dodecaedro

un dodecaedro (en griego δωδεκάεδρον, De δώδεκα ‘doce’ + εδρον ‘base’, ‘asiento’ o ‘cara’) es cualquier poliedro con doce caras, pero generalmente un dodecaedro regular significa: un sólido platónico compuesto de doce caras pentagonales regulares, con tres que se encuentran en cada vértice. Tiene veinte (20) vértices y treinta (30) aristas. Su poliedro dual es el icosaedro. Si uno hiciera cada uno de los sólidos platónicos con bordes de la misma longitud, el dodecaedro sería el más grande.,

área y volumen

el área de superficie A y el volumen V de un dodecaedro regular con longitud de borde a son:

coordenadas cartesianas

las siguientes coordenadas cartesianas definen los vértices de un dodecaedro centrado en el origen:

(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)

donde φ = es la proporción áurea (también escrita τ). La longitud del borde es 2 / φ = √5-1. La esfera contenedora tiene un radio de √3.

el ángulo diedro de un dodecaedro es 2arctan (φ) O aproximadamente 116.,565 grados.

relaciones geométricas

el dodecaedro regular es el tercero en un conjunto infinito de trapezoedros truncados que se pueden construir truncando los dos vértices axiales de un trapezoedro pentagonal.

Las estelaciones del dodecaedro conforman tres de los cuatro poliedros Kepler-Poinsot.

un dodecaedro rectificado forma un icosidodecaedro.

el dodecaedro regular tiene 120 simetrías, formando el grupo .,

disposición de vértices

el dodecaedro comparte su disposición de vértices con cuatro poliedros uniformes no convexos y tres compuestos uniformes.

cinco cubos encajan dentro, con sus bordes como diagonales de las caras del dodecaedro, y juntos forman el compuesto poliédrico regular de cinco cubos. Dado que dos tetraedros pueden caber en vértices cúbicos alternos, cinco y diez tetraedros también pueden caber en un dodecaedro.,>
Small ditrigonal icosidodecahedron

Ditrigonal dodecadodecahedron
Great ditrigonal icosidodecahedron
Compound of five cubes
Compound of five tetrahedra
Compound of ten tetrahedra

Icosahedron vs dodecahedron

When a dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere’s volume (66.,49%) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,54%).

un dodecaedro regular con una longitud de borde 1 tiene más de tres veces y media el volumen de un icosaedro con la misma longitud de bordes (7.663… comparado con 2.181…).

además, como estos son duales, es posible transformar uno en el otro.,=»5534c8ab48″>
Great dodecahedron

Great stellated dodecahedron Facet diagram

More dodecahedra

The term dodecahedron is also used for other polyhedra with twelve faces, most notably the rhombic dodecahedron which is dual to the cuboctahedron (an Archimedean solid) and occurs in nature as a crystal form., El dodecaedro sólido platónico puede ser llamado dodecaedro pentagonal o dodecaedro regular para distinguirlo. El piritoedro es un dodecaedro pentagonal irregular.,ngles, dual de prisma hexagonal

trapezoedro Hexagonal – 12 cometas, dual de antiprisma hexagonal

Triakis tetraedro – 12 triángulos isósceles, dual de tetraedro truncado

dodecaedro Rómbico (mencionado anteriormente) – 12 rombos, dual de cuboctaedro

Otros li> pirámide hendecagonal – 11 triángulos isósceles y 1 hendecágono

trapecio-dodecaedro Rómbico – 6 rombos, 6 trapezoides – dual de ortobicúpula triangular

rombo-dodecaedro hexagonal o dodecaedro alargado – 8 rombos y 4 hexágonos equiláteros.,

En total hay 6.384.634 dodecaedros topológicamente distintos.

historia y usos

Los Objetos Dodecaédricos han encontrado algunas aplicaciones prácticas, y también han un papel en las artes visuales y en la filosofía.

diálogo de Platón Timeo (C. 360 B. C.,) asocia los otros cuatro sólidos platónicos con los cuatro elementos clásicos; Aristóteles postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, aithêr (éter en latín, éter en Inglés Americano), pero no tenía interés en emparejarlo con el quinto sólido de Platón.

unos siglos más tarde, se hicieron pequeños dodecaedros romanos de Bronce hueco que se han encontrado en varias ruinas romanas de Europa. Su propósito no es Seguro.

en el arte del siglo XX, los dodecaedros aparecen en la obra de M. C. Escher, como su litografía Reptiles (1943), y en su gravitación., En la pintura de Salvador Dalí el sacramento de La Última Cena (1955), la habitación es un dodecaedro hueco.

en los juegos de rol modernos, el dodecaedro se usa a menudo como un dado de doce lados, uno de los dados poliédricos más comunes.

Véase también

• dodecaedro giratorio
• dodecaedro truncado
• dodecaedro desaire
• dodecaedro Pentakis
• camino Hamiltoniano
• 120 células: un policorón regular (politopo 4D) cuya superficie consta de 120 células dodecaedros.,olyhedra – modelos hechos con Origami Modular
• dodecaedro – modelo 3-D que funciona en su navegador
• poliedros de Realidad Virtual La Enciclopedia de poliedros
  • modelos VRML
  1. dodecaedro Regular regular
  2. dodecaedro Rómbico quasiregular
  3. prisma Decagonal vértice-transitivo
  4. Pentagonal antiprisma vértice-transitivo
  5. Cara dipiramid hexagonal-transitivo
  6. triakis cara tetraedro-transitivo
  7. Cara trapezoedro hexagonal-transitivo
  8. cúpula pentagonal caras regulares
• Weisstein, Eric W.,, «Dodecaedro» de MathWorld.
• Weisstein, Eric W., «Elongated Dodecahedron» from MathWorld.
• K. J. M., MacLean, a Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra

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