soit un tour défini comme une séquence de pertes consécutives suivie soit d’une victoire, soit d’une faillite du Joueur. Après une victoire, le joueur « réinitialise » et est considéré comme ayant commencé un nouveau cycle. Une séquence continue de Paris martingale peut ainsi être divisée en une séquence de tours indépendants. Voici une analyse de la valeur attendue d’un tour.
soit q la probabilité de perdre (par exemple pour la roulette américaine double zéro, il est 20/38 pour un pari sur le noir ou le rouge). Soit B le montant de la mise initiale., Soit n le nombre fini de paris que le joueur peut se permettre de perdre.
la probabilité que le joueur perde tous les paris n est qn. Quand tous les paris perdre, la perte totale est
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
La probabilité que le joueur ne perd pas tous les n paris est de 1 − qn. Dans tous les autres cas, le Joueur gagne la mise initiale (B.,) Ainsi, le bénéfice attendu par tour est
( 1 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 q ) n ) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
Lorsque q > 1/2, l’expression 1 − (2q)n < 0 pour tout n > 0. Ainsi, pour tous les jeux où un joueur est plus susceptible de perdre que de gagner un pari donné, ce joueur devrait perdre de l’argent, en moyenne, chaque tour. Augmenter la taille de la mise pour chaque tour par le système martingale ne sert qu’à augmenter la perte moyenne.,
supposons qu’un joueur a une 63 Unité jeux d’argent bankroll. Le Joueur peut parier 1 unité sur le premier tour. A chaque perte, la mise est doublée. Ainsi, en prenant k comme nombre de pertes consécutives précédentes, le joueur misera toujours 2K unités.
avec une victoire sur un tour donné, le joueur sera net 1 unité sur le montant total misé à ce point. Une fois cette victoire obtenue, le joueur redémarre le système avec une mise de 1 unité.
avec des pertes sur les six premiers tours, le joueur perd un total de 63 unités. Cela épuise la bankroll et la martingale ne peut pas être poursuivie.,
dans cet exemple, la probabilité de perdre la totalité de la bankroll et de ne pas pouvoir continuer la martingale est égale à la probabilité de 6 pertes consécutives: (10/19)6 = 2,1256%. La probabilité de gagner est égale à 1 moins la probabilité de perdre 6 fois: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
dans une circonstance unique, cette stratégie peut avoir un sens. Supposons que le joueur possède exactement 63 unités, mais désespérément besoin d’un total de 64., En supposant q > 1/2 (c’est un vrai casino) et qu’il ne peut placer des paris qu’à cotes égales, sa meilleure stratégie est le jeu audacieux: à chaque tour, il devrait parier le plus petit montant de sorte que s’il gagne, il atteigne sa cible immédiatement, et s’il n’en a pas assez, il devrait tout Finalement, il fait faillite ou atteint sa cible. Cette stratégie lui donne une probabilité de 97,8744% d’atteindre l’objectif de gagner une unité contre une chance de 2,1256% de perdre les 63 unités, et c’est la meilleure probabilité possible dans cette circonstance., Cependant, le jeu audacieux n’est pas toujours la stratégie optimale pour avoir la plus grande chance possible d’augmenter un capital initial à un montant plus élevé souhaité. Si le Joueur peut parier arbitrairement de petites quantités à des cotes arbitrairement longues (mais toujours avec la même perte attendue de 10/19 de la mise à chaque pari), et ne peut placer qu’un pari à chaque tour, alors il existe des stratégies avec plus de 98% de chances d’atteindre son objectif, et celles-ci utilisent un jeu très timide à moins que le joueur ne soit proche de perdre tout son capital, auquel cas il passe à un jeu extrêmement audacieux.