Geometria e giochi non euclidei

Il termine “non euclideo” è spesso usato dai giocatori (sviluppatori di giochi, giornalisti, ecc.) per indicare qualsiasi tipo di gioco in cui lo spazio non funziona esattamente come nel nostro mondo. Mentre tali giochi tendono in genere ad essere sorprendenti e molto divertenti, questo non è ciò che “non euclideo” significa tradizionalmente per i matematici, per i quali ha un significato più preciso, che non è “tutto ciò che non è uno spazio perfettamente normale”. Questo articolo fornisce un riassunto di cosa significa” non euclideo ” e delle varie strane geometrie utilizzate nei giochi.,

La scoperta della geometria non euclidea è uno dei momenti più celebri, sorprendenti e folli della storia della matematica. È qualcosa che molti grandi pensatori per più di 2000 anni credevano di non esistere (non solo nel mondo reale, ma anche nei mondi fantastici)., Sono state create così tante esposizioni popolari di matematica che discutono della geometria non euclidea che il termine è giustamente entrato nella coscienza pubblica generale, come qualcosa di estremamente alieno, importante, pazzo e difficile da capire. In generale, qualcosa di estremamente cool!

Recentemente, il termine “geometria non euclidea” è stato appropriato da alcuni sviluppatori di giochi per qualsiasi tipo di spazio di gioco che funzioni in modo diverso dal nostro., Questo è un peccato, in quanto i giocatori sono attratti da tali giochi, pensando ” hey, finalmente avrò la possibilità di capire quella cosa strana e importante di cui tutti questi matematici erano pazzi!”, che non è in nessun posto vicino alla verità —mentre questi giochi sono di solito molto cool, di solito sono basati su concetti relativamente semplici che non hanno nulla a che fare con la cosa originale.

Euclide ha mostrato come tutto in geometria (Teorema di Pitagora, ecc.,) potrebbe essere derivato da un numero ridotto di molto semplice postulati… ma c’era una cosa che non era felice: il suo quinto postulato, che non era in realtà molto semplice: Se un segmento di retta che interseca due rette che formano due angoli interni sono sullo stesso lato, la cui somma è minore di due angoli retti, allora le due linee, se esteso indefinitamente, si incontrano su quel lato in cui gli angoli somma è minore di due angoli retti.. Euclide credeva che il suo quinto postulato potesse essere dimostrato dagli altri, e fallì, e così fecero molti matematici attraverso i secoli., Il mistero è stato risolto nel 19 ° secolo.

Sono deciso a pubblicare un lavoro su parallels non appena posso metterlo in ordine, completarlo e si presenta l’opportunità. Non ho ancora fatto la scoperta, ma il percorso che ho seguito è quasi certo di condurmi al mio obiettivo, purché questo obiettivo sia possibile. Non ce l’ho ancora, ma ho trovato cose così magnifiche che sono rimasto sbalordito. Sarebbe un peccato eterno se queste cose andassero perdute, come tu, mio caro padre, devi ammettere quando le hai viste. Tutto quello che posso dire ora è che ho creato un mondo nuovo e diverso dal nulla., Tutto quello che ti ho mandato finora è come un castello di carte rispetto a una torre. – János Bolyai

Bolyai, Lobachevsky e Gauss hanno creato un nuovo mondo, dove tutti i postulati di Euclide valgono tranne il quinto, dimostrando così che il quinto postulato non poteva essere dimostrato dagli altri. Poiché Euclide credeva che una cosa del genere non potesse esistere, è stata chiamata dalla geometria non euclidea di Gauss.

Oggi chiamiamo questa geometria iperbolica, mentre la geometria (bidimensionale) non euclidea potrebbe essere iperbolica o sferica., Una sfera è curva nella terza dimensione; diciamo che ha una curvatura positiva costante. (La superficie della Terra è una buona approssimazione, anche se la curvatura non è esattamente costante: è leggermente più piatta sui poli.) La geometria euclidea ha curvatura 0, mentre la geometria iperbolica ha curvatura negativa costante.,

Puoi facilmente capire se ti trovi in un mondo non euclideo nei seguenti modi:

• Cerca linee parallele. Nella geometria euclidea, sono a distanze costanti l’uno dall’altro., Nella geometria sferica convergono e nella geometria iperbolica divergono.
• Guarda gli angoli di un triangolo. Nella geometria euclidea, si sommano fino a 180 gradi. Nella geometria sferica, si sommano a più (ad esempio, prendi il Polo Nord e due vertici sull’equatore come vertici). Nella geometria iperbolica, si sommano a meno.
• Un modo semplice per capire se un gioco utilizza una geometria veramente non euclidea è cercare rettangoli., Nella geometria non euclidea non ci sono rettangoli, tutto ciò che sembra un po ‘ come un rettangolo in realtà ha i suoi angoli più piccoli di 90 gradi, o i suoi bordi sono curvi. Quindi, se vedi i rettangoli, il gioco non è (probabilmente) non euclideo.
• Nella geometria euclidea, un cerchio di raggio r ha perimetro 2nr. Nella geometria sferica, è 2nsin (r) (che è limitato), e nella geometria iperbolica, è 2nsinh (r) (che cresce esponenzialmente). In un mondo iperbolico tridimensionale con “unità assoluta” di 1m, una palla con raggio di 100m avrà un volume maggiore dell’Universo osservabile!,
• In giochi e simulazioni 3D veramente non euclidee la parallasse funziona in modo diverso. Nello spazio euclideo, le cose che sono lontane da te (stelle, montagne lontane) sono viste all’incirca nello stesso posto in cui ti muovi. Questo cambia nelle geometrie non euclidee: nello spazio iperbolico, tutto si muove, mentre altre geometrie non euclidee sono ancora più strane.

Gioca il nostro HyperRogue per esplorare un mondo non euclideo e ottenere alcune intuizioni su come funziona la geometria non euclidea. Il gameplay principale è progettato per il piano iperbolico, ma puoi anche sperimentare altre geometrie 2D e 3D.,

Collettori

I giochi che affermano di essere non euclidei di solito hanno mondi ottenuti eseguendo una sorta di “chirurgia”: tagliamo alcuni frammenti (camere) da uno spazio euclideo, e poi li incolliamo insieme in un modo non standard. Nei giochi 3D, il luogo in cui abbiamo eseguito un intervento chirurgico in genere si presenta come un portale, ma il gioco può anche rendere l’intervento chirurgico apparire senza soluzione di continuità., Matematicamente, questo è chiamato un collettore euclideo (o piatto) (con confine); Euclideo/piatto perché è fatto di frammenti di spazio euclideo e “con confine” perché in genere ci sono alcune pareti che non si potevano attraversare, e alcuni punti all’interno di tali pareti non potevano nemmeno essere modellati in modo coerente (pareti dei portali). È anche possibile avere varietà senza limiti; in genere questi sembrano spazi periodici.

Tali giochi sono probabilmente chiamati non euclidei perché la loro geometria è impossibile da interpretare coerentemente come parte di un mondo simile al nostro., In un mondo euclideo, quando vai 10m, gira 90 gradi a destra, vai 10m, gira 90 gradi a destra, vai 10m, gira 90 gradi a destra, vai 10m e gira 90 gradi a destra, torni al tuo punto di partenza e orientamento. In una varietà (e anche nella geometria non euclidea come descritto sopra) è possibile finire in un punto diverso. (Un grande esempio di questo è il progetto VR Tea for God, dove il mondo VR che stai esplorando è enorme, mentre nel mondo reale stai solo camminando avanti e indietro intorno a una piccola stanza.,) È anche possibile creare un ciclo che ti riporta al tuo punto di partenza all’interno del collettore, ma sarebbe diverso nel mondo euclideo. Tuttavia, questo non è ciò che la geometria non euclidea significa per un matematico. La chirurgia cambia la topologia dello spazio, ma non cambia la sua geometria.

In un collettore a volte puoi trovare triangoli i cui angoli si sommano a qualcosa di diverso da 180 gradi, o linee parallele che smettono di essere vicine quando una di esse attraversa un portale., Tuttavia, in un mondo veramente non euclideo, questi fenomeni si verificano anche per triangoli molto piccoli e per ogni coppia di linee. Effetti come questa animazione non possono essere ottenuti utilizzando portali-in geometria non euclidea è possibile vedere l’intero pentagono ad angolo retto in una sola volta, mentre con portali, uno dei cinque angoli retti sarà sempre nascosto dietro un portale.

Un modo semplice (ma limitato) per implementare una varietà in un gioco è quello di creare dispositivi di teletrasporto invisibili, che teletrasportano senza problemi il giocatore in un’altra posizione che sembra esattamente la stessa., Questa tecnica funziona praticamente in qualsiasi motore di gioco (anche in Minecraft). Ho visto molti commenti sotto i video che usano questa tecnica dicendo ” questo non è non euclideo, stai solo usando i teletrasporti!”Questi commenti hanno ragione sul fatto che questo non è non euclideo in senso matematico, ma l’uso dei teletrasporti non ha nulla a che fare con questo. In generale, trovo che il sentimento strano. È l’effetto che conta, non come viene implementato. Ogni videogioco è un’illusione, dopo tutto.

Naturalmente potremmo anche farlo a partire dallo spazio non euclideo, ottenendo una varietà non euclidea., Le varietà iperboliche sono tipicamente limitate, quindi perdono la loro crescita esponenziale (e, a seconda del design del gioco, questa crescita esponenziale può essere un enorme problema tecnico); tuttavia, le linee parallele e i triangoli funzionano ancora in modo diverso.

Quando la distanza non è la metrica euclidea

Ho visto alcune persone sostenere che tutte le partite giocate su griglie quadrate non sono euclidee., Questo è perché, in un gioco, il numero di passi è necessario prendere per raggiungere il punto (x,y) dal punto (0,0) è dato dalla formula |x|+|y| (i cosiddetti taxi metrico) o max(|x|, |y|) (il cosiddetto Chebyshev metrica), o qualche altra formula in cui l’insieme dei punti di d steps è un ottagono, mentre il teorema di Pitagora dice che la distanza tra questi due punti è in realtà la radice quadrata di x2+y2 (la cosiddetta metrica Euclidea). Allo stesso modo, si potrebbe dire che HyperRogue non è iperbolico, dal momento che è un gioco basato sulla griglia.,

In realtà, non abbiamo davvero bisogno di una griglia per questo problema: se giochi un gioco top-down con spazio continuo usando la tastiera, di solito puoi muoverti in otto direzioni, quindi la distanza sarà comunque data da una delle formule sopra. Quindi questo renderebbe molti giochi non euclidei.

Questa sembra essere di nuovo una confusione derivante dall’avere diverse cose che prendono il nome da Euclide. ” Non euclideo ” significa che l’assioma parallelo di Euclide non è soddisfatto, non che la metrica sia diversa dalla metrica euclidea., I giochi basati sulla griglia non sono normalmente percepiti dalle persone come qualcosa di strano, e questo è previsto, poiché molte proprietà importanti di questi spazi sono simili a quelle degli spazi continui. Le linee parallele in una griglia quadrata funzionano come nella geometria euclidea, mentre le grandi pareti in HyperRogue funzionano come le linee rette nella geometria iperbolica. Una griglia quadrata cresce quadraticamente, proprio come il piano Euclideo, mentre il mondo iperrogue cresce esponenzialmente. E così via., Un fenomeno piuttosto impressionante si verifica quando si sta simulando come gli effetti si diffondono su una griglia quadrata-ad esempio, si sta simulando il trasferimento di calore (nel tempo 0 un punto della griglia è molto caldo e si lascia che il calore si diffonda in altri punti), o una passeggiata casuale (nel tempo 0 ci sono molte particelle in un punto della griglia, e poi ognuna di esse si muove casualmente). Anche se potrebbe sembrare a prima vista che le onde dovrebbero diffondersi in forme quadrate o ottagonali (a causa della griglia della struttura), sono in realtà perfettamente circolari!, Ciò accade su qualsiasi griglia sufficientemente simmetrica sul piano euclideo, ma sarà diversa in altre griglie!

Artisti associati alla geometria non euclidea

M. C. Escher ha creato molte grandi opere d’arte basate su geometrie impossibili, che a sua volta ha ispirato molti giochi sorprendenti. Se leggi che Escher ha usato la geometria non euclidea, questo è vero, ha usato la geometria non euclidea nella sua serie di limiti di cerchio. Tuttavia, se un gioco ti ricorda ad esempio, Ascendente e Discendente, Cascata, Relatività, Profondità, o Un altro Mondo II, beh, queste opere non hanno molto a che fare con la geometria non euclidea. Termini comunemente usati per tali spazi includono spazio impossibile / geometria o Escheresco.

Un altro artista comunemente associato alla geometria non euclidea è H. P., Lovecraft: superfici troppo grandi per appartenere a qualsiasi cosa giusta o appropriata per questa terra la geometria del luogo del sogno che vedeva era anormale, non euclidea e ripugnante di sfere e dimensioni oltre alla nostra Non si poteva essere sicuri che il mare e il terreno fossero orizzontali, quindi la posizione relativa di tutto il resto sembrava fantasticamente variabile. un angolo che era acuto, ma si comportava come se fosse ottuso. (H. P., Lovecraft, il richiamo di Cthulhu) Queste descrizioni sono molto vaghe, ma che descrivono alcuni dei sentimenti di un laico è dove esplorare un non-Euclidea simulazione abbastanza bene, anche incredibilmente bene, dato il fatto che Lovecraft non aveva accesso a tali simulazioni: egli non ricordare che c’è qualcosa di molto strano su angoli in R’Lyeh, e si ottiene questo sentimento in un non-Euclidea di simulazione, mentre nei giochi che utilizzano “non Euclidea” in un non-matematico significato, gli angoli aspetto per lo più normale; ricordano il giocatore più di Escher architetture impossibili di R’Lyeh., Questo articolo esplora questo in modo più dettagliato.

Giochi e demo interattive che utilizzano la geometria non euclidea

• il nostro HyperRogue — un gioco roguelike che si svolge nel piano iperbolico (cioè, bidimensionale geometria iperbolica). Questo utilizza un piano iperbolico (senza alcuna chirurgia topologica o confine), quindi il suo mondo è più grande del Cielo di nessuno, di MineCraft o di qualsiasi cosa euclidea.
• Bringris-il nostro non euclidea caduta blocco di gioco (simile a Tetris), realizzato con il motore HyperRogue.
• Cubo di Rubik simile alla magia, ma in varietà 2D non euclidee.,
• Labirinto iperbolico — un labirinto in un collettore 2D iperbolico.
• Hypernom-questo utilizza la geometria sferica tridimensionale.
• Polychora uniforme-geometria sferica più tridimensionale.
• VR non euclideo (H3)-questa è la geometria iperbolica tridimensionale. Vedi anche H2xR (iperbolico in alcune dimensioni ed euclideo in altre dimensioni) e una nuova versione.
• il nostro uncinetto virtuale — una demo in geometria sferica tridimensionale.
• Spazi curvi-vola attraverso varietà non euclidee tridimensionali.,
• Iperbolic Games-giochi semplici in 2D varietà iperboliche.
• HyperSweeper — Dragamine nel piano iperbolico.
• Sokyokuban-Sokoban-come nel piano iperbolico, giocabile in un browser. L’olonomia lo rende interessante. (Vedi anche questo per un altro puzzle basato sull’olonomia.)

Giochi in sviluppo

Recentemente ci sono diversi progetti di gioco non euclidei in sviluppo!

• Hypermine — questo è un Minecraft-come nello spazio iperbolico tridimensionale., Gli screenshot nella Galleria sono piuttosto impressionanti e lo sviluppo sta progredendo abbastanza bene! (aggiornamento: purtroppo lo sviluppo sta andando lento di recente: ()
• HyperBlock — un altro Minecraft-like. Questo usa la geometria H2xR, cioè un piano iperbolico con la coordinata ” z ” che funziona in modo euclideo.
• Hyperbolica-un gioco non euclideo in fase di sviluppo. Il trailer mostra la geometria iperbolica e un po ‘ di geometria sferica., Contrariamente a HyperRogue, Hypermine e Hyperbolica che si concentrano sul gameplay in un mondo infinito, sembra essere più di un gioco basato sulla storia, con camminare, puzzle, elementi di ripresa e grafica più mainstream. (Il sole nello spazio iperbolico non funziona come mostrato nel trailer – dovrebbe diventare visibilmente più luminoso mentre ci muoviamo verso di esso – ma speriamo che sarà cambiato:)
• Biliardo non euclideo in VR – l’idea di mappare un vero tavolo quadrato ad angolo retto in un pentagono ad angolo retto iperbolico, o un triangolo ad angolo retto sferico, è molto cool!,
• Ultimo ma non meno importante, HyperRogue è anche in fase di sviluppo —il suo motore non euclideo e un mondo unico è un grande banco di prova per vari esperimenti con generi di gioco o altre strane geometrie, e i risultati di questi esperimenti vengono aggiunti al gioco. Cambiando le opzioni, puoi ottenere qualcosa di completamente diverso dal roguelike originale nel piano iperbolico.Si può sperimentare con geometria sferica, varie varietà senza confini, geometrie 3D compresi quelli non isotropici; roguelites, corse, puzzle, e così via.,
• Spaceflux-i video esistenti mostrano “geometria frattale”, ma i piani nella pagina kickstarter menzionano la geometria iperbolica e persino la geometria non isotropica (Solv).

Esempi di partite notevoli giocate su collettori

• Asteroids (1979) — quando si passa attraverso il bordo est del mondo, si appare sul bordo ovest; allo stesso modo per nord o ovest. Questo è un collettore piatto bidimensionale senza confine (chiamato toro piatto).
• Pac-Man (1980) — Asteroidi simili., Nella maggior parte delle versioni è possibile passare solo attraverso il bordo E-W ma non attraverso il bordo N-S, rendendolo un cilindro (un collettore con confine).
• Civilization (1991)-come menzionato sopra, la superficie di una sfera non è euclidea. Questo è il motivo per cui è impossibile fare una mappa piatta della Terra che non distorce nulla. Sfortunatamente, la maggior parte dei giochi che si svolgono su un pianeta sferico non tiene conto di questa geometria non euclidea; prendono una mappa piatta e fingono che questa mappa non abbia distorsioni., La civiltà si gioca su un cilindro (non si può passare attraverso un polo, mentre nel mondo reale, il volo più breve dall’Europa alle Hawaii passerebbe attraverso il polo Nord). Alcuni altri giochi sono giocati su tori piatta, che è in un certo senso ancora più diverso da una sfera.
• Portal (2007) – una volta posizionati alcuni portali, il mondo diventa un collettore con boundary.
• Manifold Garden (2019) – usa correttamente il termine “manifold”. Non l’ho ancora suonato, sembra essere per lo più un toro piatto tridimensionale (cioè,, un collettore piatto tridimensionale senza confine), ma ha anche alcuni portali.
• Frammenti di Euclide, Paradox Vector-questi giochi sono su varietà euclidee escheresque. Escheresque come nella Relatività di Escher o in un altro mondo: le direzioni non sono coerenti. Frammenti di Euclide è un puzzle game mentre Paradox Vector è un FPS.
• Maquette (che uscirà nel 2020) sembra essere un gioco con portali, in cui un’estremità del portale può essere più grande dell’altra estremità, e di conseguenza gli oggetti possono diventare più grandi o più piccoli dopo aver attraversato il portale., Mirror stage (2009) è un’idea simile in 2D; vedi anche La tomba di Sierpiński. È anche possibile avere portali in cui un’estremità è un quadrato e l’altra estremità è un rettangolo, causando l’allungamento degli oggetti da parte dei portali (vedi anche la mia vecchia demo basata su un’idea simile). Questo non è più un collettore euclideo, ma piuttosto uno affine (potremmo chiamarlo un “collettore simile” se è consentito solo il ridimensionamento, ma quel termine non sembra essere usato)., La geometria affine/simile è diversa dalla geometria euclidea (il 3 ° assioma diventa privo di significato) ma non è ancora chiamata non euclidea, poiché le linee parallele non sono interessate.

Altri giochi notevoli che sono geometricamente strano

• Antichamber — questo gioco è probabilmente responsabile per diffondere l’uso matematicamente errato del termine “non euclideo”. Questo è principalmente un collettore euclideo (con confine), ma mostra anche alcuni effetti che non si verificherebbero in un collettore (ad esempio si finisce in un posto diverso quando si fanno alcuni passi e si torna indietro)., Credo che quasi tutte le cose strane in Antichamber potrebbero essere (e probabilmente sono state) implementate con il trucco di teletrasporto descritto sopra.
• Giochi a quattro dimensioni. Alcune persone potrebbero pensare a questi giochi come non euclidei, perché quattro dimensioni spaziali non si adatterebbero al nostro mondo tridimensionale. Tuttavia, un mondo che funziona proprio come il nostro vecchio spazio euclideo tridimensionale, tranne che ha più dimensioni, è ancora decisamente euclideo (secondo la definizione)., Ovviamente è possibile avere uno spazio non euclideo quadridimensionale, ma al momento della scrittura, sembra che nessun gioco abbia cercato di implementarlo.
• Trucchi di prospettiva, come Fez, Echodrome, Monument Valley, Quest di Naya o Prospettiva. Il superliminale ha alcuni aspetti prospettici e “affini”. Questi giochi sono strani e cool, ma non dovrebbero essere chiamati non euclidea sia. Alcuni li definirei eschereschi.

Video che affermano di essere non euclidei (correttamente o meno)

• Not Knot — un video classico con geometria 3D non euclidea.,
• Realtà virtuale non euclidea-questo non è euclideo in senso matematico.
• il nostro Tempio di Cthulhu in 3D — i “quadrati” sono in realtà curvi. A prima vista sembra che questo mondo sia costituito da una sequenza di palline sempre più piccole. In realtà, queste “palle” sono horospheres (una forma dalla geometria iperbolica che in realtà non ha un analogo euclideo; è interessante notare che, mentre il mondo 3D qui è non euclideo, la geometria sull’horosphere è euclidea), e sono tutte infinite., (altri video simili)
• il nostro SolvRogue —mentre in due dimensioni abbiamo solo geometria sferica, euclidea e iperbolica, ci sono ancora più strane geometrie non euclidee in tre dimensioni. Vai qui per di più.
• Non-Euclidean Worlds engine – questo video inizia con Circle Limit di M. C. Escher, che si basa in effetti sulla geometria non euclidea (iperbolica). Tuttavia, la maggior parte del video presenta una pianura vecchio collettore affine con confine.
• ” No! Euclide!”GPU Ray Tracer ottiene un aggiornamento! – questo è abbastanza interessante, perché questo è davvero uno spazio curvo, non basato sulla chirurgia.,

Grazie a Henry Segerman per aver suggerito miglioramenti, e a tutti gli sviluppatori che cercano di creare queste esperienze geometriche mindbending!