Discussione
introduzione & teoria
Logica dietro il momento di inerzia: perché ne abbiamo bisogno?
Definizione per corpi puntiformi
I = mr2
È una quantità scalare (come il suo cugino traslazionale, massa), ma ha unità dall’aspetto insolito.
Dillo, chilogrammo metro al quadrato e non dirlo in un altro modo per caso.
Per una raccolta di oggetti, basta aggiungere i momenti., Funziona come la massa in questo senso, purché si aggiungano momenti misurati sullo stesso asse.
I = I I = mr mr2
Per un corpo esteso, sostituire la somma con un integrale e la massa con una massa infinitesimale. Sommate (integrate) tutti i momenti di inerzia apportati dalle minuscole masse (dm) situate a qualsiasi distanza (r) dall’asse in cui si trovano.,5e0″>
⌡
In pratica, per gli oggetti con densità uniforme (ρ = m/V) puoi fare qualcosa di simile a questo…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 dm = | ⌠ ⌡ |
r2 r dV = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | dV |
| V |
Per gli oggetti con densità non uniforme, sostituire densità con funzione di densità ρ(r).,
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 dm = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) dV |
La quantità infinitesimale dV è un teeny tiny pezzo di tutto il corpo. In pratica, questo può assumere una delle due forme (ma non è limitato a queste due forme). La scatola infinitesimale è probabilmente la più semplice concettualmente. Immagina di tagliare a cubetti l’oggetto.
I pezzi sono dx wide, dy high e dz deep.,dz
Quando un oggetto è sostanzialmente rettangolare, si ottiene un set up, qualcosa di simile a questo…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) | m | dx dy dz |
| V |
o questo…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) ρ(x, y, z) dx dy dz |
Questo è il modo per trovare il momento di inerzia per i cubi, scatole, piatti, mattonelle, aste e altri rettangolare roba., Si noti che sebbene la rigorosa descrizione matematica richieda un triplo integrale, per molte forme semplici il numero effettivo di integrali elaborati attraverso l’analisi della forza bruta può essere inferiore. A volte, gli integrali sono banali.
L’altro elemento di volume facile con cui lavorare è il tubo infinitesimale. Immagina un porro.
Ogni strato del porro ha una circonferenza 2nr, spessore dr e altezza h.,oggetti, che, fondamentalmente, iniziare con qualcosa di simile a questo…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | 2nrh dr |
| V |
o questo…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) 2nrh dr |
Questo metodo può essere applicato a dischi, tubi, tubi, cilindri, matite, rotoli di carta e forse anche i rami di un albero, i vasi e i porri (se hanno una semplice descrizione matematica).,
Quando le forme diventano più complicate, ma sono ancora un po ‘ semplici geometricamente, suddividile in pezzi che assomigliano a forme già lavorate e sommano questi noti momenti di inerzia per ottenere il totale.
Itotal = I1 + I2 + I3 +<
Per forme rotonde leggermente più complicate, potrebbe essere necessario ripristinare un integrale che non sono sicuro di come scrivere.,drical conchiglie…
| I = | ⌠ ⌡ |
Icylindrical shell(r) dr |
o questo per la pila di dischi e rondelle
| I = | ⌠ ⌡ |
Idisk o rondella(r) dr |
Questi metodi possono essere utilizzati per trovare il momento di inerzia di cose come sfere, sfere cave, sottili gusci sferici e altre forme più esotiche come il coni, secchi, uova e fondamentalmente, tutto ciò che potrebbe roll e che ha un abbastanza semplice descrizione matematica.,
Quando hai finito con tutto questo, spesso finisci con una bella formula che assomiglia a questa formula
I = amr2
dove α è un semplice numero razionale come 1 per un cerchio, ½ per un cilindro o ½ per una sfera.
Cosa succede se un oggetto non viene ruotato attorno all’asse utilizzato per calcolare il momento di inerzia? Applicare il teorema dell’asse parallelo.
I = Icm + mL2
Cosa posso dire del teorema dell’asse perpendicolare oltre che interessante. Si applica solo agli oggetti laminari. Non ho avuto bisogno di usarlo molto.,
Iz = Ix + Iy
Il modo migliore per imparare come farlo è con l’esempio. Molti esempi.,15e0″>