DerivationsEdit
Quadratique interpolationEdit
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
en utilisant l’intégration par substitution, on peut montrer que
a a b P ( x ) D x = b − a 6 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\left.,}
introduction de la taille de pas h = ( b − a ) / 2 {\displaystyle h=(b-a)/2} Ceci est également couramment écrit comme
a A b P ( x ) D x = h 3 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\left.}
moyenne du point médian et des règles trapézoïdales edit
Une autre dérivation construit la règle de Simpson à partir de deux approximations plus simples: la règle du point médian
M = ( b − a ) F ( A + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)F\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
et la règle trapézoïdale
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( A ) + F B ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).,}
Les erreurs dans ces approximations sont
1 24 ( b − a ) 3 f « ( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) et − 1 12 ( b − a ) 3 f « ( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f »(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{et}}\quad{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f »(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
Cette moyenne pondérée est exactement la règle de Simpson.
en utilisant une autre approximation (par exemple, la règle trapézoïdale avec deux fois plus de points), il est possible de prendre une moyenne pondérée appropriée et d’éliminer un autre terme d’erreur. C’est la méthode de Romberg.,
Indéterminée coefficientsEdit
Le troisième dérivation commence à partir de l’ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
les coefficients α, β Et γ peuvent être fixés en exigeant que cette approximation soit exacte pour tous les polynômes quadratiques. Cela donne la règle de Simpson.,
ErrorEdit
L’erreur dans l’approximation d’une intégrale par la règle de Simpson pour n = 2 {\displaystyle n=2} est
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi)}
où ξ {\displaystyle \xi } (la lettre grecque xi) est un nombre entre un {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} .,
étant donné que le terme d’erreur est proportionnel à la quatrième dérivée de f {\displaystyle F} à ξ {\displaystyle \xi } , cela montre que la règle de Simpson fournit des résultats exacts pour tout polynôme f {\displaystyle f} de degré trois ou moins, puisque la quatrième dérivée d’un tel polynôme est nulle en tous points.
Si la dérivée seconde f « {\displaystyle f »} existe et est convexe sur l’intervalle ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} :
( b − a ) f a + b 2 ) + 1 3 ( b − 2 ) 3 f » ( a + b + c 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f »\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}
composite Simpson’s ruleEdit
Si l’intervalle d’intégration {\displaystyle } est en quelque sorte « petit », alors la règle de Simpson avec n = 2 {\displaystyle n=2} subintervals fournira une approximation adéquate de l’intégrale exacte. Par petit, ce que nous entendons vraiment, c’est que la fonction intégrée est relativement lisse sur l’intervalle {\displaystyle } ., Pour une telle fonction, un interpolant quadratique lisse comme celui utilisé dans la règle de Simpson donnera de bons résultats.
cependant, il arrive souvent que la fonction que nous essayons d’intégrer ne soit pas lisse sur l’intervalle. Typiquement, cela signifie que soit la fonction est fortement oscillatoire, soit elle manque de dérivées à certains points. Dans ces cas, la règle de Simpson peut donner de très mauvais résultats. Une façon courante de gérer ce problème consiste à diviser l’intervalle {\displaystyle } en n > 2 {\displaystyle n>2} petits sous-intervalles., La règle de Simpson est ensuite appliquée à chaque sous-intervalle, les résultats étant additionnés pour produire une approximation de l’intégrale sur tout l’intervalle. Ce genre d’approche est appelé la règle composite de Simpson.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligné}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\env {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligné}}}
L’erreur commise par le composite de la règle de Simpson est
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi)} h 4 180 ( b − a ) max ξ ∈ | f ( 4 ) ( ξ ) | . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in }|f^{(4)}(\xi )|.,}
Cette formulation divise l’intervalle {\displaystyle} en sous-intervalles de longueur égale. En pratique, il est souvent avantageux d’utiliser des sous-intervalles de longueurs différentes et de concentrer les efforts sur les endroits où l’intégrande est moins bien comportée. Cela conduit à la méthode adaptative de Simpson.