Mathematics for the Liberal Arts (Français)

Learning Outcomes

  • familiarisez-vous avec l’histoire des systèmes numériques positionnels
  • identifiez les bases qui ont été utilisées dans les systèmes numériques historiquement
  • convertir des nombres entre bases
  • utilisez deux méthodes différentes pour convertir des nombres entre bases

Background

comme vous pouvez L’imaginer, le développement d’un système de base est une étape importante pour rendre le processus de comptage plus efficace., Notre propre système base-ten est probablement né du fait que nous avons 10 doigts (y compris les pouces) sur deux mains. C’est une évolution naturelle. Cependant, d’autres civilisations ont eu une variété de bases autres que dix. Par exemple, les indigènes du Queensland ont utilisé un système de base-deux, comptant comme suit: « un, deux, deux et un, deux deux, beaucoup.” Certains Modernes Tribus d’Amérique du Sud ont une base-cinq système de comptage de cette façon: « un, deux, trois, quatre, main, main et un, et deux,” et ainsi de suite. Les Babyloniens utilisaient un système de base soixante (sexigésimal)., Dans ce chapitre, nous terminons avec un exemple spécifique d’une civilisation qui a réellement utilisé un système de base autre que 10.

la civilisation Maya est généralement datée de 1500 AEC à 1700 CE. La péninsule du Yucatan (voir figure 16) au Mexique a été le théâtre du développement de l’une des civilisations les plus avancées du monde antique. Les Mayas avaient un système rituel sophistiqué qui était supervisé par une classe sacerdotale. Cette classe de prêtres a développé une philosophie avec le temps comme divin et éternel., Le calendrier, et les calculs qui s’y rapportent, étaient donc très importants pour la vie rituelle de la classe sacerdotale, et donc du peuple Maya. En fait, une grande partie de ce que nous savons de cette culture provient de leurs enregistrements de calendrier et de données astronomiques. Une autre source importante d’information sur les Mayas est les écrits du Père Diego de Landa, qui est allé au Mexique comme missionnaire en 1549.

il y avait deux systèmes de chiffres développés par les Mayas—un pour les gens ordinaires et un pour les prêtres., Non seulement ces deux systèmes utilisaient des symboles différents, mais ils utilisaient également des systèmes de base différents. Pour les prêtres, le système de numération était régi par le rituel. Les jours de l’année étaient considérés comme des dieux, de sorte que les symboles formels des jours étaient des têtes décorées, comme l’échantillon à gauche puisque le calendrier de base était basé sur 360 jours, le système de chiffres sacerdotaux utilisait un système de base mixte employant des multiples de 20 et 360. Cela crée un système déroutant, dont nous sauterons les détails.,/td>

206 64,000,000 Alau 205 3,200,000 Kinchil 204 160,000 Cabal 203 8,000 Pic 202 400 Bak 201 20 Kal 200 1 Hun

The Mayan Number System

Instead, we will focus on the numeration system of the « common” people, which used a more consistent base system., Comme nous l’avons dit plus tôt, les Mayas utilisaient un système de base-20, appelé système « vigésimal”. Comme notre système, il est positionnel, ce qui signifie que la position d’un symbole numérique indique sa valeur de place. Dans le tableau suivant, vous pouvez voir la valeur de lieu dans son format vertical.

pour écrire des nombres, il n’y avait que trois symboles nécessaires dans ce système. Une barre horizontale représentait la quantité 5, un point représentait la quantité 1 et un symbole spécial (considéré comme une coquille) représentait zéro., Le système Maya a peut-être été le premier à utiliser zéro comme espace réservé/nombre. Les 20 premiers numéros sont indiqués dans le tableau à droite.

contrairement à notre système, où ceux qui sont placés commencent à droite puis se déplacent vers la gauche, les systèmes Mayas placent ceux qui sont en bas d’une orientation verticale et montent à mesure que la valeur de place augmente.

lorsque les nombres sont écrits sous forme verticale, il ne doit jamais y avoir plus de quatre points en un seul endroit. Lors de l’écriture de nombres Mayas, chaque groupe de cinq points devient une barre., En outre, il ne devrait jamais y avoir plus de trois barres en un seul endroit-quatre barres seraient converties en un point à l’endroit suivant. C’est la même chose que 10 se convertir en un 1 à l’endroit suivant lorsque nous portons lors de l’addition.

Exemple

Quelle est la valeur de ce nombre, qui est montré dans la forme verticale?

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en partant du bas, nous avons les ceux en place. Il y a deux barres et trois points à cet endroit., Puisque chaque barre vaut 5, nous en avons 13 lorsque nous comptons les trois points à la place. En regardant la valeur du lieu au-dessus (les vingt places), nous voyons qu’il y a trois points, donc nous avons trois vingt.

par conséquent, nous pouvons écrire ce nombre en base dix:

(3 × 201) + (13 × 200) = (3 × 201) + (13 × 1) = 60 + 13 = 73

Exemple

Quelle est la valeur de la suite de Maya nombre?,

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Ce nombre a 11 dans les de lieu, de zéro dans les années 20 place, et 18 dans l’202 = 400 place. Par conséquent, la valeur de ce nombre en base dix est:

18 × 400 + 0 × 20 + 11 × 1 = 7211.

Essayer

Convertir les Mayas numéro ci-dessous pour la base 10.,

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Exemple

conversion de la base 10 du nombre 357510 de chiffres Maya.

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Ce problème se fait en deux étapes. Nous devons d’abord convertir en un nombre de base 20. Nous le ferons en utilisant la méthode fournie dans la dernière section du texte. La deuxième étape consiste à convertir ce nombre en Symboles Mayas.,

la puissance la plus élevée de 20 qui se divisera en 3575 est 202 = 400, nous commençons donc par diviser cela, puis procédons à partir de là:

3575 ÷ 400 = 8,9375
0,9375 × 20 = 18,75
0,75 × 20 = 15,0

cela signifie que 357510 = 8,18,1520

la deuxième étape consiste à convertir cela en notation Maya. Ce numéro indique que nous avons 15 dans la position. C’est trois barres au bas du nombre. Nous avons aussi 18 à la place des années 20, donc c’est trois barres et trois points en deuxième position. Enfin, nous avons 8 à la place des 400, donc c’est une barre et trois points sur le dessus., Nous obtenons le code suivant:

Notez que dans l’exemple précédent, une nouvelle notation a été utilisé lorsque nous avons écrit 8,18,1520. Les virgules entre les trois nombres 8, 18 et 15 séparent maintenant les valeurs de lieu pour nous afin que nous puissions les garder séparés les uns des autres. Cette utilisation de la virgule est légèrement différente de la façon dont ils sont utilisés dans le système décimal. Lorsque nous écrivons un nombre en base 10, tel que 7 567 323, les virgules sont principalement utilisées comme aide à lire le nombre facilement, mais elles ne séparent pas les valeurs de lieu unique les unes des autres., Nous aurons besoin de cette notation chaque fois que la base que nous utilisons est supérieure à 10.

écrire des nombres avec des bases supérieures à 10

lorsque la base d’un nombre est supérieure à 10, séparez chaque « chiffre” par une virgule pour que la séparation des chiffres soit claire.

par exemple, en base 20, pour écrire le nombre correspondant à 17 × 202 + 6 × 201 + 13 × 200, nous écririons 17,6,1320.

dans la vidéo suivante, nous présentons plus d’exemples de la façon d’écrire des nombres en utilisant des chiffres Mayas ainsi que de convertir des chiffres écrits en Maya pour en base 10.,

La vidéo suivante montre plus d’exemples de conversion de nombres de base 10 en chiffres Mayas.

ajout de nombres Mayas

lors de l’ajout de nombres Mayas ensemble, nous adopterons un schéma que les Mayas n’ont probablement pas utilisé mais qui nous facilitera un peu la vie.

Exemple

Ajouter, dans les Mayas, les numéros 37 et 29:

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d’Abord dessiner un cadre autour de chaque verticale de la lieux. Cela aidera à empêcher les valeurs de lieu d’être mélangées.,

Ensuite, mettre tous les symboles de deux numéros en un seul ensemble de lieux (boîtes), et à la droite de ce nouveau numéro de dessiner un ensemble de cases vides où vous allez placer la somme finale:

Vous êtes maintenant prêt à commencer à transporter. Commencez par l’endroit qui a la valeur la plus basse, tout comme vous le faites avec les chiffres arabes. Commencez à la place inférieure, où chaque point vaut 1. Il y a six points, mais un maximum de quatre sont autorisés à n’importe quel endroit; une fois que vous arrivez à cinq points, vous devez convertir en une barre., Puisque cinq points font une barre, nous dessinons une barre à travers cinq des points, nous laissant avec un point qui est sous la limite de quatre points. Mettre ce point en bas à la place de l’ensemble vide des boîtes que vous venez de dessiner:

Maintenant, regardez les barres en bas lieu. Il y en a cinq et le nombre maximum que l’endroit peut contenir est de trois. Quatre barres sont égales à un point à l’endroit le plus élevé suivant.

chaque fois que nous avons quatre barres en un seul endroit, nous le convertirons automatiquement en un point à l’endroit suivant., Nous dessinons un cercle autour de quatre des barres et une flèche jusqu’à la section des points de l’endroit le plus élevé. À la fin de cette flèche, dessinez un nouveau point. Ce point représente 20 tout comme les autres points à cet endroit. Sans compter les barres encerclées à la place inférieure, il reste une barre. Une barre est sous la limite de trois barres; placez-la sous le point dans l’ensemble des endroits vides à droite.

maintenant, il n’y a que trois points à l’endroit le plus élevé, alors dessinez-les dans la case vide correspondante.,

Nous pouvons voir ici que nous avons 3 de la vingtaine (60), et 6, pour un total de 66. Nous vérifions et notons que 37 + 29 = 66, nous avons donc fait cet ajout correctement. Est-il plus facile de le faire en base dix? Probablement, mais c’est seulement parce que c’est plus familier pour vous. Votre tâche est d’essayer d’apprendre un nouveau système de base, et comment l’ajout peut être fait de manière légèrement différente que ce que vous avez vu dans le passé. Notez cependant que le concept de portage est toujours utilisé, tout comme il l’est dans notre propre algorithme d’addition.,

Essayer

Essayez d’ajouter 174 et 78 Maya en convertissant d’abord à Maya numéros et ensuite de travailler entièrement à l’intérieur de ce système. N’ajoutez pas en base-dix (décimal) jusqu’à la toute fin lorsque vous vérifiez votre travail.

Afficher la Solution

Un exemple de solution est montré.

Dans la dernière vidéo, nous montrons des exemples plus de l’ajout de chiffres Maya.,

Dans ce module, nous avons brièvement esquissé le développement des nombres et de notre système de comptage, en mettant l’accent sur la partie « brève”. Il existe de nombreuses sources d’information et de recherche qui remplissent de nombreux volumes de livres sur ce sujet. Malheureusement, nous ne pouvons pas commencer à couvrir toutes les informations disponibles.

Nous avons seulement rayé la surface de la richesse de la recherche et de l’information qui existe sur le développement des nombres et du comptage à travers l’histoire humaine., Ce qui est important à noter est que le système que nous utilisons chaque jour est un produit de milliers d’années de progrès et de développement. Il représente les contributions de nombreuses civilisations et cultures. Il ne nous descend pas du ciel, un don des dieux. Ce n’est pas la création d’un éditeur de manuels. Il est en effet aussi humain que nous sommes, comme le reste des mathématiques. Derrière chaque symbole, formule et règle, il y a un visage humain à trouver, ou du moins à chercher.

En outre, nous espérons que vous avez maintenant une appréciation de base de la façon dont les systèmes numériques intéressants et diversifiés peuvent obtenir., En outre, nous sommes à peu près sûrs que vous avez également commencé à reconnaître que nous tenons notre propre système de numéros pour acquis tellement que lorsque nous essayons de nous adapter à d’autres systèmes ou bases, nous nous retrouvons vraiment à devoir nous concentrer et réfléchir à ce qui se passe.

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