niech jedna runda zostanie zdefiniowana jako sekwencja kolejnych strat, po których następuje wygrana lub bankructwo gracza. Po wygranej gracz „resetuje się” i uważa się, że rozpoczął nową rundę. Ciągłą sekwencję zakładów martingale można podzielić na ciąg niezależnych rund. Poniżej znajduje się analiza wartości oczekiwanej jednej rundy.
niech Q będzie prawdopodobieństwem przegranej (np. dla American double-zero roulette, jest to 20/38 dla zakładu na czarne lub czerwone). Niech B będzie kwotą początkowego zakładu., Niech n będzie skończoną liczbą zakładów, na które hazardzista może sobie pozwolić.
prawdopodobieństwo, że gracz przegra wszystkie n zakładów wynosi qn. Gdy wszystkie zakłady przegrają, całkowita strata wynosi
∑ i = 1 n B ⋅ 2 i − 1 = B ( 2 N − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}
prawdopodobieństwo, że gracz nie przegra wszystkich n zakładów wynosi 1 − qn. We wszystkich pozostałych przypadkach gracz wygrywa Zakład początkowy (B.,) Zatem oczekiwany zysk na rundę wynosi
( 1 − q n) ⋅ B − q n ⋅ B ( 2 N − 1) = B ( 1 − ( 2 q) n) {\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2Q)^{N})}
ilekroć q > 1/2, wyrażenie 1 − (2Q) n < 0 dla wszystkich n > 0. Tak więc, dla wszystkich gier, w których hazardzista jest bardziej narażony na przegraną niż na wygranie danego zakładu, oczekuje się, że średnio przegra pieniądze w każdej rundzie. Zwiększenie wielkości zakładu dla każdej rundy w systemie martingale służy jedynie zwiększeniu średniej straty.,
Załóżmy, że gracz ma bankroll 63 jednostek hazardu. Gracz może postawić 1 jednostkę w pierwszym zakręceniu. Przy każdej przegranej zakład jest podwojony. Tak więc, biorąc k jako liczbę poprzedzających kolejnych strat, gracz zawsze postawi 2K jednostek.
przy wygranej w danym zakręceniu gracz pobierze 1 jednostkę ponad całkowitą kwotę postawioną do tego momentu. Gdy ta wygrana zostanie osiągnięta, gracz ponownie uruchomi system z zakładem 1 jednostka.
ze stratami we wszystkich pierwszych sześciu obrotach, gracz traci łącznie 63 jednostki. To wyczerpuje bankroll i martingale nie może być kontynuowane.,
w tym przykładzie prawdopodobieństwo utraty całego kapitału i niemożności kontynuowania martingale jest równe prawdopodobieństwu 6 kolejnych strat: (10/19)6 = 2,1256%. Prawdopodobieństwo wygranej jest równe 1 minus prawdopodobieństwo przegranej 6 razy: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
W wyjątkowych okolicznościach ta strategia może mieć sens. Załóżmy, że gracz posiada dokładnie 63 jednostki, ale desperacko potrzebuje łącznie 64., Zakładając, że q > 1/2 (jest to prawdziwe kasyno) i może obstawiać tylko po równych kursach, jego najlepszą strategią jest pogrubienie gry: przy każdym zakręceniu powinien postawić najmniejszą kwotę, tak że jeśli wygra, natychmiast osiągnie swój cel, a jeśli nie ma wystarczająco dużo, powinien po prostu postawić wszystko. W końcu albo zbankrutuje, albo dociera do celu. Ta strategia daje mu prawdopodobieństwo 97,8744% osiągnięcia celu polegającego na wygraniu jednej jednostki w porównaniu z 2,1256% szansą na utratę wszystkich 63 jednostek, co jest najlepszym możliwym prawdopodobieństwem w tej sytuacji., Jednak pogrubienie nie zawsze jest optymalną strategią, aby mieć jak największą szansę na zwiększenie kapitału początkowego do pożądanej wyższej kwoty. Jeśli gracz może postawić dowolnie małe kwoty po arbitralnie długich kursach (ale nadal z taką samą oczekiwaną stratą 10/19 stawki w każdym zakładzie) i może postawić tylko jeden zakład w każdym spinie, to istnieją strategie z ponad 98% szansą na osiągnięcie celu, a te używają bardzo nieśmiałej gry, chyba że gracz jest bliski utraty całego swojego kapitału, w którym to przypadku przełączy się na niezwykle odważną grę.