discussie
inleiding & theorie
logica achter het traagheidsmoment: Waarom hebben we dit nodig?
definitie voor puntlichamen
I = mr2
Het is een scalaire grootheid (net als zijn translationele neef, massa), maar heeft ongebruikelijke eenheden.
zeg het, kilogram vierkante meter en zeg het niet op een andere manier per ongeluk.
voeg voor een verzameling objecten gewoon de momenten toe., Het werkt als massa in dit opzicht, zolang je momenten toevoegt die gemeten worden over dezelfde as.
I = ∑i = Mr mr2
voor een uitgebreid lichaam, vervang de sommatie door een integraal en de massa door een infinitesimale massa. Je optelt (integreert) alle traagheidsmomenten die worden bijgedragen door de piepkleine massa ‘ s (dm) die zich bevinden op welke afstand (r) van de as ze toevallig liggen.,5e0″>
⌡
In de praktijk, voor objecten met een uniforme dichtheid (ρ = m/V) doe je iets als dit…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 dm = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ dV = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | dV |
| V |
Voor objecten met niet uniforme dichtheid, vervang dichtheid met een dichtheidsfunctie, ρ(r).,
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 dm = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) dV |
De infinitesimale hoeveelheid dV is een klein beetje een stuk van het hele lichaam. In de praktijk kan dit een van de twee vormen aannemen (maar het is niet beperkt tot deze twee vormen). De infinitesimale doos is waarschijnlijk de makkelijkste conceptueel. Stel je voor dat je het object in blokjes snijdt.
de stukken zijn DX breed, dy hoog en DZ diep.,dz
Wanneer een object is in wezen rechthoekig, krijg je een set-up iets als dit…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) | m | dx dy dz |
| V |
of dit…
| I = | ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ |
(x2 + y2 + z2) ρ(x, y, z) dx dy dz |
Dit is de manier om het traagheidsmoment voor kubussen, dozen, platen, tegels, staven en andere rechthoekige spullen., Merk op dat, hoewel de strikte wiskundige beschrijving een drievoudige integraal vereist, voor veel eenvoudige vormen het daadwerkelijke aantal integralen die door brute krachtanalyse worden uitgewerkt minder kan zijn. Soms zijn de integralen triviaal.
het andere eenvoudige volume element om mee te werken is de infinitesimale tube. Stel je een prei voor.
elke preilaag heeft een omtrek van 2nr, dikte dr en hoogte h.,objecten ben je in principe beginnen met iets als dit…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 | m | 2nrh dr |
| V |
of dit…
| I = | ⌠ ⌡ |
r2 ρ(r) 2nrh dr |
Deze methode kan worden toegepast op schijven, leidingen, buizen, cilinders, potloden, papier op rollen en misschien zelfs de takken van een boom, vazen, en de werkelijke prei (als ze een eenvoudige wiskundige beschrijving).,
wanneer vormen ingewikkelder worden, maar nog steeds enigszins eenvoudig geometrisch zijn, splits ze in stukken die lijken op vormen die al zijn bewerkt en tel deze bekende traagheidsmomenten op om het totaal te krijgen.
Itotal = I1 + I2 + I3 + …
voor iets meer gecompliceerde ronde vormen moet u wellicht terugkeren naar een integraal waarvan ik niet zeker weet hoe u dit moet schrijven.,drical schelpen…
| I = | ⌠ ⌡ |
Icylindrical shell(r) dr |
of dit voor gestapelde schijven en ringen
| I = | ⌠ ⌡ |
Idisk of ring(r) dr |
Deze methoden kunnen worden gebruikt voor het vinden van het traagheidsmoment van de dingen zoals bollen, holle bollen, dun bolvormig schelpen en andere meer exotische vormen als kegels, emmers en eieren — in principe, iets dat zou kunnen rollen en dat heeft een vrij eenvoudige wiskundige beschrijving.,
als je klaar bent met dit alles, krijg je vaak een mooie formule die er ongeveer zo uitziet…
I = amr2
waar α een eenvoudig rationeel getal is zoals 1 voor een ring, ½ voor een cilinder, of ⅖ voor een bol.
Wat als een object niet wordt gedraaid om de as die wordt gebruikt om het traagheidsmoment te berekenen? Pas de stelling van de parallelle as toe.
I = Icm + mL2
wat kan ik anders zeggen over de stelling van de loodrechte as dan dat het interessant is. Het geldt alleen voor laminaire objecten. Ik heb het niet veel nodig gehad.,
Iz = Ix + Iy
de beste manier om dit te leren is door een voorbeeld. Veel voorbeelden.,15e0″>