epäeuklidista geometriaa ja pelejä

termiä” Epäeuklidinen ” käyttävät usein pelaajat (pelinkehittäjät, toimittajat jne.) tarkoittaa mitä tahansa peliä, jossa tila ei toimi aivan kuten meidän maailmassa. Vaikka tällaiset pelit yleensä hämmästyttävä ja erittäin hauska, tämä ei ole mitä ”non-Euclidean” perinteisesti tarkoittaa, matemaatikot, joille se on enemmän tarkka merkitys, joka ei ole ”mitään ei ole täysin normaali tila”. Tässä artikkelissa on yhteenveto siitä, mitä” Epäeuklidinen ” tarkoittaa, ja eri outoja geometrioita käytetään peleissä.,

löytö ei-Euklidinen geometria on yksi tunnetuimmista, yllättävää, ja hullu hetkiä historian matematiikka. Se on jotain, että monet suuret ajattelijat yli 2000 vuotta uskoi ole olemassa (paitsi todellisessa maailmassa, mutta myös fantasia-maailmat)., Niin monet suosittu expositions matematiikan keskustella ei-Euklidinen geometria on luotu, että termi on oikeutetusti tullut suurelle yleisölle omatunto, kuin jotain erittäin ulkomaalainen, tärkeää, hullu, ja vaikea ymmärtää. Yleensä jotain erittäin siistiä!

viime Aikoina, termi ”ei-Euklidinen geometria” on saanut haltuunsa joitakin pelin kehittäjät mitään peliä tilaa, joka toimii eri tavalla kuin meidän., Tämä on valitettavaa, koska pelaajat ovat houkutelleet tällaisia pelejä, ajattelu ”hei, vihdoin minulla on mahdollisuus ymmärtää, että outo ja tärkeä asia, mitä kaikki nämä matemaatikot olivat hulluna!”, joka on lähelläkään totuutta —vaikka nämä pelit ovat yleensä hyvin viileä, ne perustuvat yleensä suhteellisen yksinkertaista käsitteitä, joilla ei ole mitään tekemistä alkuperäisen asian.

Eukleides on osoittanut, miten kaikki geometriassa (Pythagoraan lause jne.,) voisi olla peräisin pieni joukko hyvin yksinkertainen postulates, mutta siellä oli yksi asia, hän ei ollut tyytyväinen: hänen viides postulaatti, joka ei ole oikeastaan niin yksinkertaista: Jos jana leikkaa kaksi suoraa viivaa, jotka muodostavat kaksi sisustus kulmat ovat samalla puolella, että summa on vähemmän kuin kaksi suorassa kulmassa, sitten kaksi riviä, jos jatkaa loputtomiin kokoontua joka puolelta, joka kulmien summa on vähemmän kuin kaksi suorassa kulmassa.. Eukleides uskoi, että hänen viides postulate voidaan todistaa muista, ja hän epäonnistui, ja niin monet matemaatikot kautta aikojen., Mysteeri on ratkaistu 1800-luvulla.

olen päättänyt julkaista teoksen rinnastuksista heti, kun voin laittaa sen kuntoon, täydentää sen, ja tilaisuus syntyy. En ole vielä tehnyt löytöä, mutta polku, jota olen seurannut, johtaa minut lähes varmasti tavoitteeseeni, kunhan tämä tavoite on mahdollinen. Minulla ei ole sitä vielä, mutta olen löytänyt niin upeita asioita, että olin hämmästynyt. Olisi ikuista sääli, jos nämä asiat katoaisivat, kun sinä, rakas isäni, olet pakko myöntää, kun näit ne. Nyt voin vain sanoa, että olen luonut tyhjästä uuden ja erilaisen maailman., Kaikki, mitä olen tähän mennessä lähettänyt, on kuin korttitalo torniin verrattuna. — János Bolyain

Bolyain, Lobachevsky, ja Gauss ovat luoneet uuden maailman, jossa kaikki Euclid ’ s postulates pidä, paitsi viides, mikä osoittaa, että viides olettamus voisi olla todistettu muista niitä. Koska Eukleides uskoi, että sellaista ei voisi olla olemassa, sitä on kutsuttu Gaussin Epäeuklidisella geometrialla.

Tänään, kutsumme tätä hyperbolinen geometria, kun taas (kaksiulotteinen) epäeuklidinen geometria voisi olla hyperbolinen tai pallomainen., Pallo on kaareva kolmannessa ulottuvuudessa; sanomme, että sillä on jatkuva positiivinen kaarevuus. (Maan pinnalta on hyvä approksimaatio, mutta kaarevuus ei ole aivan vakio: se on hieman litteä, pylväät.) Euklidinen geometria on kaarevuus 0, kun hyperbolinen geometria on jatkuva negatiivinen kaarevuus.,

Voit helposti kertoa, onko olet ei-Euclidean maailman seuraavilla tavoilla:

• Etsiä yhdensuuntaiset linjat. Euklidisessa geometriassa ne ovat vakioetäisyydellä toisistaan., Pallogeometriassa ne yhtyvät, ja hyperbolisessa geometriassa ne eroavat toisistaan.
• Katso kolmion kulmia. Euklidisessa geometriassa ne ovat yhteensä jopa 180 astetta. Pallogeometriassa ne summaavat jopa enemmän (esimerkiksi otetaan pohjoisnapa, ja kaksi vertices päiväntasaajalla kuin vertices). Hyperbolisessa geometriassa ne summaavat jopa vähemmän.
• helppo tapa kertoa, käyttääkö peli todella epäeuklidista geometriaa, on etsiä suorakulmioita., Ei-Euklidinen geometria ei ole suorakulmioita, jotain, joka näyttää vähän kuin suorakulmion todella on sen kulmat pienempi kuin 90 astetta, tai sen reunat ovat kaarevia. Joten, jos näet suorakulmioita, peli ei (luultavasti) ole Epäeuklidinen.
• euklidisessa geometriassa ympyrän säde r on kehä 2NR. Vuonna pallomainen geometria, se on 2nsin(r) (joka on rajoitettu), ja hyperbolinen geometria, se on 2nsinh(r) (joka kasvaa eksponentiaalisesti). Kolmiulotteinen hyperbolinen maailman kanssa ”absoluuttinen yksikkö” 1m, pallon säde 100m on suurempi määrä kuin havaittavissa oleva Universumi.,
• todella Epäeuklidisissa 3D-peleissä ja simulaatioissa parallaksi toimii eri tavalla. Euklidisessa avaruudessa asiat, jotka ovat kaukana sinusta (tähdet, kaukaiset vuoret), nähdään suurin piirtein samassa paikassa kuin liikut. Tämä muuttuu Epäeuklidisissa geometrioissa: hyperbolisessa avaruudessa kaikki liikkuu, kun taas muut Epäeuklidiset geometriat ovat vielä oudompia.

pelaa meidän HyperRogue tutkia Epäeuklidinen maailma ja saada joitakin intuitioita siitä, miten Epäeuklidinen geometria toimii. Pääpeli on suunniteltu hyperboliseen tasoon, mutta voit kokeilla myös muita 2D-ja 3D-geometrioita.,

Puhdistaminen

Pelit väittävät olevansa ei-Euclidean yleensä maailmoja saadaan suorittamalla jonkinlainen ”leikkaus”: me leikata joitakin fragmentteja (chambers) ulos Euclidean avaruudessa, ja sitten liimaa ne yhteen joitakin ei-standardi tavalla. 3D-peleissä leikkauspaikka näyttää tyypillisesti portaalilta, mutta peli saattaa myös saada leikkauksen näyttämään saumattomalta., Matemaattisesti, tätä kutsutaan Eukleideen (tai tasainen) pakosarja (kehystetty); Euclidean – /taulu-koska se on valmistettu sirpaleet Euclidean avaruudessa, ja ”rajan”, koska on olemassa tyypillisesti joitakin seiniä jotka voit mennä läpi, ja joitakin kohtia, sisällä nämä seinät ei voisi edes olla mallinnettu johdonmukaisesti (seinät ja portaalit). On myös mahdollista olla manifolds ilman rajoja; tyypillisesti nämä näyttävät määräajoin välilyöntejä.

tällaisia pelejä kutsutaan luultavasti Epäeuklidisiksi, koska niiden geometriaa on mahdotonta tulkita johdonmukaisesti osana meidän kaltaista maailmaa., Vuonna Euclidean maailmassa, kun menet 10m, käännä 90 astetta oikealle, mene 10m, käännä 90 astetta oikealle, mene 10m, käännä 90 astetta oikealle, mene 10m, ja käännä 90 astetta oikealle, palaat takaisin lähtöpisteeseen ja suunta. Monistossa (ja myös edellä kuvatussa Epäeuklidisessa geometriassa) on mahdollista päätyä eri pisteeseen. (Hyvä esimerkki tästä on VR-hanke Teetä Jumala, missä VR-maailmassa olet tutustuen on valtava, kun taas todellisessa maailmassa olet vain kävely edestakaisin noin pieni huone.,) Se on myös mahdollista tehdä silmukka, joka tuo sinut takaisin lähtöpisteeseesi sisällä moninaiset, mutta olisi erilainen Euklidinen maailmassa. Tätä Epäeuklidinen geometria ei kuitenkaan matemaatikolle tarkoita. Leikkaus muuttaa tilan topologiaa, mutta se ei muuta sen geometriaa.

moninaiset voit joskus löytää kolmio, jonka kulmien summa on jotain muuta kuin 180 astetta, tai rinnakkaista, jonka pysäkki on lähellä, kun yksi heistä menee läpi portaalin., Kuitenkin, todella ei-Euclidean maailmassa, nämä ilmiöt tapahtua jopa hyvin pieniä kolmioita, ja jokainen pari riviä. Vaikutuksia, kuten tämä animaatio ei voida saavuttaa käyttämällä portaaleja — ei-Euklidinen geometria on mahdollista nähdä koko oikeus-kulma pentagon kerralla, kun taas portaalit, yksi viidestä kulmassa tulee aina olla takana portaali.

helppo (mutta rajoitetusti) tapa toteuttaa moninaisia peli on tehdä näkymätön teleportaatio laitteita, jotka saumattomasti siirtää pelaaja toiseen paikkaan, joka näyttää täsmälleen sama., Tämä tekniikka toimii periaatteessa missä tahansa pelimoottorissa (jopa Minecraftissa). Olen nähnyt paljon kommentteja alla videoita käyttäen tätä tekniikkaa sanomalla ” Tämä ei ole Epäeuklidinen, olet vain käyttää teleports!”Nämä kommentit ovat oikeassa, että tämä ei ole epäeuklidinen matemaattisessa mielessä, mutta käyttää teleports ei ole mitään tekemistä sen kanssa. Yleensä pidän tuota tunnetta outona. Sillä on merkitystä, ei sillä, miten se toteutetaan. Mikä tahansa videopeli on sittenkin illuusio.

tietenkin voimme myös tehdä tämä alkaen ei-Euclidean avaruudessa, saada ei-Euclidean moninaiset., Hyperbolinen pakosarjat ovat yleensä rajallisia, jolloin ne menettävät eksponentiaalinen kasvu (ja, riippuen pelin suunnittelu, tämä eksponentiaalinen kasvu voi olla valtava tekninen ongelma); kuitenkin, rinnakkaisia viivoja ja kolmioita vielä työtä eri tavalla.

Kun etäisyys ei ole Euklidinen metriikka

olen nähnyt jotkut ihmiset väittävät, että kaikki pelit pelataan neliön ristikot on epäeuklidinen., Tämä johtuu siitä, että tällaisessa pelissä, useita vaiheita sinun täytyy ottaa saavuttaa pisteen (x,y) piste (0,0) on annettu kaavalla |x|+|y| (ns. taksi metrinen) tai max(|x|, |y|) (ns Chebyshev metrinen), tai jokin muu kaava, jossa joukko pisteitä, d-vaiheet on kahdeksankulmio, – kun Pythagoraan lause sanoo, että etäisyys näiden kahden pisteen välillä on todella neliöjuuri x2+y2 (ns. Euklidinen metriikka). Vastaavasti voisi sanoa, että HyperRogue ei ole hyperbolinen, koska se on verkkoon perustuva peli.,

Itse asiassa, meidän ei todellakaan tarvitse grid tähän ongelmaan: jos pelaat top-down peli, jossa on jatkuva tila, näppäimistön, voit yleensä liikkua kahdeksaan suuntaan, joten etäisyys annetaan edelleen yksi kaavoja edellä. Joten tämä tekisi paljon pelejä Epäeuklidinen.

Tämä näyttää olevan jälleen sekaannusta johtuvat ottaa useita asioita nimetty Eukleides. ”Epäeuklidinen” tarkoittaa, että euklidisen yhdensuuntainen aksiooma ei ole tyytyväinen, ei että metriikka olisi erilainen kuin Euklidinen metriikka., Grid-pohjainen pelit eivät yleensä ihmiset sen mieltävät mitään outoa, ja tämä on odotettavissa, koska monia tärkeitä ominaisuuksia nämä tilat muistuttavat, että jatkuva tiloihin. Yhdensuuntaiset viivat neliöruudukossa toimivat kuten euklidisessa geometriassa, kun taas suuret seinät Hyperroguessa toimivat kuin suorat linjat hyperbolisessa geometriassa. Neliöruudukko kasvaa nelikulmaisena, aivan kuten Euklidinen taso, kun taas HyperRogue-maailma kasvaa eksponentiaalisesti. Ja niin edelleen., Melko vaikuttava ilmiö syntyy, kun olet simuloida, miten vaikutukset levitä neliö verkkoon — esimerkiksi, voit simuloida lämmön siirto (ajassa 0 yksi piste ruudukko on hyvin kuuma, ja anna lämmön levitä muihin pistettä), tai random walk (ajassa 0 on olemassa monia hiukkasia yhden pisteen verkkoon, ja sitten jokainen niistä liikkuu satunnaisesti). Vaikka se saattaa vaikuttaa ensi silmäyksellä, että aallot pitäisi levittää neliön tai kahdeksankulmainen muotoja (koska rakenne grid), ne ovat itse asiassa täysin pyöreä!, Tämä tapahtuu missä tahansa riittävän symmetrisessä ruudukossa euklidisessa tasossa, mutta on erilainen muissa ruudukoissa!

Taiteilijat, jotka liittyvät ei-Euklidinen geometria

M. C. Escher on luonut monia hienoja taideteoksia perustuu mahdotonta geometriat, joka on puolestaan inspiroinut monia uskomattomia pelejä. Jos lukee, että Escher käytti epäeuklidista geometriaa, tämä on totta, hän käytti epäeuklidista geometriaa Ympyräraja-sarjassaan. Kuitenkin, Jos peli muistuttaa sinua esim., Nouseva ja laskeutuminen, vesiputous, suhteellisuusteoria, syvyys, tai muu maailma II, No, nämä teokset eivät ole paljon tekemistä Epäeuklidinen geometria. Yleisesti käytettyjä termejä tällaisille tiloille ovat mahdoton avaruus / geometria tai Escheresque.

toinen Euklidiseen geometriaan yleisesti liittyvä taiteilija on H. P., Lovecraft: pinnat liian suuri kuulu mitään oikeaa tai asianmukaista, että tämä maa geometria unelma-paikka, jossa hän näki oli epänormaalia, ei-Euclidean, ja loathsomely tuoksuva aloilla ja mitat lukuun ottamatta meidän, Kukaan ei voisi olla varma, että meri ja maa olivat horisontaalisia, joten suhteellinen asema kaikki muu tuntui phantasmally muuttuja. kulma, joka oli akuutti, mutta käyttäytyi kuin se olisi obtuse. (HP., Lovecraft, Call of Cthulhu) Nämä kuvaukset ovat hyvin epämääräisiä, mutta ne kuvaavat joitakin tunteita maallikko on, jossa tutkitaan ei-Euclidean simulointi melko hyvin, jopa hämmästyttävän hyvin ottaen huomioon, että Lovecraft ei ollut pääsyä, kuten simulaatiot: hän ei mainita, että siellä on jotain hyvin outoa kulmat R’Lyeh, ja sinusta tuntuu, ei-Euclidean simulointi, kun pelejä käyttämällä ”non-Euclidean” ei-matemaattinen merkitys, kulmat näyttävät enimmäkseen normaalia; ne muistuttavat pelaajalle enemmän Escher on mahdotonta arkkitehtuurit kuin R’Lyeh., Tässä artikkelissa tarkastellaan tätä yksityiskohtaisemmin.

Pelit ja interaktiiviset demot käyttäen ei-Euklidinen geometria

• meidän HyperRogue — roguelike peli tapahtuu hyperbolic lentokone (eli kaksi-ulotteinen hyperbolinen geometria). Tämä käyttää hyperbolic lentokone (ilman topologinen leikkaus tai raja), joten sen maailma on suurempi kuin Ei-kenenkään-Taivas, MineCraft, tai mitään Euklidinen.
• Bringris — meidän Epäeuklidinen falling block-peli (samanlainen kuin Tetris), tehty HyperRogue-moottorilla.
• Magictilen kaltainen Rubikin kuutio, mutta Epäeuklidisessa 2D — manifoldissa.,
• hyperbolinen sokkelo — sokkelo hyperbolisessa 2D-monistossa.
• Hypernom-tässä käytetään kolmiulotteista pallogeometriaa.
• yhtenäinen Polykora – enemmän kolmiulotteinen pallogeometria.
• Epäeuklidinen VR (H3)-tämä on kolmiulotteista hyperbolista geometriaa. Katso myös H2xR (hyperbolinen joissakin mitat ja Euklidinen muut mitat) ja uusi versio.
• our Virtual Crocheting-demo kolmiulotteisessa pallogeometriassa.
• kaarevat Avaruudet-lentävät kolmiulotteisten Epäeuklidisten manifoldien läpi.,
• Hyperbolic Games — simple games in 2D hyperbolic manifolds.
• HyperSweeper — miinanraivaaja hyperbolisessa tasossa.
• Sokyokuban — Sokoban-like hyperbolisessa koneessa, pelattavana selaimessa. Holonomy tekee siitä mielenkiintoisen. (Katso myös tämä toinen arvoitus perustuu holonomy.)

Pelien kehittämiseen

viime Aikoina on useita hienoja epäeuklidinen peli hankkeiden kehittämiseen!

• Hypermine — tämä on Minecraft-tyyppinen kolmiulotteisessa hyperbolisessa avaruudessa., Gallerian kuvakaappaukset ovat varsin vaikuttavia, ja kehitys etenee varsin hyvin! (päivitys: valitettavasti kehitys on menossa hidas viime aikoina 🙁 )
• HyperBlock — toinen Minecraft-kuten. Tässä käytetään H2xr-geometriaa eli hyperbolista tasoa, jonka ” z ” – koordinaatti toimii Euklidisella tavalla.
• Hyperbolica — Epäeuklidinen peli kehityksessä. Perävaunussa on hyperbolista geometriaa ja hieman pallogeometriaa., Vastoin HyperRogue, Hypermine ja Hyperbolica, joka on keskittynyt pelattavuus on loputon maailma, se näyttää olevan enemmän tarina-pohjainen peli, jossa kävely, palapeli, ammunta elementtejä, ja enemmän valtavirran grafiikka. (Aurinko hyperbolinen avaruus ei toimi kuten se on esitetty traileri — se pitäisi tulla näkyvästi kirkkaampi, kun etenemme kohti sitä, mutta toivottavasti se on muuttunut 🙂
• Non-Euclidean biljardi VR — ajatus kartoitus todellinen oikeus-kulma neliö taulukon hyperbolinen oikeus-kulma pentagon, tai pallomainen oikeus-kulma kolmion on hyvin viileä!,
• Viimeisenä mutta ei vähäisimpänä, HyperRogue on myös kehitys —sen ei-Euclidean moottori ja ainutlaatuinen maailmassa on suuri testauksen perusteella eri kokeiluja peli genrejä tai muita outoja kuvioita, ja näiden kokeiden tulokset ovat lisätty peliin. Muuttamalla vaihtoehtoja, voit saada jotain täysin erilaista kuin alkuperäinen roguelike hyperbolic plane.Voit kokeilla pallomainen geometria, eri manifolds ilman rajaa, 3D-geometriat mukaan lukien ei-isotrooppinen niistä; roguelites, kilpa, palapelit, ja niin edelleen.,
• Spaceflux —olemassa olevat videot näyttää ”fraktaali geometria”, mutta suunnitelmat kickstarter-sivulla mainita, hyperbolinen geometria ja jopa ei-isotrooppinen geometria (Solv).

Esimerkkejä merkittäviä pelejä pelataan puhdistaminen

• Asteroidit (1979) — kun käyt läpi itä-edge of the world, näkyvät west c; vastaavasti pohjoiseen tai länteen. Tämä on kaksiulotteinen Tasainen monisto ilman rajoja (kutsutaan tasainen torus).
• Pac-Man (1980) — tyyppisiä asteroideja., Useimmissa versioissa voit vain mennä läpi E-W reunaan, mutta ei läpi N-S-reuna, joten se sylinteri (moninaiset kehystetty).
• Civilization (1991) — kuten edellä mainittiin, pallon pinta on Epäeuklidinen. Siksi maasta on mahdotonta tehdä litteää karttaa, joka ei vääristä mitään. Valitettavasti useimmat palloplaneetalla tapahtuvat pelit eivät ota tätä epäeuklidista geometriaa huomioon; ne ottavat litteän kartan ja teeskentelevät, ettei tällä kartalla ole vääristymiä., Sivilisaation pelataan sylinteri (et voi mennä läpi napa, kun taas todellisessa maailmassa, lyhin lento Euroopasta Havaijille menisi läpi North pole). Jotkut muut pelit pelataan flat torilla, joka on jossain mielessä vielä enemmän erilainen kuin pallo.
• Portal (2007) — kun sijoittaa joitakin portaaleja, maailmasta tulee moninainen, jolla on rajat.
• Manifold Garden (2019) – se käyttää termiä ”manifold” oikein. En ole vielä pelannut sitä, se näyttää olevan lähinnä kolmiulotteinen flat torus (ts.,, kolmiulotteinen Tasainen monisto ilman rajoja), mutta siinä on myös joitakin portaaleja.
• Katkelmia Eukleides, Paradoksi Vektori — nämä pelit ovat Escheresque Euklidinen manifolds. Escheresque kuten Escherin suhteellisuusteoriassa tai muussa maailmassa: suunnat eivät ole johdonmukaisia. Fragments of Eukleides on pulmapeli, kun taas Paradox Vector on FPS.
• Maquette (julkaistaan vuonna 2020) näyttää olevan peli portaaleja, jossa toinen pää on portaali voi olla suurempi kuin toinen pää, ja näin ollen esineitä voi tulla suurempi tai pienempi kun menee portaalin läpi., Mirror stage (2009) on samanlainen ajatus 2D: ssä; Katso myös Sierpińskin hauta. Se on myös mahdollista saada portaaleja, jossa toinen pää on neliö, ja toinen pää on suorakulmion, jolloin objektit voidaan venyttää portaalit (ks. myös vanha demo perustuu samanlainen idea). Tämä ei ole enää Euklidinen moninaiset, mutta melko affine yksi (voimme kutsua sitä ”samanlainen pakosarja” jos vain skaalaus on sallittua, mutta se termi ei näytä olevan käytetty)., Affiini / samankaltainen geometria on erilainen kuin Euklidinen geometria (3.aksiooma muuttuu merkityksettömäksi), mutta sitä ei edelleenkään kutsuta Epäeuklidiseksi, koska yhdensuuntaiset linjat eivät vaikuta.

Muita merkittäviä pelejä, jotka ovat geometrisesti outo

• Antichamber — tämä peli on luultavasti vastuussa suosiosta matemaattisesti virheellinen käyttö termi ”non-Euclidean”. Tämä on enimmäkseen Euklidinen manifold (kanssa raja), mutta myös osoittaa joitakin vaikutuksia, jotka eivät tapahtuisi moninainen (esim päädyt eri paikkaan, kun menet joitakin askeleita ja takaisin)., Uskon, että lähes kaikki antichamberin oudot asiat voitaisiin (ja todennäköisesti on) toteuttaa teleportaatiotempun desribed edellä.
• neliulotteiset pelit. Jotkut saattavat pitää näitä pelejä Epäeuklidisina, koska neljä avaruudellista ulottuvuutta ei sopisi kolmiulotteiseen maailmaamme. Kuitenkin, maailmassa, joka toimii aivan kuten meidän vanha kolmiulotteinen Euklidinen avaruus, paitsi että se on enemmän ulottuvuuksia, on edelleen ehdottomasti Euklidinen (mukaan määritelmä)., On tietysti mahdollista saada neliulotteinen Epäeuklidinen avaruus, mutta kirjoitushetkellä näyttää siltä, että mikään peli ei yrittänyt toteuttaa tätä.
• Näkökulman temppuja, kuten Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya Quest, tai Näkökulmasta. Superliminaalissa on jonkin verran perspektiiviä ja”affine manifold” – aspekteja. Nämä pelit ovat outoja ja siistejä, mutta ei pitäisi kutsua Ei-Euklidinen joko. Kutsuisin niitä Eschereskeiksi.

Videot väittää olevansa ei-Euclidean (oikein tai ei)

• Ei Solmu — klassinen video featuring ei-Euklidisen 3D-geometria.,
• Epäeuklidinen virtuaalitodellisuus-tämä on matemaattisessa mielessä Epäeuklidinen.
• meidän Cthulhun temppelimme 3D — ssä – ”neliöt” ovat todellisuudessa kaareutuneita. Ensi silmäyksellä näyttää siltä, että tämä maailma koostuu sarjasta pienempiä palloja. Itse asiassa nämä ”pallot” ovat horospheres (a muoto hyperbolinen geometria, joka ei todellakaan ole Euklidinen analoginen; mielenkiintoista, kun taas 3D-maailmassa täällä on ei-Euklidinen geometria on horosphere on Euklidinen), ja ne ovat kaikki ääretön., (lisää vastaavia videoita)
• meidän SolvRogue —kun taas kahdessa ulottuvuudessa meillä on vain pallomainen, Euklidisen ja hyperbolisen geometrian, siellä ovat jopa weirder epäeuklidinen geometria kolmiulotteisesti. Hae lisää.
• Epäeuklidinen Worlds engine-tämä video alkaa M. C. Escherin Circle limitillä, joka todellakin perustuu Epäeuklidiseen (hyperboliseen) geometriaan. Suurin osa videosta esittelee kuitenkin tavallisen vanhan affiinisen Manifoldin, jolla on rajansa.
• ” ei! Eukleides!”GPU Ray Tracer saa päivityksen! – tämä on melko mielenkiintoinen, koska tämä on todellakin kaareva tila, ei leikkaus.,

Kiitos Henry Segerman ehdottaa parannuksia, ja kaikille kehittäjille, jotka yrittävät luoda näitä kiertäminen geometrinen kokemuksia!