nem euklideszi geometria és játékok

a “nem euklideszi” kifejezést gyakran használják a játékosok (játékfejlesztők, újságírók stb.) olyan játékot jelent, ahol a tér nem működik pontosan úgy, mint a mi világunkban. Míg az ilyen játékok általában inkább csodálatos és nagyon szórakoztató, ez nem az, amit “nem euklideszi” hagyományosan azt jelenti, matematikusok, akiknek van egy pontosabb jelentése, ami nem “semmi, ami nem egy teljesen normális tér”. Ez a cikk összefoglalja, hogy mit jelent a “nem euklideszi”, valamint a játékokban használt különféle furcsa geometriák.,

a nem-euklideszi geometria felfedezése a matematika történetének egyik legünnepeltebb, legmeglepőbb és legőrültebb pillanata. Ez olyasmi, amit sok nagy gondolkodó több mint 2000 éve úgy gondolta, hogy nem létezik (nem csak a való világban, hanem a fantasy világban is)., Olyan sok népszerű kiállítás a matematika megvitatása nem euklideszi geometria hoztak létre, hogy a kifejezés jogosan lépett be a nagyközönség lelkiismerete, mint valami rendkívül idegen, fontos, őrült, és nehéz megérteni. Általában valami rendkívül hűvös!

a közelmúltban a “nem euklideszi geometria” kifejezést néhány játékfejlesztő alkalmazta bármilyen játéktérre, amely más módon működik, mint a miénk., Ez sajnálatos, mivel a játékosok vonzódnak az ilyen játékok, gondolkodás ” Hé, végre lesz egy esélyt, hogy megértsék, hogy furcsa és fontos dolog, amit ezek a matematikusok voltak őrült!”, ami közel sem az igazsághoz —bár ezek a játékok általában nagyon hűvösek, általában viszonylag egyszerű fogalmakon alapulnak, amelyeknek semmi köze az eredeti dologhoz.

Euclid megmutatta, hogy minden a geometriában (pitagorai tétel, stb.,) levezethető egy kis nagyon egyszerű feltételezi, de volt egy dolog, hogy nem volt boldog: az ötödik posztulátum, amely valójában nem ilyen egyszerű: Ha egy egyenes vonal metszi két egyenes vonalat alkotó két belső szög ugyanazon az oldalon ez az összeg kevesebb, mint két derékszögben, akkor a két sor, ha kiterjesztett végtelenségig, ismerd meg azon az oldalon, amelyen a szögek összege kevesebb, mint két derékszögben.. Euclid úgy vélte, hogy az ötödik posztulátuma bizonyítható a többiektől, és kudarcot vallott, ahogy sok matematikus is az idők során., A rejtélyt a 19. században oldották meg.

elhatároztam, hogy amint rendbe tudom hozni, befejezem a párhuzamokról szóló művet, és felmerül a lehetőség. Még nem tettem meg a felfedezést, de az az út, amelyet követtem, szinte biztos, hogy a célomhoz vezet, feltéve, hogy ez a cél lehetséges. Még nincs meg, de olyan csodálatos dolgokat találtam,hogy megdöbbent. Örök kár lenne, ha ezek a dolgok elvesznének, ahogy te, kedves apám, be kell vallania, amikor látta őket. Csak annyit mondhatok, hogy egy új és más világot teremtettem a semmiből., Minden, amit eddig küldtem neked, olyan, mint egy kártyaház a toronyhoz képest. – Bolyai János

Bolyai, Lobacsevszkij és Gauss új világot teremtett, ahol minden euklideszi posztulátum az ötödik kivételével tart, ami azt mutatja, hogy az ötödik posztulátum nem bizonyítható a többitől. Mivel az Euklidész úgy gondolta, hogy egy ilyen dolog nem létezhet, Gauss nem euklideszi geometria hívta.

ma ezt a hiperbolikus geometriát nevezzük, míg (kétdimenziós) nem euklideszi geometria lehet hiperbolikus vagy gömb alakú., A gömb ívelt a harmadik dimenzióban; azt mondjuk, hogy állandó pozitív görbülete van. (A Föld felszíne jó közelítés, bár a görbület nem pontosan állandó: kissé síkabb a pólusokon.) Az euklideszi geometria görbülete 0, míg a hiperbolikus geometria állandó negatív görbülettel rendelkezik.,

könnyen meg tudja mondani, hogy egy nem-euklideszi világban van-e a következő módon:

• keresse meg a párhuzamos vonalakat. Az euklideszi geometriában állandó távolságra vannak egymástól., A gömbgeometriában konvergálnak, a hiperbolikus geometriában pedig eltérnek egymástól.
• nézze meg a háromszög szögeit. Az euklideszi geometriában legfeljebb 180 fokot összegeznek. A gömbgeometriában többet összegeznek (például az Északi-sarkot, az egyenlítőn pedig két csúcsot, mint a csúcsokat). A hiperbolikus geometriában kevesebbet összegeznek.
• egy egyszerű módja annak, hogy megmondja, hogy egy játék használ valóban nem euklideszi geometria, hogy keresni téglalapok., A nem-euklideszi geometriában nincsenek téglalapok, bármi, ami kicsit úgy néz ki, mint egy téglalap, valójában 90 foknál kisebb szögekkel rendelkezik, vagy szélei görbültek. Tehát, ha téglalapokat lát, a játék (valószínűleg) nem euklideszi.
• az euklideszi geometriában az R sugarú kör kerülete 2NR. A gömbgeometriában 2nsin (r) (amely határolt), a hiperbolikus geometriában pedig 2nsinh (r) (amely exponenciálisan növekszik). Egy 1M “abszolút egységgel” rendelkező háromdimenziós hiperbolikus világban a 100m sugarú gömb nagyobb térfogatú lesz, mint a megfigyelhető univerzum!,
• valóban nem euklideszi 3D-s játékokban, szimulációkban a parallax másképp működik. Az euklideszi térben a tőled távol eső dolgok (csillagok, távoli hegyek) nagyjából ugyanazon a helyen láthatók, mint mozogsz. Ez megváltozik a nem euklideszi geometriákban: a hiperbolikus térben minden mozog, míg más nem euklideszi geometriák még furcsábbak.

játssza le a Hiperrogue-t, hogy felfedezzen egy nem-euklideszi világot, és kapjon néhány intuíciót arról, hogyan működik a nem-euklideszi geometria. A fő játékmenet a hiperbolikus síkhoz készült, de kísérletezhet más 2D és 3D geometriákkal is.,

Házakat

Játékok, azt állítva, hogy a nem-Euklideszi általában világok kapott elvégzésével egy kis “műtét”: vágjuk néhány töredék (chambers) egy Euklideszi tér, majd ragaszd össze őket egy nem-szabványos módja. A 3D-s játékok, a hely, ahol végre műtét általában úgy néz ki, mint egy portál, de a játék is, hogy a műtét úgy tűnik, zökkenőmentes., Matematikailag ez az úgynevezett Euklideszi (vagy lakás) az elosztó (a határ); Euklideszi/lapos, mert a töredékek Euklideszi tér, valamint a “határ”, mert ott jellemzően pár falat, amely nem megy át, de néhány ponton belül az ilyen falak nem is lehet, mely következetesen (falak, portálok). Lehetőség van arra is, hogy a Elosztók határok nélkül legyenek; általában ezek periodikus tereknek tűnnek.

Az ilyen játékokat valószínűleg nem euklideszi néven hívják, mert geometriájukat lehetetlen következetesen értelmezni a miénkhez hasonló világ részeként., Egy Euklideszi világ, amikor 10m, viszont 90 fokkal jobbra, menj 10m, viszont 90 fokkal jobbra, menj 10m, viszont 90 fokkal jobbra, menj 10m, majd forgassa el 90 fokkal jobbra, vissza a kiindulási pontra, majd orientáció. Egy sokrétű (valamint a nem-euklideszi geometriában a fent leírtak szerint) lehetséges egy másik pontba kerülni. (Nagyszerű példa erre a VR project Tea For God, ahol a VR világ, amelyet felfedez, hatalmas, míg a való világban csak oda-vissza jársz egy kis szoba körül.,) Az is lehetséges, hogy egy hurok, amely hozza vissza a kiindulási pont belsejében sokrétű, de más lenne az euklideszi világban. Ez azonban nem az, amit a nem euklideszi geometria jelent a matematikus számára. A műtét megváltoztatja a tér topológiáját, de nem változtatja meg a geometriáját.

egy elosztóban néha olyan háromszögeket találhat, amelyek szögei valami mást jelentenek, mint 180 fok, vagy párhuzamos vonalak, amelyek nem állnak közel, amikor egyikük átmegy egy portálon., Egy valóban nem euklideszi világban azonban ezek a jelenségek még a nagyon kis háromszögeknél is előfordulnak, minden vonalpár esetében. Az ilyen animációhoz hasonló hatásokat nem lehetett portálokkal elérni — a nem euklideszi geometriában egyszerre láthatja az egész derékszögű ötszöget, míg portálokkal az öt derékszög egyike mindig el lesz rejtve egy portál mögött.

a játék Sokrétű megvalósításának egyszerű (de korlátozott) módja a láthatatlan teleportáló eszközök létrehozása, amelyek zökkenőmentesen teleportálják a lejátszót egy másik helyre, amely pontosan ugyanúgy néz ki., Ez a technika alapvetően minden játékmotorban működik (még a Minecraft-ban is). Sok megjegyzést láttam a videók alatt ezzel a technikával, mondván: “ez nem euklideszi, csak teleportokat használ!”Ezeknek a megjegyzéseknek igaza van, hogy ez nem matematikai értelemben nem euklideszi, de a teleportok használatának semmi köze ehhez. Általában furcsának találom ezt az érzést. Ez a hatás számít, nem pedig annak végrehajtása. Végül is minden videojáték illúzió.

természetesen ezt a nem euklideszi térrel is megtehetjük, nem euklideszi sokrétű., A hiperbolikus Elosztók jellemzően korlátozottak, így elvesztik exponenciális növekedésüket (és a játéktervezéstől függően ez az exponenciális növekedés óriási technikai probléma lehet); A párhuzamos vonalak és háromszögek azonban továbbra is másképp működnek.

ha a távolság nem az euklideszi metrika

láttam néhány ember azt állítják, hogy minden játék játszott négyzet rácsok nem euklideszi., Ennek oka az, hogy egy ilyen játékban a |X|+|y| (úgynevezett taxicab metrikus) vagy max (|x|, |y|) (úgynevezett Chebyshev metrikus) képlet adja meg a lépések számát, vagy más képletet, ahol a d lépésekben lévő pontok halmaza nyolcszög, míg a pitagorai tétel azt mondja, hogy a két pont közötti távolság valójában az x2+y2 négyzetgyöke (metrikus úgynevezett euklideszi metrikus).). Hasonlóképpen azt is mondhatjuk, hogy a HyperRogue nem hiperbolikus, mivel ez egy rács alapú játék.,

valójában nem igazán van szükségünk rácsra ehhez a problémához: ha felülről lefelé játszol, folyamatos térrel a billentyűzet segítségével, akkor általában nyolc irányba mozoghatsz, így a távolságot továbbra is a fenti képletek egyike adja meg. Tehát ez lenne sok játék nem euklideszi.

úgy tűnik, hogy ez ismét zavart okoz, mivel több dolgot neveztek el Euclidről. A “nem-euklideszi” azt jelenti, hogy az euklideszi párhuzamos axióma nem teljesül, nem pedig azt, hogy a metrika eltér az euklideszi metrikától., A rács alapú játékokat az emberek általában nem érzékelik furcsának, és ez várható, mivel ezeknek a tereknek számos fontos tulajdonsága hasonló a folyamatos terekhez. A négyzetrács párhuzamos vonalai úgy működnek, mint az euklideszi geometriában, míg a Hiperrogue nagy falai egyenes vonalakként működnek a hiperbolikus geometriában. A négyzetrács kvadratikusan növekszik, csakúgy, mint az euklideszi sík, míg a Hiperrogue világ exponenciálisan növekszik. És így tovább., Meglehetősen lenyűgöző jelenség merül fel, amikor szimulálja, hogy a hatások hogyan terjednek el egy négyzethálón — például szimulálja a hőátadást (időben 0 a rács egyik pontja nagyon forró, és hagyja, hogy a hő más pontokra terjedjen), vagy véletlenszerű séta (0 időben sok részecske van a rács egyik pontján, majd mindegyik véletlenszerűen mozog). Annak ellenére, hogy első pillantásra úgy tűnhet, hogy a hullámoknak négyzetes vagy nyolcszögletű formában kell terjedniük (a szerkezeti rács miatt), valójában tökéletesen kör alakúak!, Ez történik minden kellően szimmetrikus rács az euklideszi síkon, de más lesz a többi rácsok!

A nem euklideszi geometriához kapcsolódó művészek

M. C. Escher számos nagyszerű művet hozott létre lehetetlen geometriák alapján, amelyek viszont sok csodálatos játékot inspiráltak. Ha elolvassa, hogy Escher nem euklideszi geometriát használt, ez igaz, nem euklideszi geometriát használt a Körhatár sorozatában. Azonban, ha egy játék emlékezteti Önt pl., Emelkedő és lejtő, vízesés, relativitáselmélet, mélység, vagy egy másik világ II, nos, ezeknek a műalkotásoknak nincs sok köze a nem-euklideszi geometriához. Az ilyen terek általánosan használt kifejezései közé tartozik a lehetetlen tér / geometria vagy az Escheresque.

A nem-euklideszi geometriához általában kapcsolódó másik művész a H. P., Lovecraft: felületek túl nagy ahhoz, hogy tartozik minden dolog helyes vagy megfelelő e föld a geometria az álom-hely látta volt abnormális, nem euklideszi, és irtózatosan redolent gömbök és méretek eltekintve a miénk nem lehetett biztos, hogy a tenger és a föld vízszintes, így a relatív helyzete minden mást tűnt fantasztikusan változó. olyan szög, amely akut volt, de úgy viselkedett, mintha tompa lenne. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Ezek a leírások nagyon homályos, de leírni egy érzést, egy laikus van, ahol feltárása egy nem-Euklideszi szimuláció elég jól, sőt, meglepően jól adott az a tény, hogy Lovecraft nem volt hozzáférése olyan szimulációk: ő nem beszélve arról, hogy ott valami nagyon furcsa szögből a R’Lyeh, pedig érzem, egy nem-Euklideszi szimuláció, míg a játékok, a “nem-Euklideszi” nem matematikai jelentése, a szögek nézd többnyire normális; emlékeztet a játékos több Escher lehetetlen architektúrák, mint R’Lyeh., Ez a cikk ezt részletesebben vizsgálja.

játékok és interaktív demók nem euklideszi geometriával

• Hiperrogue-egy roguelike játék zajlik a hiperbolikus síkban (azaz kétdimenziós hiperbolikus geometria). Ez egy hiperbolikus síkot használ (topológiai műtét vagy határ nélkül), így a világ nagyobb, mint a Senki égboltja, MineCraft, vagy bármi euklideszi.
• Bringris-a nem-euklideszi falling block játék (hasonló Tetris), készült a HyperRogue motor.
• MagicTile-szerű Rubik-kocka, de nem euklideszi 2D-s elosztókban.,
• Hyperbolic Maze-a labirintus egy hiperbolikus 2D sokrétű.
• Hypernom-ez háromdimenziós gömb geometriát használ.
• egységes Polychora – több háromdimenziós gömb geometria.
• nem euklideszi VR (H3)-ez háromdimenziós hiperbolikus geometria. Lásd még: h2xr (hiperbolikus bizonyos dimenziókban, euklideszi más dimenziókban) és egy új változat.
• virtuális Horgolásunk-bemutató háromdimenziós gömbgeometriában.
• ívelt terek-háromdimenziós, nem euklideszi elosztókon keresztül repülnek.,
• hiperbolikus játékok-egyszerű játékok 2D hiperbolikus elosztókban.
• HyperSweeper-Aknakereső hiperbolikus síkban.
• Sokyokuban-Sokoban-mint a hiperbolikus síkban, játszható egy böngészőben. Holonomy teszi érdekes. (Lásd még ezt egy másik puzzle alapján holonomy.)

fejlesztés alatt álló játékok

a közelmúltban számos hűvös, nem euklideszi játékprojekt létezik a fejlesztésben!

• Hypermine — ez egy Minecraft-szerű háromdimenziós hiperbolikus térben., A galériában található képernyőképek meglehetősen lenyűgözőek, a fejlesztés meglehetősen jól halad! (frissítés: sajnos a fejlesztés lassan megy a közelmúltban : ()
• HyperBlock-egy másik Minecraft-szerű. Ez a h2xr geometriát használja, azaz egy hiperbolikus síkot, amelynek ” z ” koordinátája euklideszi módon működik.
• Hyperbolica-egy nem euklideszi játék fejlesztése. A pótkocsi hiperbolikus geometriát és egy kis gömb geometriát mutat., Ellentétben a HyperRogue, Hypermine és Hyperbolica, amelyek középpontjában a játék egy végtelen világban, úgy tűnik, hogy inkább egy történet – alapú játék, a gyaloglás, puzzle, felvételi elemek, és több mainstream grafika. (A nap, a hiperbolikus tér nem úgy működik, mint az látható, a trailer — ez kell, hogy legyen láthatóan fényesebb lesz ahogy haladunk felé — de remélhetőleg ez megváltozik 🙂
• a Nem-Euklideszi biliárd VR — az ötlet, hogy a leképezés egy igazi derékszögű tér táblázat egy hiperbolikus derékszögű pentagon, vagy gömb alakú derékszögű háromszög, nagyon jó!,
• végül, de nem utolsósorban, a HyperRogue is fejlesztés alatt áll —nem euklideszi motorja és az egyedi világ nagyszerű tesztelési alapja a játék műfajaival vagy más furcsa geometriákkal végzett különféle kísérleteknek, és ezeknek a kísérleteknek az eredményeit hozzáadják a játékhoz. Az opciók megváltoztatásával valami teljesen más lehet, mint az eredeti roguelike a hiperbolikus síkban.Kísérletezhet gömbgeometriával, különféle elosztókkal határ nélkül, 3D geometriákkal, beleértve a nem izotrópokat is; roguelites, verseny, rejtvények stb.,
• Spaceflux-a meglévő videók “fraktál geometriát” mutatnak, de a Kickstarter oldalon szereplő tervek hiperbolikus geometriát, sőt nem izotróp geometriát (Solv) is említenek.

példák figyelemre méltó játékokat játszott Elosztók

• aszteroidák (1979) – ha megy keresztül a keleti szélén a világ, akkor megjelenik a nyugati szélén; hasonlóan Észak vagy Nyugat. Ez egy kétdimenziós lapos elosztó, határ nélkül (lapos tórusznak nevezik).
• Pac-Man (1980) – szerű kisbolygók., A legtöbb változatban csak az E-W élen keresztül lehet átmenni, de nem az N-S élen keresztül,így henger (egy elosztó határral).
• civilizáció (1991)-mint már említettük, a gömb felszíne nem euklideszi. Ezért lehetetlen olyan lapos térképet készíteni a földről, amely nem torzít semmit. Sajnos a legtöbb gömb alakú bolygón zajló játék nem veszi figyelembe ezt a nem euklideszi geometriát; egy lapos térképet vesznek, és úgy tesznek, mintha ennek a térképnek nincsenek torzulásai., A civilizációt egy hengeren játsszák (nem lehet átmenni egy póluson ,míg a Való Világban a legrövidebb járat Európából Hawaiiba megy keresztül az Északi-sarkon). Néhány más játékot a lapos tori-n játszanak, ami bizonyos értelemben még inkább különbözik a gömbtől.
• Portal (2007) — ha elhelyez néhány portált, a világ sokrétűvé válik a határokkal.
• sokrétű Kert (2019) – helyesen használja a “sokrétű” kifejezést. Még nem játszottam, úgy tűnik, hogy többnyire egy háromdimenziós lapos tórusz (azaz,, egy háromdimenziós lapos elosztó nélkül határ), de van néhány portálok is.
• az Euklidész töredékei, Paradox Vektor-ezek a játékok Escheresque euklideszi manifeszteken vannak. Escheresque, mint Escher Relativitásában vagy más világban: az irányok nem következetesek. Az Euclid töredékei egy kirakós játék, míg a Paradox vektor egy FPS.
• a (2020-ban kiadandó) makett egy portálokkal rendelkező játéknak tűnik, ahol a portál egyik vége nagyobb lehet, mint a másik vége, következésképpen az objektumok nagyobbak vagy kisebbek lehetnek a portálon való áthaladás után., A tükör színpad (2009) hasonló ötlet a 2D-ben; Lásd még Sierpiński sírját. Lehetőség van olyan portálokra is, ahol az egyik vége négyzet, a másik vége téglalap, így az objektumokat portálok nyújtják (Lásd még a régi demómat is hasonló ötlet alapján). Ez már nem euklideszi sokrétű, hanem affinitás (“hasonló sokrétűnek” nevezhetjük, ha csak méretezés megengedett, de úgy tűnik, hogy ezt a kifejezést nem használják)., Az Affin / hasonló geometria különbözik az euklideszi geometriától (a 3.axióma értelmetlenné válik), de még mindig nem nevezik nem euklideszi, mivel a párhuzamos vonalakat nem érinti.

egyéb figyelemre méltó játékok, amelyek geometriailag furcsaak

• Antichamber-ez a játék valószínűleg felelős a “nem euklideszi”kifejezés matematikailag helytelen használatának népszerűsítéséért. Ez többnyire egy euklideszi sokrétű (határral), hanem mutat néhány hatása, hogy nem fog megtörténni egy sokrétű (például a végén egy másik helyen, ha megy néhány lépést vissza)., Úgy gondolom, hogy az Antichamberben szinte minden furcsa dolgot (valószínűleg) végre lehet hajtani a fenti teleportációs trükkövel.
• négydimenziós játékok. Néhány ember úgy gondolhatja ezeket a játékokat, mint nem euklideszi, mert négy térbeli dimenzió nem illeszkedik a háromdimenziós világunkba. Azonban egy olyan világ, amely ugyanúgy működik, mint a régi háromdimenziós euklideszi térünk, kivéve, hogy több dimenziója van, még mindig határozottan euklideszi (definíció szerint)., Természetesen lehetséges egy négydimenziós, nem euklideszi tér, de az írás idején úgy tűnik, hogy egyetlen játék sem próbálta ezt megvalósítani.
• perspektivikus trükkök, például Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya küldetése vagy perspektíva. A szuperliminalnak van némi perspektívája és”affine sokrétű” aspektusa. Ezek a játékok furcsa és hűvös, de nem nevezhető nem euklideszi sem. Néhányat Escheresque-nek hívnék.

nem euklideszi (helyes vagy nem)

• Nem csomó-klasszikus videó, amely nem euklideszi 3D geometriát tartalmaz.,
• nem euklideszi virtuális valóság — ez matematikai értelemben nem euklideszi.
• Cthulhu templomunk 3D-ben-a “négyzetek”valójában ívelt. Első pillantásra úgy tűnik, hogy ez a világ kisebb-kisebb golyók sorozatából áll. Valójában ezek a” golyók ” horoszférák (hiperbolikus geometriából származó alak, amelynek valójában nincs euklideszi analógja; érdekes, hogy míg a 3D-s világ itt nem euklideszi, a horoszféra geometriája euklideszi), és mind végtelenek., (további hasonló videók)
• a SolvRogue —míg két dimenzióban csak gömb alakú, euklideszi és hiperbolikus geometria van, addig három dimenzióban még furcsább nem-euklideszi geometriák vannak. Menj ide többet.
• nem euklideszi világok motorja — ez a videó M. C. Escher Körhatárával kezdődik, amely valójában nem euklideszi (hiperbolikus) geometrián alapul. Azonban, a legtöbb videó bemutatja egy sima régi affine sokrétű határ.
• ” nem! Euclid!”GPU Ray Tracer kap egy frissítést! — ez nagyon érdekes, mert ez valóban egy ívelt tér, nem a műtéten alapul.,

köszönet Henry Segermannek a fejlesztések javasolásáért, valamint mindazoknak a fejlesztőknek, akik megpróbálják létrehozni ezeket a gondolkodó geometriai élményeket!