Dodekaeder

Ein Dodekaeder (Griechisch δωδεκάεδρον, von δώδεκα ‚zwölf‘ + εδρον ‚Basis‘, ‚Sitz‘ oder ‚Gesicht‘) ist ein beliebiges Polyeder mit zwölf Gesichtern, aber normalerweise ist ein regelmäßiges Dodekaeder gemeint: ein platonischer Feststoff, der aus zwölf regelmäßigen fünfeckigen Flächen besteht, wobei sich an jedem Scheitelpunkt drei treffen. Es hat zwanzig (20) Eckpunkte und dreißig (30) Kanten. Seine duale Polyeder ist das Ikosaeder. Wenn man jeden der platonischen Körper mit Kanten gleicher Länge herstellen würde, wäre das Dodekaeder das größte.,

Fläche und Volumen

Die Oberfläche A und das Volumen V eines regulären Dodekaeders mit Kantenlänge a sind:

Kartesische Koordinaten

Die folgenden kartesischen Koordinaten definieren die Eckpunkte eines Dodekaeders, das am Ursprung zentriert ist:

(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)

wobei φ = das goldene Verhältnis ist (auch τ geschrieben). Die Kantenlänge beträgt 2 / φ = √5-1. Die enthaltende Kugel hat einen Radius von √3.

Der diedrische Winkel eines Dodekaeders ist 2arctan (φ) oder ungefähr 116.,565 Grad.

Geometrische Beziehungen

Das reguläre Dodekaeder ist das dritte in einer unendlichen Menge abgeschnittener Trapezeder, die durch Abschneiden der beiden axialen Eckpunkte eines fünfeckigen Trapezeders konstruiert werden können.

Die Stellationen des Dodekaeders bilden drei der vier Kepler-Poinsot-Polyeder.

Ein rektifiziertes Dodekaeder bildet ein Ikosidodekaeder.

Das reguläre Dodekaeder hat 120 Symmetrien und bildet die Gruppe .,

Scheitelpunktanordnung

Das Dodekaeder teilt seine Scheitelpunktanordnung mit vier nicht konvexen gleichförmigen Polyedern und drei gleichförmigen Verbindungen.

Fünf Würfel passen hinein, mit ihren Rändern als Diagonalen der Gesichter des Dodekaeders, und zusammen bilden sie die reguläre polyedrische Verbindung von fünf Würfeln. Da zwei Tetraeder auf alternative Würfelscheitelpunkte passen können, können auch fünf und zehn Tetraeder in ein Dodekaeder passen.,>
Small ditrigonal icosidodecahedron

Ditrigonal dodecadodecahedron
Great ditrigonal icosidodecahedron
Compound of five cubes
Compound of five tetrahedra
Compound of ten tetrahedra

Icosahedron vs dodecahedron

When a dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere’s volume (66.,49%) als ein in derselben Sphäre eingeschriebenes Ikosaeder (60,54%).

Ein normales Dodekaeder mit Kantenlänge 1 hat mehr als das Dreieinhalbfache des Volumens eines Ikosaeders mit gleich langen Kanten (7.663… im Vergleich mit 2.181…).

Da es sich um Duale handelt, ist es auch möglich, eines in das andere zu transformieren.,=“5534c8ab48″>
Great dodecahedron

Great stellated dodecahedron Facet diagram

More dodecahedra

The term dodecahedron is also used for other polyhedra with twelve faces, most notably the rhombic dodecahedron which is dual to the cuboctahedron (an Archimedean solid) and occurs in nature as a crystal form., Das platonische feste Dodekaeder kann als fünfeckiges Dodekaeder oder normales Dodekaeder bezeichnet werden, um es zu unterscheiden. Das Pyritohedron ist ein unregelmäßiges fünfeckiges Dodekaeder.,ngles, dual von hexagonal prism

Hexagonal trapezohedron – 12 drachen, dual von hexagonal antiprism

Tri> tetraeder – 12 gleichschenklige dreiecke, dual von abgeschnittenen tetraeder

Rhombischen dodekaeder (oben erwähnt) – 12 rhombi, dual von cuboctaeder

Andere nicht reguläre objekte:

1. Hendecagonal Pyramide – 11 gleichschenklige Dreiecke und 1 hendecagon
2. Trapez-rhombisches Dodekaeder – 6 Rauten, 6 Trapeze – Dual von dreieckigen Orthobicupola
3. Rhombo-sechseckiges Dodekaeder oder längliches Dodekaeder – 8 Rauten und 4 gleichseitige Sechsecke.,

Insgesamt gibt es 6.384.634 topologisch unterschiedliche Dodekaeder.

Geschichte und Verwendung

Dodekaedrische Objekte haben einige praktische Anwendungen gefunden und haben auch in der bildenden Kunst und in der Philosophie eine Rolle gespielt.

Platons Dialog Timaeus (um 360 v. Chr., Aristoteles postulierte, dass der Himmel aus einem fünften Element, aithêr (Äther in Latein, Äther in amerikanischem Englisch), bestand, aber er hatte kein Interesse daran, es mit Platons fünftem Festkörper abzugleichen.

Einige Jahrhunderte später wurden kleine, hohle römische Dodekaeder aus Bronze hergestellt und in verschiedenen römischen Ruinen in Europa gefunden. Ihr Zweck ist nicht sicher.

In der Kunst des zwanzigsten Jahrhunderts erscheinen Dodekaeder im Werk von M. C. Escher, wie seine Lithographie Reptiles (1943), und in seiner Gravitation., In Salvador Dalís Gemälde Das Abendmahl (1955) ist der Raum ein hohles Dodekaeder.

In modernen Rollenspielen wird das Dodekaeder oft als zwölfseitiger Würfel verwendet, einer der häufigsten Polyederwürfel.

Siehe auch

• Spinnendes Dodekaeder
• Abgeschnittenes Dodekaeder
• Snub-Dodekaeder
• Pentakis-Dodekaeder
• Hamiltonscher Pfad
• 120-Zelle: ein reguläres Polychoron (4D-Polytop), dessen Oberfläche aus 120 Dodekaederzellen besteht.,olyhedra – Modelle mit modularem Origami
• Dodekaeder – 3-d-Modell, das in Ihrem Browser funktioniert
• Virtual Reality Polyeder Die Enzyklopädie der Polyeder
  • VRML-Modelle
  1. Reguläres Dodekaeder reguläres
  2. Rhombisches Dodekaeder quasireguläres
  3. Decagonal prism vertex-transitives
  4. Pentagonal antiprism vertex-transitive
  5. Hexagonal dipyramid Gesicht-transitive
  6. Tri-tetraeder gesicht-transitive
  7. hexagonal trapezohedron gesicht-transitive
  8. Pentagonal cupola regelmäßige gesichter
• Weisstein, Eric W.,, „Dodekaeder“ von MathWorld.
• Weisstein, Eric W., „Längliches Dodekaeder“ von MathWorld.
• K. J. M., MacLean, Eine Geometrische Analyse der Fünf platonischen Körper und Andere Semi-Regulären Polyeder

Vorlage:Polyeder

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