De term “niet-Euclidische” wordt vaak gebruikt door gamers (spelontwikkelaars, journalisten, enz.) om elke vorm van spel te betekenen waar de ruimte niet precies werkt zoals in onze wereld. Hoewel dergelijke spellen meestal geweldig en erg leuk zijn, is dit niet wat” niet-Euclidisch “traditioneel betekent voor wiskundigen, voor wie het een preciezere betekenis heeft, wat niet”iets dat niet een volkomen normale ruimte is” is. Dit artikel geeft een samenvatting van wat “niet-Euclidisch” betekent, en de verschillende vreemde geometrieën die in spellen worden gebruikt.,
De ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde is een van de meest gevierde, verrassende en gekke momenten in de geschiedenis van de wiskunde. Het is iets dat veel grote denkers voor meer dan 2000 jaar geloofde niet te bestaan (niet alleen in de echte wereld, maar ook in fantasiewerelden)., Er zijn zoveel populaire exposities van de wiskunde over de niet-Euclidische meetkunde gecreëerd dat de term terecht het algemene geweten van het publiek is binnengedrongen, als iets extreem buitenaards, belangrijk, gek en moeilijk te begrijpen. In het algemeen, iets extreem cool!
onlangs is de term “niet-Euclidische geometrie” door sommige spelontwikkelaars toegeëigend voor elke vorm van spelruimte die op een andere manier werkt dan de onze., Dit is jammer, omdat spelers zich aangetrokken voelen tot dergelijke spellen en denken: “Hey, eindelijk zal ik een kans hebben om dat rare en belangrijke ding te begrijpen waar al deze wiskundigen gek op waren!”, dat is niet in de buurt van de waarheid —terwijl deze games zijn meestal erg cool, ze zijn meestal gebaseerd op relatief eenvoudige concepten die niets te maken hebben met het oorspronkelijke ding.
Euclid heeft laten zien hoe alles in de meetkunde (Stelling van Pythagoras, etc.,) kan worden afgeleid van een kleine set van zeer eenvoudige postulaten… maar er was een ding was hij niet blij over: zijn vijfde postulaat, dat was eigenlijk niet zo eenvoudig: als een lijnsegment snijdt twee rechte lijnen vormen twee inwendige hoeken aan dezelfde kant die som tot minder dan twee rechte hoeken, dan de twee lijnen, indien voor onbepaalde tijd verlengd, ontmoeten aan die kant waarop de hoeken som tot minder dan twee rechte hoeken.. Euclides geloofde dat zijn vijfde postulaat bewezen kon worden van de andere, en hij faalde, net als vele wiskundigen door de eeuwen heen., Mysterie werd in 19 eeuw opgelost.
Ik ben vastbesloten om een werk over parallels te publiceren zodra ik het op orde kan brengen, voltooien, en de gelegenheid zich voordoet. Ik heb de ontdekking nog niet gedaan, maar het pad dat ik heb gevolgd is bijna zeker om me te leiden naar mijn doel, mits dit doel mogelijk is. Ik heb het nog niet, maar ik heb dingen zo prachtig gevonden dat ik verbaasd was. Het zou eeuwig jammer zijn als deze dingen verloren zouden gaan, zoals u, mijn lieve vader, zult toegeven wanneer u ze ziet. Alles wat ik nu kan zeggen is dat ik uit het niets een nieuwe en andere wereld heb gecreëerd., Alles wat ik je tot nu toe heb gestuurd is als een kaartenhuis vergeleken met een toren. – János Bolyai
Bolyai, Lobachevsky en Gauss hebben een nieuwe wereld gecreëerd, waar alle postulaten van Euclides behalve de vijfde bestaan, wat aantoont dat het vijfde postulaat niet van de andere kon worden bewezen. Omdat Euclides geloofde dat zoiets niet kon bestaan, wordt het door Gauss niet-Euclidische meetkunde genoemd.
vandaag noemen we deze hyperbolische meetkunde, terwijl (tweedimensionale) niet-Euclidische meetkunde hyperbolisch of sferisch zou kunnen zijn., Een bol is gekromd in de derde dimensie; we zeggen dat het een constante positieve kromming heeft. (Het oppervlak van de aarde is een goede benadering, hoewel de kromming niet precies constant is: het is iets meer plat op de Polen. De Euclidische meetkunde heeft kromming 0, terwijl de hyperbolische meetkunde een constante negatieve kromming heeft.,
u kunt op de volgende manieren gemakkelijk zien of u zich in een niet-Euclidische wereld bevindt:
- zoek naar parallelle lijnen. In de Euclidische meetkunde bevinden ze zich op een constante afstand van elkaar., In de sferische meetkunde convergeren ze en in de hyperbolische meetkunde verschillen ze.
- Kijk naar de hoeken van een driehoek. In de Euclidische meetkunde zijn ze samen 180 graden. In de sferische meetkunde tellen ze samen tot meer (Neem bijvoorbeeld de Noordpool en twee hoekpunten op de evenaar als de hoekpunten). In de hyperbolische meetkunde komen ze samen tot minder.
- een eenvoudige manier om te bepalen of een spel echt niet-Euclidische geometrie gebruikt, is door rechthoeken te zoeken., In de niet-Euclidische meetkunde zijn er geen rechthoeken, alles wat lijkt op een rechthoek heeft zijn hoeken kleiner dan 90 graden, of zijn randen zijn gebogen. Dus, als je rechthoeken ziet, is het spel (waarschijnlijk) niet niet-Euclidisch.
- in de Euclidische meetkunde heeft een cirkel met straal r omtrek 2nr. In de sferische meetkunde is het 2nsin (r) (die Begrensd is), en in de hyperbolische meetkunde is het 2nsinh (r) (die exponentieel groeit). In een driedimensionale hyperbolische wereld met “absolute eenheid” van 1m zal een bal met een straal van 100m een groter volume hebben dan het waarneembare universum!,
- in echt niet-Euclidische 3D-spellen en simulaties werkt de parallax anders. In de Euclidische ruimte worden dingen die ver van je verwijderd zijn (sterren, verre bergen) gezien op ongeveer dezelfde plaats als je beweegt. Dit verandert in niet-Euclidische meetkunden: in de hyperbolische ruimte beweegt alles, terwijl andere niet-Euclidische meetkunden nog vreemder zijn.
Speel onze HyperRogue om een niet-Euclidische wereld te verkennen en krijg wat intuïties over hoe niet-Euclidische meetkunde werkt. De belangrijkste gameplay is ontworpen voor het hyperbolische vlak, maar je kunt ook experimenteren met andere 2D-en 3D-geometrieën.,
variëteiten
spellen die beweren niet-Euclidisch te zijn, hebben meestal werelden verkregen door een soort “operatie” uit te voeren: we snijden enkele fragmenten (kamers) uit een Euclidische ruimte, en lijmen ze dan aan elkaar op een niet-standaard manier. In 3D-games lijkt de plaats waar we een operatie hebben uitgevoerd meestal op een portaal, maar het spel kan ook de operatie naadloos laten lijken., Wiskundig wordt dit een Euclidische (of vlakke) variëteit (met grens) genoemd; Euclidisch/plat omdat het bestaat uit fragmenten van de Euclidische ruimte, en “met grens” omdat er meestal enkele muren zijn waar je niet doorheen kon, en sommige punten binnen dergelijke muren zelfs niet consistent gemodelleerd konden worden (muren van de portalen). Het is ook mogelijk om variëteiten zonder grens te hebben; deze zien er typisch uit als periodieke ruimten.
dergelijke spellen worden waarschijnlijk niet-Euclidisch genoemd omdat hun geometrie onmogelijk consistent te interpreteren is als een deel van een wereld vergelijkbaar met de onze., In een Euclidische wereld, als je 10m gaat, 90 graden naar rechts draait, 10m gaat, 90 graden naar rechts draait, 10m gaat, 90 graden naar rechts draait, 10m gaat en 90 graden naar rechts draait, keer je terug naar je beginpunt en oriëntatie. In een variëteit (en ook in de niet-Euclidische meetkunde zoals hierboven beschreven) is het mogelijk om in een ander punt te eindigen. (Een goed voorbeeld hiervan is het VR-Project Tea for God, waar de VR-wereld die je aan het verkennen bent enorm is, terwijl je in de echte wereld gewoon heen en weer loopt rond een kleine kamer., Het is ook mogelijk om een lus te maken die je terugbrengt naar je startpunt binnen de variëteit, maar die anders zou zijn in de Euclidische wereld. Dit is echter niet wat niet-Euclidische meetkunde voor een wiskundige betekent. Chirurgie verandert de topologie van de ruimte, maar het verandert niet de geometrie.
in een variëteit kun je soms driehoeken vinden waarvan de hoeken optellen tot iets anders dan 180 graden, of evenwijdige lijnen die niet meer dicht zijn wanneer een van hen door een portaal gaat., Maar in een werkelijk niet-Euclidische wereld gebeuren deze verschijnselen zelfs voor zeer kleine driehoeken en voor elk paar lijnen. Effecten als deze animatie konden niet worden bereikt met behulp van portalen — in niet-Euclidische meetkunde is het mogelijk om het hele rechthoekige Vijfhoek in één keer te zien, terwijl bij portalen een van de vijf rechte hoeken altijd achter een portaal verborgen zal zijn.
een eenvoudige (maar beperkte) manier om een variëteit in een spel te implementeren is door onzichtbare teleportatie apparaten te maken, die de speler naadloos teleporteren naar een andere locatie die er precies hetzelfde uitziet., Die techniek werkt in principe elke game engine (zelfs in Minecraft). Ik heb veel reacties gezien onder video ‘ s die deze techniek gebruiken en zeggen: “Dit is niet niet-Euclidisch, je gebruikt alleen teleports!”Deze opmerkingen zijn juist dat dit niet niet-Euclidisch is in wiskundige zin, maar het gebruik van teleports heeft daar niets mee te maken. In het algemeen vind ik dat gevoel raar. Het is het effect dat telt, niet hoe het wordt uitgevoerd. Elk videospel is tenslotte een illusie.
natuurlijk kunnen we dit ook doen beginnend met de niet-Euclidische ruimte, waarbij we een niet-Euclidische variëteit verkrijgen., Hyperbolische variëteiten zijn meestal Begrensd, waardoor ze hun exponentiële groei verliezen (en, afhankelijk van het spelontwerp, kan deze exponentiële groei een enorm technisch probleem zijn); parallelle lijnen en driehoeken werken echter nog steeds anders.
als de afstand niet de Euclidische metriek is
Ik heb sommige mensen zien beweren dat alle spellen die op vierkante rasters worden gespeeld niet-Euclidisch zijn., Dit komt omdat in zo’ n spel het aantal stappen dat je moet nemen om punt (x,y) te bereiken vanaf het punt (0,0) wordt gegeven door de Formule |x|+|y| (zogenaamde taxicab metriek) of max(|x|, |y|) (zogenaamde Chebyshev metriek), of een andere formule waar de verzameling punten in D stappen een achthoek is, terwijl de stelling van Pythagoras zegt dat de afstand tussen deze twee punten eigenlijk de vierkantswortel is van x2 + y2(zogenaamde Euclidische metriek)). Op dezelfde manier zou men kunnen zeggen dat HyperRogue niet hyperbolisch is, omdat het een raster-gebaseerd spel is.,
in feite hebben we geen raster nodig voor dit probleem: als je een top-down spel speelt met continue ruimte met behulp van het toetsenbord, kun je meestal in acht richtingen bewegen, zodat de afstand nog steeds wordt gegeven door een van de bovenstaande formules. Dus dit zou veel spellen niet-Euclidisch maken.
Dit lijkt weer een verwarring te zijn die ontstaat door het hebben van verschillende dingen die naar Euclides zijn vernoemd. “Niet-Euclidisch” betekent dat aan het parallelle axioma van Euclides niet is voldaan, niet dat de metriek verschilt van de Euclidische metriek., Grid – based games worden normaal gesproken niet gezien door mensen als iets vreemds, en dit wordt verwacht, omdat veel belangrijke eigenschappen van deze ruimtes zijn vergelijkbaar met die van continue ruimtes. Parallelle lijnen in een vierkant raster werken als in de Euclidische meetkunde, terwijl grote muren in HyperRogue werken als rechte lijnen in de hyperbolische meetkunde. Een vierkant raster groeit Quadratisch, net als het Euclidische vlak, terwijl de HyperRogue wereld exponentieel groeit. En zo verder., Een nogal indrukwekkend fenomeen ontstaat wanneer je simuleert hoe effecten zich verspreiden op een vierkant raster – bijvoorbeeld, je simuleert warmteoverdracht (in tijd 0 een punt van het raster is erg heet, en je laat de warmte zich verspreiden naar andere punten), of willekeurig lopen (in tijd 0 zijn er veel deeltjes in een punt van het raster, en dan elk van hen beweegt willekeurig). Hoewel het op het eerste gezicht lijkt dat de golven zich in vierkante of achthoekige vormen moeten verspreiden (vanwege het structuurraster), zijn ze in feite perfect cirkelvormig!, Dit gebeurt op elk voldoende symmetrisch raster op het Euclidische vlak, maar zal anders zijn in andere rasters!
kunstenaars geassocieerd met niet-Euclidische meetkunde
M. C. Escher heeft vele grote kunstwerken gemaakt gebaseerd op onmogelijke geometrieën, wat op zijn beurt vele verbazingwekkende spellen heeft geïnspireerd. Als je leest dat Escher niet-Euclidische meetkunde gebruikte, is dit waar, hij gebruikte wel niet-Euclidische meetkunde in zijn Cirkelgrensreeks. Echter, als een spel je herinnert aan bijv., Ascending and Descendending, waterval, relativiteit, diepte, of een andere wereld II, nou, deze kunstwerken hebben niet veel te maken met niet-Euclidische meetkunde. Veelgebruikte termen voor dergelijke ruimten omvatten onmogelijke ruimte / geometrie of Escheresk.
een andere artiest die gewoonlijk geassocieerd wordt met niet-Euclidische meetkunde is H. P., Lovecraft: oppervlakken te groot om bij enig goed of juist ding te horen voor deze aarde de geometrie van de droomplaats die hij zag was abnormaal, niet-Euclidisch, en verafschuwend van sferen en dimensies buiten de onze men kon er niet zeker van zijn dat de zee en de grond horizontaal waren, vandaar dat de relatieve positie van al het andere fantasmaalvariabel leek. een hoek die scherp was, maar zich gedroeg alsof het stomp was. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Deze beschrijvingen zijn zeer vaag, maar ze beschrijven een aantal van de gevoelens is voor een leek is waar het verkennen van een niet-Euclidische simulatie heel goed, zelfs verbazingwekkend goed, gezien het feit dat Lovecraft had geen toegang tot dergelijke simulaties: hij wordt vermeld dat er is iets heel vreemd aan de hoeken in R’Lyeh, en je krijgt het gevoel in een niet-Euclidische simulatie, terwijl in games met behulp van “niet-Euclidische” in een niet-wiskundige betekenis, de hoeken lijken meestal normaal; ze herinneren de speler meer van Escher is onmogelijk architecturen dan R’Lyeh., Dit artikel verkent dit in meer detail.
spellen en interactieve demo ‘ s die gebruik maken van niet-Euclidische meetkunde
- onze HyperRogue — een roguelike spel dat plaatsvindt in het hyperbolische vlak (d.w.z., tweedimensionale hyperbolische meetkunde). Dit maakt gebruik van een hyperbolisch vlak (zonder enige topologische chirurgie of grens), dus zijn wereld is groter dan No Man ‘ s Sky, MineCraft, of iets Euclidisch.
- Bringris-ons niet-Euclidische vallende blok spel (vergelijkbaar met Tetris), gemaakt met de HyperRogue engine.
- Magictielachtige Rubik ‘ s kubus, maar in niet-Euclidische 2D variëteiten.,
- hyperbolisch doolhof-een doolhof in een hyperbolische 2D variëteit.
- Hypernom – dit maakt gebruik van driedimensionale sferische geometrie.
- uniforme Polychora-meer driedimensionale sferische meetkunde.
- niet-Euclidische VR (H3) — dit is driedimensionale hyperbolische meetkunde. Zie ook H2xR (hyperbolisch in sommige dimensies en Euclidisch in andere dimensies) en een nieuwe versie.
- onze virtuele Haakvideo – een demo in driedimensionale sferische geometrie.
- gebogen ruimten-vliegen door driedimensionale niet-Euclidische variëteiten.,
- hyperbolische spellen-eenvoudige spellen in 2D hyperbolische variëteiten.
- Hyperweeper-Mijnenveger in hyperbolisch vlak.
- Sokyokuban-Sokoban-achtig in het hyperbolische vlak, afspeelbaar in een browser. Holonomie maakt het interessant. (Zie ook dit voor een andere puzzel gebaseerd op holonomie.)
spellen in ontwikkeling
onlangs zijn er verschillende coole niet-Euclidische spelprojecten in ontwikkeling!
- Hypermine-Dit is een Minecraft-achtige in driedimensionale hyperbolische ruimte., De screenshots in de galerij zijn vrij indrukwekkend, en de ontwikkeling vordert vrij goed! (update: helaas gaat de ontwikkeling de laatste tijd traag : ()
- HyperBlock — een andere Minecraft-achtige. Dit maakt gebruik van de h2xr-meetkunde, d.w.z. een hyperbolisch vlak met de ‘Z’ – coördinaat die op Euclidische wijze werkt.
- Hyperbolica-een niet-Euclidisch spel in ontwikkeling. De trailer toont hyperbolische geometrie en een beetje sferische geometrie., In tegenstelling tot HyperRogue, Hypermine en Hyperbolica die zijn gericht op gameplay in een oneindige wereld, lijkt het meer een verhaal gebaseerd spel, met wandelen, puzzel, schieten elementen, en meer mainstream graphics. (De zon in de hyperbolische ruimte werkt niet zoals in de trailer wordt getoond — het zou zichtbaar helderder moeten worden als we er naar toe gaan — maar hopelijk wordt het veranderd:)
- niet-Euclidische biljart in VR — het idee om een echte rechthoekige vierkante tafel in kaart te brengen op een hyperbolische rechthoekige Vijfhoek, of bolvormige rechthoekige driehoek, is erg cool!,
- last but not least, HyperRogue is ook in ontwikkeling-zijn niet-Euclidische engine en unieke wereld is een geweldige testbasis voor verschillende experimenten met spelgenres of andere vreemde geometrieën, en de resultaten van deze experimenten worden toegevoegd aan het spel. Door de opties te veranderen, kun je iets heel anders krijgen dan de originele roguelike in het hyperbolische vlak.U kunt experimenteren met sferische geometrie, verschillende variëteiten zonder grens, 3D-geometrieën inclusief niet-isotrope; roguelites, racen, puzzels, enzovoort.,
- Spaceflux – de bestaande video ‘ s tonen “fractal geometrie”, maar de plannen in de Kickstarter pagina vermelden hyperbolische geometrie en zelfs niet-isotrope geometrie (Solv).
voorbeelden van opmerkelijke spellen gespeeld op variëteiten
- Asteroids (1979) — wanneer je door de oostelijke rand van de wereld gaat, kom je op de westelijke rand; vergelijkbaar voor Noord of west. Dit is een tweedimensionale vlakke variëteit zonder grens (een platte torus genoemd).
- Pac-Man (1980) – like Asteroids., In de meeste versies kun je alleen door de E-W rand maar niet door de N-S rand, waardoor het een cilinder (een variëteit met grens).
- Civilization (1991)-zoals hierboven vermeld, is het oppervlak van een bol niet-Euclidisch. Daarom is het onmogelijk om een vlakke kaart van de aarde te maken die niets vervormt. Helaas houden de meeste spellen die plaatsvinden op een bolvormige planeet geen rekening met deze niet-Euclidische geometrie; ze nemen een platte kaart en doen alsof deze kaart geen vervormingen heeft., Beschaving wordt gespeeld op een cilinder (je kunt niet door een pool, terwijl in de echte wereld, de kortste vlucht van Europa naar Hawaii zou gaan via de Noordpool). Sommige andere spellen worden gespeeld op flat tori, die in zekere zin nog meer verschilt van een bol.
- Portal (2007) – zodra je een aantal portalen plaatst, wordt de wereld een variëteit met grens.
- Manifold Garden — 2019) – het gebruikt de term “manifold” correct. Ik heb het nog niet gespeeld, het lijkt meestal een driedimensionale platte torus (d.w.z.,, een driedimensionale vlakke variëteit zonder grens), maar het heeft ook enkele portalen.
- fragmenten van Euclides, Paradox Vector – deze spellen zijn op Eschereske Euclidische variëteiten. Escheresk zoals in Escher ‘ s relativiteit of een andere wereld: de richtingen zijn niet consistent. Fragmenten van Euclides is een puzzelspel terwijl Paradox Vector is een FPS.
- Maquette (uitgebracht in 2020) lijkt een spel te zijn met portalen, waarbij het ene uiteinde van het portaal groter kan zijn dan het andere, en bijgevolg objecten groter of kleiner kunnen worden nadat ze door het portaal zijn gegaan., Mirror stage (2009)is een soortgelijk idee in 2D; zie ook Sierpiński ‘ s graf. Het is ook mogelijk om portalen te hebben waar het ene uiteinde een vierkant is en het andere uiteinde een rechthoek, waardoor de objecten worden uitgerekt door portalen (zie ook mijn oude demo gebaseerd op een vergelijkbaar idee). Dit is niet langer een Euclidische variëteit, maar eerder een affiene (we zouden het een “soortgelijke variëteit” kunnen noemen als alleen schaling toegestaan is, maar die term lijkt niet te worden gebruikt)., Affiene / soortgelijke meetkunde is anders dan de Euclidische meetkunde (derde axioma wordt betekenisloos), maar wordt nog steeds niet niet-Euclidisch genoemd, omdat parallelle lijnen niet worden beïnvloed.
andere opmerkelijke spellen die geometrisch vreemd zijn
- Antichamber-dit spel is waarschijnlijk verantwoordelijk voor het populariseren van het wiskundig incorrecte gebruik van de term “niet-Euclidisch”. Dit is meestal een Euclidische variëteit (met grens), maar vertoont ook een aantal effecten die niet zouden gebeuren in een variëteit (je eindigt bijvoorbeeld op een andere plaats als je wat stappen en terug gaat)., Ik geloof dat bijna alle vreemde dingen in Antichamber kunnen worden (en waarschijnlijk zijn) geïmplementeerd met de teleportatie Truc beschreven hierboven.
- vierdimensionale spellen. Sommige mensen kunnen deze spellen beschouwen als niet-Euclidisch, omdat vier ruimtelijke dimensies niet zouden passen in onze driedimensionale wereld. Echter, een wereld die net als onze oude driedimensionale Euclidische ruimte werkt, behalve dat het meer dimensies heeft, is nog steeds zeker Euclidisch (volgens definitie)., Het is natuurlijk mogelijk om een vierdimensionale niet-Euclidische ruimte te hebben, maar op het moment van schrijven lijkt het erop dat geen enkel spel geprobeerd heeft dit te implementeren.
- perspectief trucs, zoals Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya ‘ s Quest, of perspectief. Superliminal heeft wat perspectief en”affiene variëteit” aspecten. Deze spellen zijn raar en cool, maar moeten ook niet niet-Euclidisch worden genoemd. Ik zou sommige van hen Escheresk noemen.
video ‘ s die beweren niet-Euclidisch te zijn (correct of niet)
- Not Knot — een klassieke video met niet-Euclidische 3D-geometrie.,
- niet — Euclidische virtuele realiteit-dit is niet-Euclidische in wiskundige zin.
- onze Tempel van Cthulhu in 3D-de “vierkanten” zijn eigenlijk gebogen. Op het eerste gezicht blijkt dat deze wereld bestaat uit een opeenvolging van kleinere en kleinere ballen. In feite zijn deze” ballen ” horosferen (een vorm uit de hyperbolische meetkunde die niet echt een Euclidische analoog heeft; interessant genoeg, terwijl de 3D-wereld hier niet-Euclidisch is, is de meetkunde op de horosfeer Euclidisch), en ze zijn allemaal oneindig., (meer vergelijkbare video ‘ s)
- onze SolvRogue —terwijl we in twee dimensies alleen bolvormige, Euclidische en hyperbolische meetkunde hebben, zijn er nog vreemdere niet-Euclidische meetkunden in drie dimensies. Ga hier voor meer.
- Non-Euclidische Worlds engine-deze video begint met Circle Limit van M. C. Escher, die inderdaad gebaseerd is op niet-Euclidische (hyperbolische) meetkunde. Echter, het grootste deel van de video presenteert een gewone oude affiene variëteit met boundary.
- ” Nee! Euclid!”GPU Ray Tracer krijgt een upgrade! – dit is heel interessant, want dit is inderdaad een gebogen ruimte, niet gebaseerd op chirurgie.,
Met dank aan Henry Segerman voor het voorstellen van verbeteringen, en aan alle ontwikkelaars die proberen deze mindbending geometrische ervaringen te creëren!