Non-Euclidean geometry and spill

begrepet «non-Euclidean» er ofte brukt av spillere (spillutviklere, journalister, etc.) til å bety noe slag av spillet hvor plass, virker ikke akkurat som i vår verden. Mens slike spill vanligvis har en tendens til å være fantastisk, og veldig moro, dette er ikke hva «non-Euclidean» tradisjonelt betyr for matematikere, for hvem det har en mer presis betydning, som ikke er «noe som ikke er en helt normal plass». Denne artikkelen gir en oppsummering av hva som «non-Euclidean» betyr, og de ulike rare geometrier som brukes i spill.,

oppdagelsen av non-Euclidean geometry er en av de mest berømte, overraskende, og crazy øyeblikk i historien av matematikk. Det er noe som mange store tenkere for mer enn 2000 år antas ikke å eksistere (ikke bare i den virkelige verden, men også i fantasiverdener)., Så mange populære expositions i matematikk diskuterer non-Euclidean geometry har blitt opprettet for at begrepet har rettmessig inn allmennheten samvittighet, noe som er svært fremmede, viktig, gal, og vanskelig å forstå. Generelt, noe ekstremt kult!

Nylig, begrepet «non-Euclidean geometry» har vært benyttet ved noen spillutviklere for alle slags spill space som fungerer på en annen måte enn oss., Dette er uheldig, så spillerne er tiltrukket av slike spill, og tenkte «hei, i det siste jeg vil ha en sjanse til å forstå at rare og viktig ting hva alle disse matematikere var gal!», som er ikke i nærheten av sannheten —selv om disse spillene er vanligvis veldig kule, de er vanligvis basert på relativt enkle konsepter som har ingenting å gjøre med den opprinnelige ting.

Euklids har vist hvordan alt i geometri (Pytagoreisk Teorem, etc.,) kan være avledet fra et lite sett av veldig enkel postulater… men det var én ting han ikke var fornøyd med: hans femte postulat, som faktisk ikke var så enkelt: Hvis et linjesegment skjærer to rette linjer som danner to indre vinklene på samme side som summen er mindre enn to rette vinkler, så de to linjene, hvis forlenget på ubestemt tid, møte på den siden som vinkler summen er mindre enn to rette vinkler.. Euklids mente at hans femte postulatet kan være vist seg fra de andre, og han mislyktes, og så gjorde mange matematikere gjennom tidene., Mysteriet er løst i det 19. århundre.

jeg løst for å publisere et arbeid på paralleller så snart jeg kan sette det i orden, det ferdig, og muligheten byr seg. Jeg har ennå ikke gjort funn, men banen som jeg har fulgt er nesten helt sikkert til å føre meg til målet mitt, forutsatt at dette målet er mulig. Jeg har ennå ikke det, men jeg har funnet ting så fantastisk at jeg ble forbløffet. Det ville være en evig synd hvis disse ting gikk tapt som deg, min kjære far, er bundet til å innrømme når du har sett dem. Alt jeg kan si nå er at jeg har skapt en ny og annerledes verden ut av ingenting., Alle som jeg har sendt dere så langt er som et hus med kort sammenlignet med et tårn. — John Bolyai

Bolyai, Lobachevsky, og Gauss har opprettet en ny verden, der alle Euklids postulater hold, bortsett fra den femte, noe som viser at den femte postulat kunne ikke vist seg fra de andre. Siden Euklids trodd at noe slikt kunne ikke eksisterer, har det blitt kalt av Gauss non-Euclidean geometry.

i Dag, kaller vi dette hyperbolsk geometri, mens (to-dimensjonal) non-Euclidean geometry kan være hyperbolske eller sfærisk., En kule er buet i tredje dimensjon, sier vi at det har konstant positiv krumning. (Overflaten av Jorden, er en god tilnærming, men krumningen er ikke akkurat konstant: det er litt mer flatt på polene.) Euclidean geometry har kurvatur 0, mens hyperbolsk geometri har konstant negativ krumning.,

Du kan lett se om du er i en non-Euclidean verden på følgende måter:

• Se for parallelle linjer. I Euclidean geometry, de er i en konstant avstander i forhold til hverandre., I sfærisk geometri, møtes de, og i hyperbolsk geometri, de stemmer overens.
• Se på vinklene i en trekant. I Euclidean geometry, de er summen opp til 180 grader. I sfærisk geometri, de er summen opp til flere (for eksempel, ta Nordpolen, og to noder på ekvator som knutepunktene). I hyperbolsk geometri, de er summen opp til mindre.
• En enkel måte å fortelle om et spill bruker virkelig non-Euclidean geometry er å se for rektangler., I non-Euclidean geometry det er ingen rektangler, noe som ser litt ut som et rektangel har faktisk sin vinkler mindre enn 90 grader, eller kantene er avrundet. Så, hvis du ser rektangler, spillet er (sannsynligvis) ikke non-Euclidean.
• I Euclidean geometry, en sirkel med radius r har perimeter 2nr. I sfærisk geometri, det er 2nsin(r) (som er avgrenset), og i hyperbolsk geometri, det er 2nsinh(r) (som vokser eksponentielt). I en tre-dimensjonal hyperbolske verden med «absolutt enhet» på 1m, en kule med radius 100 m vil ha større volum enn det observerbare Universet!,
• I virkelig non-Euclidean 3D-spill og simuleringer parallax fungerer annerledes. I Euclidean plass, ting som er langt borte fra deg (stjerner, fjernt fjell) er sett i omtrent samme sted som du vil flytte. Dette endringer i non-Euclidean geometrier: i hyperbolske plass, alt beveger seg, mens andre non-Euclidean geometrier er selv enda rarere.

Spill av vår HyperRogue å utforske en non-Euclidean verden og få litt intuisjoner om hvordan non-Euclidean geometry fungerer. De viktigste spillet er laget for de hyperbolske plan, men du kan også eksperimentere med andre 2D-og 3D-geometrier.,

Mangfoldigheter

Spill som hevder å være » non-Euclidean vanligvis har verdener oppnådd ved å utføre noen form for «kirurgi»: vi kutte noen fragmenter (kammer) av en Euclidean plass, og deretter lime dem sammen i en ikke-standard måte. I 3D-spill, et sted hvor vi utførte operasjonen vanligvis ser ut som en portal, men spillet kan også gjøre kirurgi vises sømløs., Matematisk sett, dette kalles en Euclidean (eller flate) manifold (med grense); Euclidean/flatskjerm fordi det er laget av fragmenter av Euclidean plass, og «med boundary» fordi det er vanligvis noen vegger som du ikke kunne gå gjennom, og noen punkter inne i slike vegger kan ikke engang være modellert konsekvent (vegger av portaler). Det er også mulig å ha manifolder uten grense; vanligvis disse ser ut som periodiske rom.

Slike spill er trolig kalt non-Euclidean fordi deres geometri er umulig å tolke konsekvent som en del av en verden som ligner vår., I en Euclidean verden, når du går 10m, sving 90 grader til høyre, gå 10m, sving 90 grader til høyre, gå 10m, sving 90 grader til høyre, gå 10 meter, og sving 90 grader til høyre, kommer du tilbake til ditt utgangspunkt og retning. I en manifold (og også i non-Euclidean geometry som beskrevet ovenfor), er det mulig å ende opp et annet punkt. (Et godt eksempel på dette er VR prosjektet Te for Gud, der VR verden du utforsker er stort, mens det i den virkelige verden du er bare vandre frem og tilbake rundt et lite rom.,) Det er også mulig å lage en løkke som bringer deg tilbake til ditt utgangspunkt inne i manifolden, men ville være annerledes i Euclidean verden. Dette er imidlertid ikke hva non-Euclidean geometry hjelp til en matematiker. Kirurgi endringer topologi på plass, men det endrer ikke sin geometri.

I en manifold du kan noen ganger finne trekanter med vinkler summen opp til noe annet enn 180 grader, eller parallelle linjer som slutter å være nær når en av dem går gjennom en portal., Imidlertid, i en virkelig non-Euclidean verden, disse fenomenene skje, selv for svært små trekanter, og for hvert par av linjer. Effekter som denne animasjonen kan ikke oppnås ved hjelp av portaler — i non-Euclidean geometry det er mulig å se hele rettvinklede pentagon på en gang, mens med portaler, en av de fem rette vinkler vil alltid være skjult bak en portal.

En enkel (men begrenset) måte å implementere en manifold i et spill er å gjøre usynlig teleportering enheter, som sømløst teleport spilleren til en annen plassering som ser nøyaktig det samme., At teknikken fungerer i utgangspunktet et spill motor (selv i Minecraft). Jeg har sett mange kommentarer under videoer ved hjelp av denne teknikken sa: «dette er ikke non-Euclidean, du er bare ved hjelp av teleporter!»Disse kommentarene har rett i at dette er ikke non-Euclidean i matematisk forstand, men ved hjelp av teleporter har ingenting å gjøre med det. Generelt, finner jeg at følelser merkelig. Det er effekten som teller, ikke hvordan den er implementert. Noen spill er en illusjon, tross alt.

selvfølgelig kan vi også gjøre dette starter med » non-Euclidean plass, få en non-Euclidean manifold., Hyperbolske mangfoldigheter er vanligvis avgrenset, og dermed mister de deres eksponentiell vekst (og, avhengig av spillet design, dette eksponentiell vekst kan være en stor teknisk problem); imidlertid, parallelle linjer og trekanter fortsatt arbeide annerledes.

Når avstanden er ikke Euclidean beregning

jeg har sett noen mennesker hevder at alle spillene som spilles på plassen nett er non-Euclidean., Dette er fordi, i et slikt spill, antall skritt du må ta for å nå punktet (x,y) fra punktet (0,0) er gitt ved formelen |x|+|y| (såkalte taxicab metrisk) eller max(|x|, |y|) (såkalte Chebyshev metrisk), eller noen andre formelen der sett av punkter i d trinnene er en octagon, mens Pytagoreisk teorem sier at avstanden mellom disse to punktene er faktisk kvadratroten av x2+y2 (såkalte Euclidean metrisk). På samme måte kan man si at HyperRogue er ikke hyperbolske, siden det er et nett-basert spill.,

vi faktisk ikke trenger virkelig et rutenett for dette problemet: hvis du vil spille av en ovenfra-og-ned spillet med kontinuerlig plass ved hjelp av tastaturet, kan du vanligvis flytter i åtte forskjellige retninger, slik at avstanden vil fortsatt bli gitt av en av formlene ovenfor. Så dette ville gjøre masse spill non-Euclidean.

Dette ser ut til å være igjen en forvirring som oppstår fra å ha flere ting oppkalt etter Euklids. «Non-Euclidean» betyr at Euklids parallell axiom er ikke fornøyd, ikke at beregningen er annerledes enn den Euclidean beregningen., Grid-basert spill er vanligvis ikke oppfattes av mennesker som noe merkelig, og dette er forventet, som mange viktige egenskaper for disse områder er tilsvarende som for kontinuerlig mellomrom. Parallelle linjer i et kvadratisk rutenett arbeid som i Euclidean geometry, mens Store Veggene i HyperRogue arbeid som rette linjer i hyperbolsk geometri. Et kvadratisk rutenett vokser quadratically, akkurat som Euclidean fly, mens HyperRogue verden vokser eksponentielt. Og så videre., En ganske imponerende fenomenet oppstår når du simulere hvordan virkninger spredt på et kvadratisk rutenett — for eksempel, du er simulere varmeoverføring (i tid 0 ett punkt i rutenettet er veldig varmt, og du lar varmen spre seg til andre punkter), eller random walk (i tid 0 det er mange partikler i ett punkt i rutenettet, og deretter hvert av dem beveger seg tilfeldig). Selv om det kan virke ved første øyekast at bølgene skulle spre seg i kvadratiske eller åttekantet former (på grunn av strukturen rutenett), de er faktisk perfekt sirkulær!, Dette skjer på en tilstrekkelig symmetrisk rutenett på Euclidean fly, men vil være forskjellig i andre nett!

Kunstnere assosiert med non-Euclidean geometry

M. C. Escher har skapt mange flotte kunstverk basert på umulig geometrier, som i sin tur inspirert mange fantastiske spill. Hvis du leser at Escher brukte non-Euclidean geometry, dette er sant, han gjorde bruk non-Euclidean geometry i hans Krets Limit-serien. Men, hvis et spill som minner deg om f.eks., Stigende og Descdending, Foss, Relativitetsteori, Dybde, eller Annen Verden II, vel, disse kunstverk ikke har mye å gjøre med » non-Euclidean geometry. Brukte vilkår for slike områder omfatter umulig plass/geometri eller Escheresque.

en Annen artist ofte forbundet med » non-Euclidean geometry er H. P., Lovecraft: overflater for stor til å tilhøre noen ting rett eller riktig for denne jorden geometri drøm-sted så han var unormal, non-Euclidean, og loathsomely oser av kuler og dimensjoner bortsett fra vår kunne Man ikke være sikker på at havet og bakken ble horisontal, derav den relative posisjonen til alt annet virket phantasmally variabel. en vinkel som var akutt, men oppførte seg som om det var stumpe. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Disse beskrivelsene er svært vag, men de beskriver noen av de følelsene en lekmann har der å utforske en non-Euclidean simulering ganske godt, selv utrolig godt gitt det faktum at Lovecraft hadde ingen tilgang til slike simuleringer: han gjør nevne at det er noe veldig rart om vinkler i R’Lyeh, og du får denne følelsen i en non-Euclidean simulering, mens i spill ved hjelp av «non-Euclidean» i en ikke-matematisk betydning, vinkler ser det meste normal; de minner spilleren mer av Escher er umulig arkitekturer enn R’Lyeh., Denne artikkelen utforsker dette i mer detalj.

Spill og interaktive demonstrasjoner ved bruk av non-Euclidean geometry

• våre HyperRogue — en roguelike spillet finner sted i det hyperbolske plan (dvs., to-dimensjonale hyperbolsk geometri). Dette bruker en hyperbolske plan (uten noen topologiske kirurgi eller grense), så dens verden er større enn Ingen Mann er Sky, MineCraft, eller noe Euclidean.
• Bringris — vår non-Euclidean fallende blokker-spill (som ligner på Tetris), laget med den HyperRogue motor.
• MagicTile — som rubiks Kube, men i non-Euclidean 2D-mangfoldigheter.,
• Hyperbolske Labyrint — en labyrint i en hyperbolsk 2D manifold.
• Hypernom — denne bruker tre-dimensjonale sfærisk geometri.
• Uniform Polychora — mer tre-dimensjonale sfærisk geometri.
• Non-Euclidean VR (H3) — dette er tre-dimensjonal hyperbolsk geometri. Se også H2xR (hyperbolsk i noen dimensjoner og Euclidean i andre dimensjoner) og en ny versjon.
• vår Virtuelle Hekling — en demo i tre-dimensjonale sfærisk geometri.
• Buet Mellomrom — fly gjennom tre-dimensjonale non-Euclidean mangfoldigheter.,
• Hyperbolske Games — enkel-spill i 2D hyperbolske mangfoldigheter.
• HyperSweeper — Minesveiper i hyperbolske plan.
• Sokyokuban — Sokoban-som i det hyperbolske plan, som kan spilles i nettleseren. Holonomy gjør det interessant. (Se også dette for en annen puslespill basert på holonomy.)

Spill i utvikling

Nylig det er flere kule non-Euclidean spillet prosjekter i utvikling!

• Hypermine — dette er en Minecraft-som i tre-dimensjonale hyperbolske plass., Bildene i Galleriet er ganske imponerende, og utviklingen går ganske bra! (oppdatering: dessverre utviklingen går sakte nylig 🙁 )
• HyperBlock — en annen Minecraft-aktig. Dette bruker H2xR geometri, dvs., en hyperbolske plan med » z » for å koordinere arbeidet i Euclidean måte.
• Hyperbolica — en non-Euclidean spill i utvikling. Traileren viser hyperbolsk geometri og litt av sfærisk geometri., I motsetning til HyperRogue, Hypermine og Hyperbolica som er fokusert på spillingen i en uendelig verden, det synes å være mer av en historie-basert spill, med å gå, puslespill, skyting elementer, og mer mainstream grafikk. (Solen i hyperbolske plass, virker ikke som det er vist i traileren — det bør bli synlig lysere når vi beveger oss mot det — men forhåpentligvis vil det bli forandret 🙂
• Non-Euclidean biljard i VR — ideen med å kartlegge en ekte rettvinklede firkantet bord til en hyperbolsk rettvinklede pentagon, eller sfærisk rettvinklede trekanten, er veldig kult!,
• Sist, men ikke minst, HyperRogue er også i utvikling —non-Euclidean motor og unik verden er en stor testområde for ulike eksperimenter med sjangre eller andre rare geometrier, og resultatene av disse eksperimentene er lagt til spillet. Ved å endre alternativene, kan du få noe helt annet enn den opprinnelige roguelike i det hyperbolske plan.Du kan eksperimentere med sfærisk geometri, ulike manifolder uten grense, 3D-geometrier, inkludert ikke-isotropic de; roguelites, racing, oppgaver og så videre.,
• Spaceflux —eksisterende videoer vis «fraktal geometri», men planene i kickstarter siden nevne hyperbolsk geometri og selv ikke-isotropic geometri (Solv).

Eksempler på kjente spillene som spilles på mangfoldigheter

• Asteroider (1979) — når du går gjennom øst kanten av verden, du vises på den vestlige kanten, tilsvarende for nord eller vest. Dette er en to-dimensjonal flatskjerm manifold uten grense (kalt en flatskjerm torus).
• Pac-Man (1980) — som Asteroider., I de fleste versjoner kan du bare gå gjennom E-W kant, men ikke via N-S edge, noe som gjør det til en sylinder (manifold med grense).
• Sivilisasjon (1991) — som nevnt ovenfor, er overflaten av en kule er non-Euclidean. Dette er grunnen til at det er umulig å lage en flatskjerm kart over Jorden som ikke undergraver noe. Dessverre, de fleste spill som foregår på en rund planet ikke ta dette non-Euclidean geometry hensyn, de tar en flatskjerm kart og later som at dette kartet har ingen skjevheter., Sivilisasjonen er spilt på en sylinder (du kan ikke gå gjennom en pol, mens i den virkelige verden, den korteste fly fra Europa til Hawaii ville gå gjennom nordpolen). Noen andre spill spilles på flatt tori, som er i en viss forstand enda mer forskjellige fra en sfære.
• Portal (2007) — når du plasserer noen portaler, blir verden et manifold med grense.
• Manifold Hagen (2019) — den bruker begrepet «mangfoldige» på riktig måte. Jeg har ikke spilt det ennå, ser det ut til å være for det meste en tre-dimensjonal flatskjerm torus (dvs., en tre-dimensjonal flatskjerm manifold uten grense), men det har noen portaler også.
• Fragmenter av Euklids, Paradox Vektor — disse spillene er på Escheresque Euclidean mangfoldigheter. Escheresque som i Escher er Relativitetsteorien eller Annen Verden: retningene er ikke konsekvent. Fragmenter av Euclid er et puslespill spillet mens Paradoks Vector er en FPS.
• Maquette (for å bli utgitt i 2020) ser ut til å være et spill med portaler, der den ene enden av portalen kan være større enn den andre enden, og følgelig objekter kan bli større eller mindre etter å ha gått gjennom portalen., Mirror stage (2009) er en lignende idé i 2D, se også Sierpiński Grav. Det er også mulig å ha portaler hvor den ene enden er en firkant, og den andre enden er et rektangel, som forårsaker objekter å bli strukket av portaler (se også min gamle demo basert på en lignende idé). Dette er ikke lenger en Euclidean manifold, men snarere en affine ett (vi kan kalle det en «lignende manifold» hvis bare skalering er tillatt, men at begrepet ikke ser ut til å bli brukt)., Affine/lik geometri er annerledes enn Euclidean geometry (3. aksiom blir meningsløst), men det er fortsatt ikke kalles non-Euclidean, siden parallelle linjer er ikke berørt.

Andre kjente spill som er geometrisk rare

• Antichamber — dette spillet er sannsynligvis ansvarlig for popularizing matematisk feil bruk av begrepet «non-Euclidean». Dette er hovedsakelig en Euclidean manifold (med grense), men også viser noen virkninger som ikke ville skje i en manifold (f.eks. at du ender opp på et annet sted når du går noen skritt og tilbake)., Jeg tror nesten alle de rare tingene i Antichamber kan være (og har sannsynligvis vært) gjennomført med teleportering lure desribed ovenfor.
• Fire-dimensjonale spill. Noen mennesker kan tenke på disse spillene som » non-Euclidean, fordi fire romlige dimensjoner som ikke passer inn i vår tredimensjonale verden. Imidlertid, en verden som fungerer akkurat som våre gamle tre-dimensjonale Euclidean plass, bortsett fra at den har flere dimensjoner, er fortsatt definitivt Euclidean (i henhold til definisjonen)., Det er selvfølgelig mulig å ha en fire-dimensjonale non-Euclidean plass, men i skrivende stund ser det ut til at ikke spillet prøvde å gjennomføre dette.
• Perspektiv triks, slik som Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya ‘ s Quest, eller et Perspektiv. Superliminal har litt perspektiv og «affine manifold»aspekter. Disse spillene er rare og kule, men bør ikke kalles non-Euclidean heller. Jeg ville ringe noen av dem Escheresque.

Videoer som hevder å være » non-Euclidean (riktig eller ikke)

• Ikke Knot — et klassisk video med non-Euclidean 3D-geometri.,
• Non-euclidean virtual reality — dette er non-Euclidean i matematisk forstand.
• våre Temple of Cthulhu i 3D — den «rutene» er faktisk buet. Ved første øyekast ser det ut til at denne verden består av en rekke mindre og mindre baller. Faktisk, disse «ballene» er horospheres (en form fra hyperbolsk geometri som ikke egentlig har en Euclidean analog, interessant, mens 3D-verden her er non-Euclidean, geometri på horosphere er Euclidean), og det er uendelig., (flere lignende videoer)
• våre SolvRogue —mens i to dimensjoner vi har bare sfærisk, Euclidean, og hyperbolsk geometri, det er til og med enda rarere non-Euclidean geometrier i tre dimensjoner. Gå her for mer informasjon.
• Non-Euclidean Verdener motor — denne videoen starter med Sirkel Grensen av M. C. Escher, som er faktisk basert på non-Euclidean (hyperbolske) geometri. Imidlertid er de fleste av videoen presenterer en vanlig gammel affine manifold med grense.
• «Nei! Euklids!»GPU-Ray-Tracer får en oppgradering! — dette er ganske interessant, fordi dette er faktisk en buet plass, ikke basert på kirurgi.,

Takk til Henry Segerman for å foreslå forbedringer, og alle utviklere som prøver å lage disse mindbending geometriske erfaringer!