Una ronda se define como una secuencia de pérdidas consecutivas seguida de una victoria o quiebra del jugador. Después de una victoria, el jugador «reinicia» y se considera que ha comenzado una nueva ronda. Una secuencia continua de apuestas Martingala se puede dividir en una secuencia de rondas independientes. A continuación se presenta un análisis del valor esperado de una ronda.
sea q la probabilidad de perder (por ejemplo, para la ruleta americana doble cero, es 20/38 para una apuesta en negro o rojo). Sea B La cantidad de la apuesta inicial., Sea n El número finito de apuestas que el Jugador puede permitirse perder.
la probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas es qn. Cuando todas las apuestas que pierden, la pérdida total es
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
La probabilidad de que el jugador no pierde todo n apuestas es 1 − qn. En todos los demás casos, el Jugador gana la apuesta inicial (B., Así, el beneficio esperado por ronda es
( 1 − q n ) ⋅ B − p n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 p ) n ) {\displaystyle (1-p^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2t)^{n})}
Siempre que p > 1/2, la expresión 1 − (2t)n < 0 para todo n > 0. Por lo tanto, para todos los juegos en los que es más probable que un jugador pierda que ganar cualquier apuesta dada, se espera que el jugador pierda dinero, en promedio, cada ronda. Aumentar el tamaño de la apuesta Para cada ronda por el sistema de Martingala solo sirve para aumentar la pérdida media.,
supongamos que un jugador tiene un bankroll de juego de 63 unidades. El Jugador puede apostar 1 unidad en la primera vuelta. En cada pérdida, la apuesta se duplica. Por lo tanto, tomando k como el número de pérdidas consecutivas anteriores, el jugador siempre apostará 2K unidades.
con una victoria en cualquier giro dado, el Jugador obtendrá 1 unidad por encima de la cantidad total apostada hasta ese punto. Una vez que se logra esta victoria, el jugador reinicia el sistema con una apuesta de 1 unidad.
con pérdidas en todos los primeros seis giros, el jugador pierde un total de 63 unidades. Esto agota el bankroll y la martingala no puede continuar.,
en este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar la martingala es igual a la probabilidad de 6 pérdidas consecutivas: (10/19)6 = 2.1256%. La probabilidad de ganar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6 veces: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
En una circunstancia única, esta estrategia puede tener sentido. Supongamos que el jugador posee exactamente 63 unidades, pero necesita desesperadamente un total de 64., Suponiendo que q > 1/2 (es un casino real) y solo puede hacer apuestas con probabilidades pares, su mejor estrategia es el juego audaz: en cada giro, debe apostar la cantidad más pequeña de modo que si gana alcance su objetivo inmediatamente, y si no tiene suficiente para esto, simplemente debe apostar todo. Eventualmente, o se quiebra o alcanza su objetivo. Esta estrategia le da una probabilidad de 97.8744% de lograr el objetivo de ganar una unidad frente a una probabilidad de 2.1256% de perder las 63 unidades, y esa es la mejor probabilidad posible en esta circunstancia., Sin embargo, el juego audaz no siempre es la estrategia óptima para tener la mayor oportunidad posible de aumentar un capital inicial a una cantidad más alta deseada. Si el Jugador puede apostar cantidades arbitrariamente pequeñas con probabilidades arbitrariamente largas (pero aún con la misma pérdida esperada de 10/19 de la apuesta en cada apuesta), y solo puede colocar una apuesta en cada tirada, entonces hay estrategias con más del 98% de probabilidades de alcanzar su objetivo, y estos utilizan un juego muy tímido a menos que el jugador esté cerca de perder todo su capital, en cuyo caso cambia a un juego extremadamente audaz.