DerivationsEdit
Cuadrática interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
Usando la integración por sustitución se puede mostrar que
∫ A B P (x) D x = b − a 6 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}P (x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\left.,}
introduciendo el tamaño de paso h = (b-a)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} esto también se escribe comúnmente como
∫ A B P ( x) D x = h 3 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}P (x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\left.}
promediando el punto medio y las reglas trapezoidaleseditar
otra derivación construye la regla de Simpson a partir de dos aproximaciones más simples: la regla del punto medio
M = ( B − a ) f ( A + B 2 ) {\displaystyle M=(B-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
y la regla trapezoidal
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( A ) + f ( B ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}} (b-a) (f (A)+f (b)).,}
Los errores en estas aproximaciones son
1 24 ( b − a ) 3 f «( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) y − 1 12 ( b − a ) 3 f «( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f»(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{y}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f»(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M + t}{3}}.}
Este promedio ponderado es exactamente la regla de Simpson.
Usando otra aproximación (por ejemplo, la regla trapezoidal con el doble de puntos), es posible tomar un promedio ponderado adecuado y eliminar otro término de error. Este es el método de Romberg.,
Indeterminado coefficientsEdit
La tercera derivación se inicia desde el ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + b f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}} \ int _ {a}^{b}f (x)\, dx\approx \alpha f(A)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(B).}
los coeficientes α, β y γ Se pueden fijar requiriendo que esta aproximación sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Esto produce la regla de Simpson.,
ErrorEdit
el error en la aproximación de una integral por la regla de Simpson para n = 2 {\displaystyle n=2} es
− 1 90 ( b − a 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
donde ξ {\displaystyle \XI } (La letra griega Xi) es un número entre A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} .,
dado que el término de error es proporcional a la cuarta derivada de f {\displaystyle F} en ξ {\displaystyle \xi } , esto muestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio f {\displaystyle F} de grado tres o menos, ya que la cuarta derivada de tal polinomio es cero en todos los puntos.
Si la segunda derivada f «{\displaystyle f»} existe y es convexa en el intervalo ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − 2 ) 3 f » ( a + b + 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\derecho)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{3}f»\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b}{6}}\left.}
regla compuesta de Simpson
si el intervalo de integración {\displaystyle } es en algún sentido «pequeño», entonces la regla de Simpson con n = 2 {\displaystyle N=2} subintervalos proporcionará una aproximación adecuada a la integral exacta. Por pequeño, lo que realmente queremos decir es que la función que se integra es relativamente suave sobre el intervalo {\displaystyle } ., Para tal función, un interpolante cuadrático suave como el utilizado en la regla de Simpson dará buenos resultados.
sin embargo, a menudo es el caso de que la función que estamos tratando de integrar no es suave durante el intervalo. Típicamente, esto significa que la función es altamente oscilatoria, o carece de derivadas en ciertos puntos. En estos casos, la regla de Simpson puede dar resultados muy pobres. Una forma común de manejar este problema es dividiendo el intervalo {\displaystyle } en n > 2 {\displaystyle N>2} subintervalos pequeños., La regla de Simpson se aplica entonces a cada subintervalo, con los resultados sumados para producir una aproximación para la integral durante todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina la regla compuesta de Simpson.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\aprox {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
El error cometido por el compuesto de la regla de Simpson es
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi)} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in }|f^{(4)}(\xi )|.,}
esta formulación divide el intervalo {\displaystyle } en subintervalos de igual longitud. En la práctica, a menudo es ventajoso usar subintervalos de diferentes longitudes, y concentrar los esfuerzos en los lugares donde el integrando se comporta menos bien. Esto conduce al método de Simpson adaptativo.