Número

NumeralsEdit

Los números deben distinguirse de los números, los símbolos utilizados para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema numérico cifrado, y los griegos siguieron mapeando sus números de conteo en Alfabetos Jónico y dórico., Los números romanos, un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, permanecieron dominantes en Europa hasta la difusión del sistema numérico superior hindú–Arábigo a finales del siglo XIV, y el sistema numérico hindú–Arábigo sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo de hoy. La clave de la eficacia del sistema fue el símbolo del cero, que fue desarrollado por antiguos matemáticos Indios alrededor del año 500 DC.,

primer uso de numerososeditar

se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas cortadas en ellos que muchos creen que son marcas de conteo. Estas marcas de conteo pueden haberse utilizado para contar el tiempo transcurrido, como números de días, ciclos lunares o para mantener registros de cantidades, como de animales.

un sistema de recuento no tiene concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna), lo que limita su representación de números grandes. Sin embargo, los sistemas de recuento se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.,

el primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema Mesopotámico base 60 (C. 3400 AC) y el primer sistema conocido base 10 data del 3100 aC en Egipto.

Zero Edit

el primer uso documentado conocido del cero data del año 628 D.C., y apareció en el Brāhmasphuṭasiddhānta, el principal trabajo del matemático indio Brahmagupta. Trató 0 como un número y discutió las operaciones que lo involucran, incluida la división. En este momento (el siglo VII) el concepto había llegado claramente a Camboya como números Jemeres, y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico.,

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como un número, por lo tanto Brahmagupta es generalmente considerado el PRIMERO en formular el concepto de cero. Dio reglas de usar cero con números negativos y positivos, como » cero más un número positivo es un número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo.,»El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata al cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente como un dígito de marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de falta de cantidad como lo hicieron Ptolomeo y los romanos.

el uso de 0 como número debe distinguirse de su uso como un número de marcador de posición en sistemas de valores de lugar. Muchos textos antiguos utilizaron 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaron. Los egipcios usaron la palabra nfr para denotar saldo cero en la contabilidad de doble entrada., Los textos indios usaban una palabra sánscrita Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío. En textos matemáticos esta palabra a menudo se refiere al número cero. En una línea similar, Pāṇini (siglo V A.C.) usó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi, un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el idioma sánscrito (también Véase Pingala).

Hay otros usos del cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como lo es en el Brāhmasphuṭasiddhānta.,

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estado de 0 como un número: se preguntaron «¿cómo puede ‘nada’ ser algo?»conduce a interesantes argumentos filosóficos y, por el período Medieval, religiosos sobre la naturaleza y la existencia de 0 y el vacío. Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta de 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si 1 era un número.,)

el pueblo Olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a usar un símbolo para el cero, un glifo de concha, en el nuevo mundo, posiblemente en el siglo 4 AC pero ciertamente en el 40 AC, que se convirtió en una parte integral de los números Mayas y el calendario Maya. La aritmética Maya usó base 4 y base 5 escritas como base 20. George I. Sánchez en 1961 reportó un ábaco de «dedo» de base 4, base 5.

en 130 DC, Ptolomeo, influenciado por Hiparco y los babilonios, estaba usando un símbolo para 0 (un pequeño círculo con una barra superior larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal, de lo contrario utilizando números alfabéticos Griegos., Debido a que se usó solo, no como un marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo. En Manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica (Almagesto), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Omicron (que significa 70).

otro cero verdadero fue utilizado en tablas junto con números romanos por 525 (primer uso conocido por Dionisio exiguo), pero como una palabra, nulla no significa nada, no como un símbolo. Cuando division produjo 0 como un resto, nihil, que también significa nada, fue usado., Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas Medievales (calculadoras de Pascua). Un uso aislado de su inicial, N, fue utilizado en una tabla de números romanos por Bede o un colega alrededor de 725, un verdadero símbolo de cero.

números negativos editar

El concepto abstracto de números negativos fue reconocido ya en 100-50 AC en China. Los nueve capítulos sobre el arte matemático contiene métodos para encontrar las áreas de las figuras; barras rojas se utilizaron para denotar coeficientes positivos, negro para negativo., La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III dC en Grecia. Diofanto se refiere a la ecuación equivalente a 4x + 20 = 0 ( la solución es negativa) en Arithmetica, diciendo que la ecuación dio un resultado absurdo.

durante los años 600, en la India se utilizaron números negativos para representar deudas. La referencia previa de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta, en Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que permanece en uso hoy en día., Sin embargo, en el siglo 12 en la India, Bhaskara da raíces negativas para ecuaciones cuadráticas, pero dice que el valor negativo «es en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas».

Los matemáticos europeos, en su mayor parte, resistieron el concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podrían interpretarse como deudas (Capítulo 13 de Liber Abaci, 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos)., Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito más a la derecha que no es cero del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en una obra europea fue por Nicolas Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes, pero se refirió a ellos como «números absurdos».

tan recientemente como en el siglo 18, era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo devuelto por ecuaciones en el supuesto de que no tenían sentido, al igual que René Descartes hizo con soluciones negativas en un sistema de coordenadas cartesianas.,

números Racionales Editar

es probable que el concepto de número fraccionario remonta a tiempos prehistóricos. Los antiguos egipcios usaban su notación de fracciones Egipcias para números racionales en textos matemáticos como el papiro matemático Rhind y el papiro Kahun. Los matemáticos griegos e indios clásicos hicieron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números. El más conocido de ellos son los elementos de Euclides, que datan de aproximadamente 300 AC., De los textos indios, el más relevante es el Sutra Sthananga, que también cubre la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas.

el concepto de fracciones decimales está estrechamente vinculado con la notación de valor decimal; los dos parecen haberse desarrollado en tándem. Por ejemplo, es común que el sutra matemático de Jain incluya cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o la raíz cuadrada de 2. De manera similar, los textos babilónicos de matemáticas usaban fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia.,

números irracionales editar

el primer uso conocido de números irracionales fue en los Sutras Sulba Indios compuestos entre 800 y 500 AC. Las primeras pruebas de existencia de números irracionales generalmente se atribuyen a Pitágoras, más específicamente al pitagórico Hippaso de Metapontum, quien produjo una prueba (muy probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. La historia cuenta que Hippaso descubrió números irracionales al tratar de representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción., Sin embargo, Pitágoras creía en la absolutidad de los números, y no podía aceptar la existencia de números irracionales. No podía refutar su existencia a través de la lógica, pero no podía aceptar números irracionales, y así, supuestamente y con frecuencia informado, condenó a Hippaso a muerte por ahogamiento, para impedir la difusión de esta noticia desconcertante.

el siglo XVI trajo la aceptación final europea de los números enteros y fraccionarios negativos. En el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna., No fue, sin embargo, hasta el siglo XIX que los matemáticos separaron los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y una vez más emprendieron el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides. En 1872, se publicaron las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor y Richard Dedekind. En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría se refiere generalmente al año 1872., El método de Weierstrass fue completamente establecido por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido prominencia adicional a través del trabajo posterior del autor (1888) y el respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de números reales, separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de la mano de Weierstrass, Kronecker y Méray.,

la búsqueda de raíces de ecuaciones de grado quintico y superior fue un desarrollo importante, el Teorema de Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) mostró que no podían ser resueltos por radicales (fórmulas que implican solo operaciones aritméticas y raíces). Por lo tanto, era necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones a ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculado ecuaciones polinómicas a la teoría de grupos dando lugar al campo de la teoría de Galois.,

Las fracciones continuas, estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), recibieron atención a manos de Euler, y en la apertura del siglo XIX se pusieron en prominencia a través de los escritos de Joseph Louis Lagrange. Otras contribuciones notables han sido hechas por Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), y Günther (1872). Ramus primero conectó el tema con los determinantes, resultando, con las contribuciones posteriores de Heine, Möbius y Günther, en la teoría de Kettenbruchdeterminanten.,

números trascendentales y reales editar

la existencia de números trascendentales fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 Que π es trascendental. Finalmente, Cantor mostró que el conjunto de todos los números reales es infinitamente infinito, pero el conjunto de todos los números algebraicos es infinitamente, por lo que hay un número infinitamente infinito de números trascendentales.,

Infinity and infinitesimals Edit

La Concepción más antigua conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda, una antigua escritura India, que en un momento dice: «Si eliminas una parte del infinito o añades una parte al infinito, todavía lo que queda es infinito.»El infinito era un tema popular del estudio filosófico entre los matemáticos de Jain C. 400 A.C. Distinguieron entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes, e infinito perpetuamente.,

Aristóteles definió la noción occidental tradicional de infinito matemático. Él distinguió entre el infinito real y el infinito potencial, siendo el consenso general que solo el último tenía verdadero valor. Las dos nuevas ciencias de Galileo Galilei discutieron la idea de correspondencias uno a uno entre conjuntos infinitos. Pero el siguiente avance importante en la teoría fue hecho por Georg Cantor; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos, introduciendo, entre otras cosas, números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo.,

en la década de 1960, Abraham Robinson mostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden ser rigurosamente definidos y utilizados para desarrollar el campo del análisis no estándar. El sistema de números hiperreales representa un método riguroso de tratar las ideas sobre números infinitos e infinitesimales que habían sido utilizados casualmente por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.,

una versión geométrica moderna del Infinito está dada por la geometría proyectiva, que introduce «puntos ideales en el infinito», uno para cada dirección espacial. Cada familia de líneas paralelas en una dirección dada se postula para converger al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de puntos de fuga en el dibujo en perspectiva.,

números complejos editar

la primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de los números negativos se produjo en el trabajo del matemático e inventor Heron de Alejandría en el siglo I dC, cuando consideró el volumen de un tronco imposible de una pirámide. Se hicieron más prominentes cuando en el siglo 16 fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado fueron descubiertos por matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano., Pronto se dio cuenta de que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requería la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.

esto era doblemente inquietante ya que ni siquiera consideraban que los números negativos estuvieran en terreno firme en ese momento. Cuando René Descartes acuñó el término «imaginario» para estas cantidades en 1637, lo pensó como despectivo. (Ver número imaginario para una discusión de la» realidad » de los números complejos.,) Otra fuente de confusión fue que la ecuación

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\ \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica

A B = A b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {B}}={\sqrt {ab}},}

que es válido para números reales positivos a y b, y también se usó en cálculos de números complejos con uno de a, b positivo y el otro negativo., El uso incorrecto de esta identidad, y la identidad relacionada

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{A}}}}

en el caso en que tanto a como b son negativos incluso bedeviled Euler. Esta dificultad eventualmente lo llevó a la Convención de usar el símbolo especial i en lugar de − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} para protegerse de este error.

el siglo XVIII vio la obra de Abraham De Moivre y Leonhard Euler., La fórmula de De Moivre ( 1730) establece:

(cos ⁡ θ + I sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

mientras que la fórmula de análisis complejo de Euler (1748) nos dio:

cos ⁡ θ + I sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \ cos \ theta +i \ sin \ theta = e^{i \ theta }. la existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799., Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años más tarde, y como resultado la teoría de los números complejos recibió una notable expansión. La idea de la representación gráfica de números complejos había aparecido, sin embargo, ya en 1685, en el de algebra tractatus De Wallis.

también en 1799, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra, mostrando que cada polinomio sobre los números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito., La aceptación general de la teoría de los números complejos se debe a los trabajos de Augustin Louis Cauchy y Niels Henrik Abel, y especialmente este último, que fue el PRIMERO en usar audazmente los números complejos con un éxito que es bien conocido.

Gauss estudió números complejos de la forma a + bi, donde a y b son integrales, o racionales (y i es una de las dos raíces de x2 + 1 = 0). Su estudiante, Gotthold Eisenstein, estudió el tipo a + bw, donde ω es una raíz compleja de x3 – 1 = 0., Otras clases similares (llamadas campos ciclotómicos) de números complejos derivan de las raíces de la unidad xk − 1 = 0 para valores más altos de k. esta generalización se debe en gran parte a Ernst Kummer, quien también inventó los números ideales, que fueron expresados como entidades geométricas por Felix Klein en 1893.

en 1850 Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre los polos y los puntos de ramificación, e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales. Esto finalmente llevó al concepto del plano complejo extendido.,

números primos editar

los números primos han sido estudiados a lo largo de la historia registrada. Euclides dedicó un libro de los elementos a la teoría de los números primos; en él demostró la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética, y presentó el algoritmo euclidiano para encontrar el mayor divisor común de dos números.

en 240 AC, Eratóstenes utilizó el tamiz de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero el mayor desarrollo de la teoría de los primos en Europa se remonta al Renacimiento y a épocas posteriores.,

en 1796, Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema del número primo, describiendo la distribución asintótica de los primos. Otros resultados relativos a la distribución de los primos incluyen la prueba de Euler de que la suma de los recíprocos de los primos diverge, y la conjetura de Goldbach, que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos primos. Otra conjetura relacionada con la distribución de números primos es la hipótesis de Riemann, formulada por Bernhard Riemann en 1859., El teorema del número primo fue finalmente demostrado por Jacques Hadamard y Charles De La Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann permanecen sin probar y sin refutar.