Dodécaèdre

un dodécaèdre (Grec δωδεκάεδρον, De δώδεκα ‘douze’ + εδρον ‘base’, ‘siège’ ou ‘face’) est un polyèdre à douze faces, mais généralement un dodécaèdre régulier est un solide platonicien composé de douze faces pentagonales régulières, avec trois se rencontrant à chaque sommet. Il a vingt (20) sommets et trente (30) arêtes. Son double polyèdre est l’icosaèdre. Si l’on devait faire chacun des solides platoniciens avec des bords de la même longueur, le dodécaèdre serait le plus grand.,

Aire et de volume

La surface de la zone A et le volume V d’un dodécaèdre régulier avec une longueur de un sont:

coordonnées Cartésiennes

Les coordonnées Cartésiennes de définir les sommets d’un dodécaèdre centré à l’origine:

(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)

où φ = est le nombre d’or (aussi écrit τ). La longueur du bord est 2 / φ = √5-1. La sphère contenant a un rayon de √3.

l’angle dièdre d’un dodécaèdre est 2arctan(φ) ou approximativement 116.,565 degrés.

relations géométriques

le dodécaèdre régulier est le troisième d’un ensemble infini de trapézoèdres tronqués qui peuvent être construits en tronquant les deux sommets axiaux d’un trapézoèdre pentagonal.

Les stellations du Dodécaèdre constituent trois des quatre polyèdres de Kepler-Poinsot.

un dodécaèdre rectifié forme un icosidodécaèdre.

Le dodécaèdre régulier a 120 symétries, formant le groupe .,

arrangement des sommets

le dodécaèdre partage son arrangement des sommets avec quatre polyèdres uniformes non convexes et trois composés uniformes.

cinq cubes s’insèrent à l’intérieur, avec leurs bords comme des diagonales des faces du dodécaèdre, et ensemble ceux-ci forment le composé polyédrique régulier de cinq cubes. Puisque deux tétraèdres peuvent tenir sur des sommets de cube alternatifs, cinq et dix tétraèdres peuvent également tenir dans un dodécaèdre.,>
Small ditrigonal icosidodecahedron

Ditrigonal dodecadodecahedron
Great ditrigonal icosidodecahedron
Compound of five cubes
Compound of five tetrahedra
Compound of ten tetrahedra

Icosahedron vs dodecahedron

When a dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere’s volume (66.,49%) qu’un icosaèdre inscrit dans la même sphère (60,54%).

un dodécaèdre régulier de longueur d’arête 1 a plus de trois fois et demie le volume d’un icosaèdre de même longueur d’arêtes (7.663… en comparaison avec 2.181…).

en outre, comme ce sont des duels, il est possible de transformer l’un en l’autre.,= »5534c8ab48″>
Great dodecahedron

Great stellated dodecahedron

Facet diagram

More dodecahedra

The term dodecahedron is also used for other polyhedra with twelve faces, most notably the rhombic dodecahedron which is dual to the cuboctahedron (an Archimedean solid) and occurs in nature as a crystal form., Le dodécaèdre solide platonicien peut être appelé dodécaèdre pentagonal ou dodécaèdre régulier pour le distinguer. Le pyritoèdre est un dodécaèdre Pentagonal irrégulier.,de prisme hexagonal

trapézoèdre Hexagonal – 12 cerfs – volants, dual d’antiprisme hexagonal

tétraèdre Triakis – 12 triangles isocèles, dual de tétraèdre tronqué

dodécaèdre rhombique (mentionné ci – dessus)-12 losanges, dual de cuboctaèdre

autres faces non régulières:

1. pyramide hendécagonale – 11 triangles isocèles et 1 hendécagone
2. trapèze – dodécaèdre rhombique-6 losanges, 6 trapèzes – double d’orthobicupole triangulaire
3. rhombo-dodécaèdre hexagonal ou dodécaèdre allongé-8 losanges et 4 hexagones équilatéraux.,

en tout, il y a 6 384 634 dodécaèdres topologiquement distincts.

Histoire et usages

Dodécaédrique objets ont trouvé des applications pratiques, et ont également joué un rôle dans le domaine des arts visuels et en philosophie.

Le dialogue de Platon Timée (vers 360 av.,) associe les quatre autres solides platoniciens aux quatre éléments classiques; Aristote a postulé que les cieux étaient faits d’un cinquième élément, aithêr (éther en Latin, éther en Anglais Américain), mais il n’avait aucun intérêt à le faire correspondre avec le cinquième solide de Platon.

quelques siècles plus tard, de petits dodécaèdres romains en bronze creux ont été fabriqués et ont été trouvés dans diverses ruines romaines en Europe. Leur but n’est pas certain.

dans l’art du XXe siècle, les dodécaèdres apparaissent dans L’œuvre de M. C. Escher, comme sa lithographie Reptiles (1943), et dans sa Gravitation., Dans le tableau de Salvador Dalí le sacrement de La Cène (1955), la pièce est un dodécaèdre creux.

dans les jeux de rôle modernes, le dodécaèdre est souvent utilisé comme un dé à douze faces, l’un des dés polyédriques les plus courants.

Voir aussi

• dodécaèdre tournant
• dodécaèdre tronqué
• dodécaèdre Snub
• dodécaèdre Pentakis
• chemin Hamiltonien
• 120 cellules: un polychoron régulier (polytope 4D) dont la surface est constituée de 120 cellules dodécaédriques.,olyhedra – Modèles avec Origami Modulaire
• Dodécaèdre – modèle 3-d qui fonctionne dans votre navigateur
• la Réalité Virtuelle Polyèdres L’Encyclopédie de Polyèdres
  • VRML modèles
  1. dodécaèdre Régulier régulier
  2. dodécaèdre Rhombique quasiregular
  3. Décagonale prisme sommet-transitif
  4. Pentagonale antiprism sommet-transitif
  5. Hexagonale dipyramid visage transitive
  6. Triakis tétraèdre visage transitive
  7. hexagonale trapezohedron visage transitive
  8. Pentagonale coupole faces normales
• Weisstein, Eric W.,, « Dodécaèdre » de MathWorld.
• Weisstein, Eric W., » Dodécaèdre allongé  » de MathWorld.
• K. J. M., MacLean, Une Analyse Géométrique des Cinq Solides Platoniciens et d’Autres Semi-Polyèdres Réguliers

Modèle:Polyèdres

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