Lassen Sie eine Runde als Folge aufeinanderfolgender Verluste definiert werden, gefolgt von einem Sieg oder einem Bankrott des Spielers. Nach einem Sieg, der Spieler „setzt“ und gilt als eine neue Runde begonnen haben. Eine fortlaufende Folge von Martingale-Wetten kann somit in eine Folge unabhängiger Runden aufgeteilt werden. Es folgt eine Analyse des Erwartungswertes einer Runde.
Lassen Sie q die Wahrscheinlichkeit des Verlierens (zB für amerikanische Doppel-Null-Roulette, es ist 20/38 für eine Wette auf schwarz oder rot). Sei B der Betrag der anfänglichen Wette., Sei n die endliche Anzahl von Wetten, die der Spieler sich leisten kann zu verlieren.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle n Wetten verliert, ist qn. Wenn alle Wetten verlieren, der Totalverlust ist
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B – ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
die Wahrscheinlichkeit, dass Die Spieler nicht verlieren, alle n-Wetten ist 1 − qn. In allen anderen Fällen gewinnt der Spieler den ersten Einsatz (B.,) Somit den zu erwartenden Gewinn pro Runde ist
( 1 − q n ) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 n − 1 ) = B ( 1 − ( 2 f ) n ) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}
Wenn q > 1/2, der Ausdruck 1 − (2q)n < 0 für alle n > 0. Bei allen Spielen, bei denen ein Spieler eher verliert als eine bestimmte Wette gewinnt, wird erwartet, dass dieser Spieler durchschnittlich in jeder Runde Geld verliert. Die Erhöhung der Einsatzgröße für jede Runde pro Martingale-System dient nur dazu, den durchschnittlichen Verlust zu erhöhen.,
Angenommen, ein Spieler hat eine 63 Einheit Spiel Bankroll. Der Spieler kann 1 Einheit auf die erste Drehung setzen. Bei jedem Verlust wird der Einsatz verdoppelt. Wenn man also k als die Anzahl der vorhergehenden aufeinanderfolgenden Verluste annimmt,setzt der Spieler immer 2k-Einheiten.
Mit einem Gewinn auf einem bestimmten Spin, der Spieler netto 1 Einheit über den Gesamtbetrag bis zu diesem Punkt gewettet. Sobald dieser Gewinn erreicht ist, startet der Spieler das System mit einem 1-Einheitseinsatz neu.
Mit Verlusten bei allen ersten sechs Drehungen verliert der Spieler insgesamt 63 Einheiten. Dies erschöpft die Bankroll und die Martingale kann nicht fortgesetzt werden.,
In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, die gesamte Bankroll zu verlieren und die Martingale nicht fortsetzen zu können, gleich der Wahrscheinlichkeit von 6 aufeinanderfolgenden Verlusten: (10/19)6 = 2.1256%. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 1 minus der Wahrscheinlichkeit, 6 Mal zu verlieren: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
In einem einzigartigen Umstand kann diese Strategie sinnvoll sein. Angenommen, der Spieler besitzt genau 63 Einheiten, benötigt aber dringend insgesamt 64., Angenommen, q > 1/2 (es ist ein echtes Casino) und er darf nur Wetten mit geraden Quoten platzieren, ist seine beste Strategie mutiges Spiel: Bei jeder Drehung sollte er den kleinsten Betrag setzen, so dass er, wenn er gewinnt, sein Ziel sofort erreicht und wenn er nicht genug dafür hat, einfach alles wetten sollte. Schließlich geht er entweder pleite oder erreicht sein Ziel. Diese Strategie gibt ihm eine Wahrscheinlichkeit von 97.8744%, das Ziel zu erreichen, eine Einheit zu gewinnen, im Vergleich zu einer 2.1256% igen Chance, alle 63 Einheiten zu verlieren, und das ist die bestmögliche Wahrscheinlichkeit unter diesen Umständen., Bold Play ist jedoch nicht immer die optimale Strategie, um die größtmögliche Chance zu haben, ein Anfangskapital auf einen gewünschten höheren Betrag zu erhöhen. Wenn der Spieler willkürlich kleine Beträge mit beliebig langen Gewinnchancen setzen kann (aber immer noch mit dem gleichen erwarteten Verlust von 10/19 des Einsatzes bei jeder Wette) und bei jeder Drehung nur eine Wette platzieren kann, gibt es Strategien mit einer Wahrscheinlichkeit von über 98%, sein Ziel zu erreichen, und diese verwenden ein sehr schüchternes Spiel, es sei denn, der Spieler ist kurz davor, sein gesamtes Kapital zu verlieren, in diesem Fall wechselt er zu einem extrem mutigen Spiel.