7.1 Einfache exponentielle Glättung
Die einfachste der exponential smoothing-Methoden ist natürlich aufgerufen, einfache exponentielle Glättung (SES)13. Diese Methode eignet sich zur Vorhersage von Daten ohne klaren Trend oder saisonales Muster. Zum Beispiel zeigen die Daten in Abbildung 7.1 kein klares Trendverhalten oder Saisonalität. (Es gibt einen Anstieg in den letzten Jahren, was auf einen Trend hindeuten könnte., Wir werden später in diesem Kapitel überlegen, ob eine trendige Methode für diese Serie besser wäre.) Wir haben bereits die naiven und durchschnittlichen Methoden zur Vorhersage solcher Daten als mögliche Methoden betrachtet (Abschnitt 3.1).
oildata <- window(oil, start=1996)autoplot(oildata) + ylab("Oil (millions of tonnes)") + xlab("Year")
Abbildung 7.1: die Öl-Produktion in Saudi-Arabien von 1996 bis 2013.
Die folgende Tabelle zeigt die Gewichte, die Beobachtungen für vier verschiedene Werte von \(\alpha\) bei der Vorhersage mit einfacher exponentieller Glättung beigefügt sind., Beachten Sie, dass die Summe der Gewichte selbst für einen kleinen Wert von \(\alpha\) für jede vernünftige Stichprobengröße ungefähr eins ist.
Wir stellen zwei äquivalente Formen der einfachen exponentiellen Glättung vor, die jeweils zur Prognosegleichung führen (7.1).
Optimierung
Die Anwendung jeder exponentiellen Glättungsmethode erfordert die Auswahl der Glättungsparameter und der Anfangswerte. Insbesondere für eine einfache exponentielle Glättung müssen wir die Werte von \(\alpha\) und \(\ell_0\) auswählen. Alle Prognosen können aus den Daten berechnet werden, sobald wir diese Werte kennen., Für die folgenden Methoden ist in der Regel mehr als ein Glättungsparameter und mehr als eine Anfangskomponente zu wählen.
In einigen Fällen können die Glättungsparameter subjektiv gewählt werden — der Prognostiker gibt den Wert der Glättungsparameter basierend auf früheren Erfahrungen an. Eine zuverlässigere und objektivere Möglichkeit, Werte für die unbekannten Parameter zu erhalten, besteht jedoch darin, sie aus den beobachteten Daten zu schätzen.
In Abschnitt 5.,2 haben wir die Koeffizienten eines Regressionsmodells geschätzt, indem wir die Summe der quadratischen Residuen minimiert haben (normalerweise als SSE oder „Summe der quadratischen Fehler“bekannt). Ebenso können die unbekannten Parameter und die Anfangswerte für jede exponentielle Glättungsmethode durch Minimierung des SSE geschätzt werden. Die Residuen angegeben werden, da \(e_t=y_t – \hat{y}_{t|t-1}\) für \(t=1,\dots,T\)., Daher finden wir die Werte der unbekannten Parameter und die Anfangswerte, die\
minimieren Im Gegensatz zum Regressionsfall (wo wir Formeln haben, die die Werte der Regressionskoeffizienten zurückgeben, die den SSE minimieren), beinhaltet dies ein nichtlineares Minimierungsproblem, und wir müssen ein Optimierungswerkzeug verwenden, um es zu lösen.