DerivationsEdit
Kvadratiske interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P (=) = f(A) {\tfrac {(m-M) (b-B)} {(A-M) (A-B)}}+F(m) {\tfrac {(.-A) (.-B)} {(m-A) (m-B)}}+F(B) {\tfrac {(.-a) (.-m)} {(b-a) (b-m)}}.}
Ved hjælp af integration ved substitution kan man vise, at
a a B P ()) d 6 = b − a 6 . {\displaystyle \ int _{a}^{b}p (\)\, d.={\tfrac {b-a}{6}} \ venstre.,}
introduktion af trinstørrelsen h = (b – a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} dette skrives også ofte som
∫ a b p (.) d. = h 3. {\displaystyle \ int _{a}^{b}p (\)\, d.={\tfrac {h}{3}} \ venstre.}
Gennemsnit midtpunktet og trapezformede rulesEdit
en Anden afledning konstruerer Simpson ‘ s regel fra to enklere tilnærmelser: midtpunktet regel
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
og trapezformede regel
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a) – (f(a)+f(b)).,}
fejl i disse tilnærmelser er
1 24 ( b − a ) 3 f ( a ) + O ( ( b − a), 4 ) og − 1 12 ( b − a ) 3 f ( a ) + O ( ( b − a), 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{og}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f”(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T -} {3}}.}
dette vægtede gennemsnit er præcis Simpsons regel.
ved Hjælp af en anden tilnærmelse (for eksempel, trapezformet regel med dobbelt så mange point), det er muligt at tage en passende vægtet gennemsnit og eliminere en anden fejl sigt. Dette er Rombergs metode.,
ubestemt koefficientrediger
den tredje afledning starter fra ansat.
1 B − A ∫ A B F (.) d. f f f ( A ) + β F ( A + B 2 ) + γ F ( B). {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\ca \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
koefficienterne α, β Og γ kan fastsættes ved at kræve, at denne tilnærmelse være nøjagtig for alle kvadratiske polynomier. Dette giver Simpsons regel.,
ErrorEdit
fejl i tilnærme en integreret del af Simpson ‘ s regel for n = 2 {\displaystyle n=2} er
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi)}
hvor ξ {\displaystyle \xi } (det græske bogstav xi) er nogle tal mellem en {\displaystyle a} og b {\displaystyle b} .,
Da fejlen sigt er proportional med den fjerde afledte af f {\displaystyle f} at ξ {\displaystyle \xi } , dette viser, at Simpson ‘ s regel, der giver nøjagtige resultater for ethvert polynomium f {\displaystyle f} af grad tre eller mindre, siden den fjerde afledte af sådan et polynomium er nul på alle punkter.
Hvis den anden afledede f {\displaystyle f”} eksisterer og er konveks i intervallet ( a , b ) {\displaystyle (a\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 f ” ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}
Composite Simpson ‘ s ruleEdit
Hvis integrationsintervallet {\displaystyle } på en eller anden måde er “lille”, vil Simpsons regel med n = 2 {\displaystyle n=2} underintervaller give en passende tilnærmelse til det nøjagtige integral. I det små mener vi virkelig, at funktionen, der integreres, er relativt glat over intervallet {\displaystyle } ., For en sådan funktion vil en glat Kvadratisk interpolant som den, der anvendes i Simpsons regel, give gode resultater.
det er dog ofte tilfældet, at den funktion, vi forsøger at integrere, ikke er glat over intervallet. Det betyder typisk, at funktionen enten er stærkt oscillerende, eller at den mangler derivater på bestemte punkter. I disse tilfælde kan Simpsons regel give meget dårlige resultater. En fælles måde at håndtere dette problem på er ved at bryde op intervallet {\displaystyle } i n > 2 {\displaystyle n>2} lille subintervals., Simpson ‘ s regel er derefter anvendes til hver subinterval, med de resultater, der summeres til at producere en tilnærmelse til integrerende over hele intervallet. Denne form for tilgang kaldes den sammensatte Simpson ‘ s regel.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = t 3 , {\displaystyle {\begin{justeret}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\ca {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{justeret}}}
fejl, der er begået af den sammensatte Simpson ‘ s regel,
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi)} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\ma. _{\\i \in }|F^{(4)} (\\i)|.,}
denne formulering opdeler intervallet {\displaystyle } I underintervaller af samme længde. I praksis er det ofte fordelagtigt at bruge underintervaller af forskellig længde og koncentrere indsatsen på de steder, hvor integranden er mindre velopdragen. Dette fører til den adaptive Simpsons metode.