rum i hyperboliska Planet (dvs tvådimensionell hyperbolisk geometri). Detta använder ett hyperboliskt plan (utan någon topologisk operation eller gräns), så dess värld är större än ingen mans himmel, MineCraft eller något euklidiskt.
• Bringris — vår icke-euklidiska fallande block spel (liknande Tetris), gjord med HyperRogue motorn.
• MagicTile — liknande Rubiks kub, men i icke-euklidiska 2D grenrör.,
• hyperbolisk labyrint — en labyrint i en hyperbolisk 2D manifold.
• Hypernom — detta använder tredimensionell sfärisk geometri.
• enhetlig Polychora — mer tredimensionell sfärisk geometri.
• icke-euklidisk VR (H3) — detta är tredimensionell hyperbolisk geometri. Se även h2xr (hyperbolisk i vissa dimensioner och euklidisk i andra dimensioner) och en ny version.
• vår virtuella virkning — en demo i tredimensionell sfärisk geometri.
• böjda utrymmen — flyga genom tredimensionella icke-euklidiska grenrör.,
• hyperboliska spel — enkla spel i 2D hyperboliska grenrör.
• HyperSweeper — minsvepare i hyperbolisk plan.
• Sokyokuban — Sokoban-liknande i hyperboliska Planet, spelbar i en webbläsare. Holonomy gör det intressant. (Se även detta för ett annat pussel baserat på holonomy.)

spel i utveckling

nyligen finns det flera coola icke-euklidiska spelprojekt i utveckling!

• Hypermine — det här är en Minecraft-liknande i tredimensionellt hyperboliskt utrymme., Skärmbilderna i galleriet är ganska imponerande, och utvecklingen fortskrider ganska bra! (uppdatering: tyvärr utvecklingen går långsamt nyligen: ()
• HyperBlock — en annan Minecraft-liknande. Detta använder h2xr geometri, dvs ett hyperboliskt plan med ” z ” – koordinaten som arbetar på euklidiskt sätt.
• Hyperbolica — ett icke-euklidiskt spel under utveckling. Trailern visar hyperbolisk geometri och lite sfärisk geometri., I motsats till HyperRogue, Hypermine och Hyperbolica som är inriktade på gameplay i en oändlig värld, verkar det vara mer av ett historiabaserat spel, med promenader, pussel, skjutelement och mer vanlig grafik. (Solen i hyperboliskt utrymme fungerar inte som det visas i släpvagnen – det ska bli synligt ljusare när vi går mot det – men förhoppningsvis kommer det att ändras:)
• icke-euklidiska biljard i VR-tanken på att kartlägga ett riktigt rätvinkligt fyrkantigt bord till en hyperbolisk rätvinklig pentagon eller sfärisk rätvinklig triangel, är väldigt cool!,
• sist men inte minst är HyperRogue också under utveckling – dess icke-euklidiska motor och unika värld är en bra testgrund för olika experiment med spelgenrer eller andra konstiga geometrier, och resultaten av dessa experiment läggs till i spelet. Genom att ändra alternativen kan du få något helt annat än den ursprungliga roguelike i hyperboliska Planet.Du kan experimentera med sfärisk geometri, olika grenrör utan gräns, 3D geometrier inklusive icke-isotropa sådana; roguelites, racing, pussel, och så vidare.,
• Spaceflux —de befintliga videoklippen visar ”fraktalgeometri”, men planerna på kickstarter-sidan nämner hyperbolisk geometri och till och med icke-isotropisk geometri (Solv).

exempel på anmärkningsvärda spel som spelas på manifolds

• asteroider (1979) — när du går igenom världens östra kant visas du på västra kanten; på samma sätt för norr eller väst. Detta är en tvådimensionell platt grenrör utan gräns (kallad en platt torus).
• Pac-Man (1980) — liknande asteroider., I de flesta versioner kan du bara gå igenom e-w-kanten men inte genom n-s-kanten, vilket gör den till en cylinder (ett grenrör med gräns).
• Civilization (1991) — som nämnts ovan är ytan på en sfär icke-euklidisk. Det är därför det är omöjligt att göra en platt karta över jorden som inte snedvrider någonting. Tyvärr tar de flesta spel som äger rum på en sfärisk planet inte hänsyn till denna icke-euklidiska geometri; de tar en platt karta och låtsas att den här kartan inte har några snedvridningar., Civilisationen spelas på en cylinder (du kan inte gå igenom en stolpe, medan den kortaste flygningen från Europa till Hawaii i den verkliga världen skulle gå genom nordpolen). Några andra spel spelas på flat tori, vilket i viss mening är ännu mer annorlunda än en sfär.
• Portal (2007) — när du placerar några portaler blir världen en grenrör med gräns.
• Manifold Garden (2019) — Det använder termen ”manifold” korrekt. Jag har inte spelat det ännu, det verkar vara mestadels en tredimensionell platt torus (dvs,, en tredimensionell platt grenrör utan gräns), men det har också några portaler.
• fragment av Euclid, Paradox Vector — dessa spel är på Escheresque Euclidean manifolds. Escheresque som i Eschers relativitet eller en annan värld: riktningarna är inte konsekventa. Fragment av Euclid är ett pusselspel medan Paradox vektor är ett FPS.
• Maquette (som ska släppas 2020) verkar vara ett spel med portaler, där ena änden av portalen kan vara större än den andra änden, och följaktligen kan objekt bli större eller mindre efter att ha gått igenom portalen., Spegel scenen (2009) är en liknande idé i 2D; se också Sierpiński Grav. Det är också möjligt att ha portaler där ena änden är en kvadrat och den andra änden är en rektangel, vilket gör att objekten sträcker sig av portaler (se även min gamla demo baserat på en liknande idé). Detta är inte längre en euklidisk grenrör, utan snarare en affine (vi kan kalla det en ”liknande grenrör” om endast skalning är tillåten, men den termen verkar inte användas)., Affine / liknande geometri skiljer sig från euklidisk geometri (3: e axiom blir meningslöst) men det kallas fortfarande inte icke-euklidisk, eftersom parallella linjer inte påverkas.

andra anmärkningsvärda spel som är geometriskt konstiga

• Antichamber — detta spel är förmodligen ansvarig för att popularisera matematiskt felaktig användning av termen ”icke-euklidiska”. Detta är mestadels en Euclidean manifold (med gräns), men uppvisar också några effekter som inte skulle hända i en grenrör (t.ex. hamnar du på en annan plats när du går några steg och tillbaka)., Jag tror att nästan alla konstiga saker i Antichamber kan vara (och förmodligen har genomförts) med teleportation-tricket som described ovan.
• fyrdimensionella spel. Vissa människor kanske tänker på dessa spel som icke-euklidiska, eftersom fyra rumsliga dimensioner inte skulle passa in i vår tredimensionella värld. Men en värld som fungerar precis som vårt gamla tredimensionella euklidiska utrymme, förutom att det har fler dimensioner, är fortfarande definitivt euklidisk (enligt definition)., Det är naturligtvis möjligt att ha ett fyrdimensionellt icke-euklidiskt utrymme, men vid skrivningstillfället verkar det som om inget spel försökte genomföra detta.
• perspektiv tricks, såsom Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya Quest, eller perspektiv. Superliminal har vissa perspektiv och ”affine manifold”aspekter. Dessa spel är konstiga och coola, men bör inte kallas icke-euklidiska heller. Jag skulle kalla några av dem Escheresque.

videor som påstår sig vara icke-euklidiska (korrekt eller inte)

• inte Knut — en klassisk video med icke-euklidisk 3D geometri.,
• icke-euklidisk virtuell verklighet — detta är icke-euklidisk i matematisk mening.
• vårt tempel i Cthulhu i 3D — ”kvadraterna” är faktiskt böjda. Vid en första anblick verkar det som om denna värld består av en sekvens av mindre och mindre bollar. Faktum är att dessa” bollar ” är horosfärer (en form från hyperbolisk geometri som inte riktigt har en euklidisk analog; intressant, medan 3D-världen här är icke-euklidisk, är geometrin på horosfären euklidisk), och de är alla oändliga., (mer liknande videor)
• vår SolvRogue —medan vi i två dimensioner bara har sfärisk, euklidisk och hyperbolisk geometri, finns det även konstigare icke-euklidiska geometrier i tre dimensioner. Gå hit för mer.
• icke — Euclidean Worlds engine-den här videon börjar med Circle Limit av M. C. Escher, som verkligen är baserad på icke-euklidisk (hyperbolisk) geometri. Men det mesta av videon presenterar en vanlig gammal affine grenrör med gräns.
• ”nej! Euklides!”GPU Ray Tracer får en uppgradering! — det här är ganska intressant, för det här är verkligen ett krökt utrymme, inte baserat på operation.,

Tack vare Henry Segerman för att föreslå förbättringar, och till alla utvecklare som försöker skapa dessa mindbending geometriska upplevelser!