Matematyka dla sztuk wyzwolonych

efekty uczenia się

  • zapoznaj się z historią pozycyjnych systemów liczbowych
  • Zidentyfikuj bazy, które były używane w systemach liczbowych historycznie
  • Konwertuj liczby między bazami
  • użyj dwóch różnych metod konwersji liczb między bazami

Tło

jak można sobie wyobrazić, rozwój systemu bazowego jest ważnym krokiem w uczynieniu procesu liczenia bardziej wydajnym., Nasz własny system base-ten powstał prawdopodobnie z faktu, że mamy 10 palców (w tym kciuki) na dwóch dłoniach. Jest to naturalny rozwój. Jednak inne cywilizacje miały wiele baz innych niż dziesięć. Na przykład tubylcy z Queensland używali systemu base-two, licząc w następujący sposób: „one, two, two and one, two two' s, much.”Niektóre współczesne plemiona Ameryki Południowej mają system pięciu baz, licząc w ten sposób:” jeden, dwa, trzy, cztery, ręka, ręka i jeden, ręka i dwa ” i tak dalej. Babilończycy używali systemu bazodanowego (sexigesimal)., W tym rozdziale podsumowujemy konkretny przykład cywilizacji, która faktycznie używała systemu bazowego innego niż 10.

cywilizacja Majów jest na ogół datowana od 1500 PNE do 1700 n. e. Półwysep Jukatan (patrz rysunek 16) w Meksyku był sceną rozwoju jednej z najbardziej zaawansowanych cywilizacji starożytnego świata. Majowie mieli wyrafinowany system rytualny, który był nadzorowany przez klasę kapłańską. Ta klasa kapłanów rozwinęła filozofię z czasem jako boską i wieczną., Kalendarz i związane z nim obliczenia były więc bardzo ważne dla rytualnego życia klasy kapłańskiej, a co za tym idzie ludu Majów. W rzeczywistości wiele z tego, co wiemy o tej kulturze, pochodzi z ich zapisów kalendarzowych i danych astronomicznych. Innym ważnym źródłem informacji na temat Majów są pisma Ojca Diego de Landa, który udał się do Meksyku jako misjonarz w 1549 roku.

były dwa systemy liczbowe opracowane przez Majów—jeden dla zwykłych ludzi i jeden dla kapłanów., Nie tylko te dwa systemy używały różnych symboli, ale także różnych systemów bazowych. Dla kapłanów system liczbowy był regulowany przez rytuał. Dni w roku uważano za bogów, więc formalnymi symbolami dni były dekorowane głowy, podobnie jak próbka po lewej stronie, ponieważ podstawowy kalendarz opierał się na 360 dniach, system liczb kapłańskich używał mieszanego systemu bazowego, wykorzystującego wielokrotności 20 i 360. Powoduje to mylący system, którego szczegóły pominiemy.,/td>

206 64,000,000 Alau 205 3,200,000 Kinchil 204 160,000 Cabal 203 8,000 Pic 202 400 Bak 201 20 Kal 200 1 Hun

The Mayan Number System

Instead, we will focus on the numeration system of the „common” people, which used a more consistent base system., Jak pisaliśmy wcześniej, Majowie używali systemu base-20, zwanego systemem „vigesimal”. Podobnie jak nasz system, jest pozycyjny, co oznacza, że pozycja symbolu numerycznego wskazuje jego wartość miejsca. W poniższej tabeli możesz zobaczyć wartość place w formacie pionowym.

aby zapisać liczby, w tym systemie potrzebne były tylko trzy symbole. Pozioma belka reprezentuje ilość 5, kropka reprezentuje ilość 1, A specjalny symbol (uważany za powłokę) reprezentuje zero., System Majów mógł być pierwszym, który użył zera jako elementu zastępczego / liczby. Pierwsze 20 liczb pokazano w tabeli po prawej stronie.

W przeciwieństwie do naszego systemu, gdzie one miejsce zaczyna się po prawej stronie, a następnie przesuwa się w lewo, Systemy Majów umieszcza te na dole orientacji pionowej i przesuwa się w górę wraz ze wzrostem wartości miejsca.

gdy liczby są zapisywane w formie pionowej, nigdy nie powinno być więcej niż cztery kropki w jednym miejscu. Podczas pisania liczb Majów, każda grupa pięciu kropek staje się jednym słupkiem., Ponadto, nigdy nie powinno być więcej niż trzy takty w jednym miejscu … cztery takty zostaną zamienione na jedną kropkę w następnym miejscu. To tak samo, jak 10 jest zamieniane na 1 w następnym miejscu w górę, gdy nosimy podczas dodawania.

przykład

Jaka jest wartość tej liczby, która jest wyświetlana w formie pionowej?

Pokaż rozwiązanie

zaczynając od dołu, mamy te miejsca. W tym miejscu są dwie kreski i trzy kropki., Ponieważ każdy pasek jest wart 5, mamy 13, gdy policzymy trzy kropki w jednym miejscu. Patrząc na wartość miejsca nad nim (miejsca dwudzieste), widzimy, że są trzy kropki, więc mamy Trzy dwudzieste.

stąd możemy zapisać tę liczbę w base-ten jako:

(3 × 201) + (13 × 200) = (3 × 201) + (13 × 1) = 60 + 13 = 73

przykład

Jaka jest wartość następującej liczby Majów?,

Pokaż rozwiązanie

liczba ta ma 11 w jedynkach, zero w dwudziestkach, a 18 w dwudziestkach = 400. Stąd wartość tej liczby w base-ten wynosi:

18 × 400 + 0 × 20 + 11 × 1 = 7211.

spróbuj

przekonwertuj liczbę Majów poniżej na bazę 10.,

Pokaż rozwiązanie

przykład

Konwertuj bazę 10 numer 357510 do cyfr Majów.

Pokaż rozwiązanie

Ten problem odbywa się w dwóch etapach. Najpierw musimy przekonwertować na liczbę bazową 20. Zrobimy to za pomocą metody podanej w ostatniej sekcji tekstu. Drugim krokiem jest konwersja tej liczby na Symbole Majów.,

największą potęgą 20, która podzieli się na 3575, jest 202 = 400, więc zaczynamy od podzielenia tego i dalej:

3575 ÷ 400 = 8,9375
0,9375 × 20 = 18,75
0,75 × 20 = 15,0

oznacza to, że 357510 = 8,18,1520

drugim krokiem jest przekonwertowanie tego na notację Majów. Liczba ta wskazuje, że mamy 15 na pozycji jedynek. To trzy paski na dole numeru. Mamy też 18 na 20. miejscu, czyli trzy kreski i trzy kropki na drugiej pozycji. W końcu mamy 8 na 400. miejscu, więc to jest jeden pasek i trzy kropki na górze., Otrzymujemy:

zauważ, że w poprzednim przykładzie użyto nowej notacji, gdy pisaliśmy 8,18,1520. Przecinki między trzema liczbami 8, 18 i 15 oddzielają teraz wartości miejsc dla nas, abyśmy mogli je od siebie oddzielić. Użycie przecinków jest nieco inne niż w systemie dziesiętnym. Gdy zapisujemy liczbę w bazie 10, taką jak 7,567,323, przecinki są używane głównie jako pomoc do łatwego odczytu liczby, ale nie oddzielają wartości pojedynczych miejsc od siebie., Będziemy potrzebować tej notacji, gdy baza, której używamy, jest większa niż 10.

zapisywanie liczb z podstawami większymi niż 10

gdy podstawa liczby jest większa niż 10, oddziel każdą „cyfrę” przecinkiem, aby separacja cyfr była jasna.

na przykład w bazie 20 zapisujemy liczbę odpowiadającą 17 × 202 + 6 × 201 + 13 × 200, napiszemy 17,6,1320.

w poniższym filmie przedstawiamy więcej przykładów jak zapisywać liczby za pomocą cyfr Majów, a także Jak konwertować cyfry zapisane w języku Majów na formę bazy 10.,

następny film pokazuje więcej przykładów konwersji liczb bazowych 10 na liczby Majów.

Dodawanie liczb Majów

dodając liczby Majów razem, przyjmiemy schemat, który prawdopodobnie Majowie nie używali, ale który ułatwi nam życie.

przykład

Dodaj w Majów liczby 37 i 29:

Pokaż rozwiązanie

najpierw narysuj pole wokół każde z pionowych miejsc. Pomoże to uniknąć pomieszania wartości miejsca.,

następnie umieść wszystkie symbole z obu liczb w jednym zestawie miejsc (pudełek), a po prawej stronie tej nowej liczby narysuj zestaw pustych pudełek, w których umieścisz ostateczną sumę:

jesteś teraz gotowy do rozpoczęcia przenoszenia. Zacznij od miejsca, które ma najniższą wartość, podobnie jak w przypadku liczb arabskich. Zacznij od dołu, gdzie każda kropka jest warta 1. Istnieje sześć kropek, ale maksymalnie cztery są dozwolone w jednym miejscu; gdy dojdziesz do pięciu kropek, musisz przekształcić się w pasek., Ponieważ pięć kropek tworzy jeden pasek, rysujemy pasek przez pięć kropek, pozostawiając nam jedną kropkę, która jest poniżej limitu czterech kropek. Umieść tę kropkę w dolnym miejscu pustego zestawu pól, które właśnie narysowałeś:

teraz spójrz na paski w dolnym miejscu. Jest ich pięć, a maksymalna liczba miejsc to trzy. Cztery takty są równe jednej kropce w następnym najwyższym miejscu.

za każdym razem, gdy mamy cztery takty w jednym miejscu, automatycznie przekonwertujemy je na kropkę w następnym miejscu., Rysujemy okrąg wokół czterech słupków i strzałkę do sekcji punktów na wyższym miejscu. Na końcu tej strzałki narysuj nową kropkę. Ta kropka reprezentuje 20 tak samo jak pozostałe kropki w tym miejscu. Nie licząc zakreślonych prętów w dolnym miejscu, został jeden pasek. Jeden takt jest poniżej limitu trzech taktów; umieść go pod kropką w zestawie pustych miejsc po prawej stronie.

teraz są tylko trzy kropki w następnym najwyższym miejscu, więc narysuj je w odpowiednim pustym polu.,

widzimy tutaj, że mamy 30 (60) i 6, W sumie 66. Sprawdzamy i zauważamy, że 37 + 29 = 66, więc zrobiliśmy ten dodatek poprawnie. Czy łatwiej jest to zrobić w bazie 10? Prawdopodobnie, ale to tylko dlatego, że jest Ci bardziej znane. Twoim zadaniem jest tutaj, aby spróbować nauczyć się nowego systemu bazowego i jak dodawanie można zrobić w nieco inny sposób niż to, co widziałeś w przeszłości. Zauważ jednak, że pojęcie noszenia jest nadal używane, podobnie jak w naszym własnym algorytmie dodawania.,

wypróbuj to

spróbuj dodać 174 i 78 w Majów, najpierw konwertując liczby Majów, a następnie pracując całkowicie w tym systemie. Nie dodawaj w base-ten (dziesiętny) do samego końca, gdy sprawdzasz swoją pracę.

Pokaż rozwiązanie

pokazano przykładowe rozwiązanie.

w ostatnim filmie pokazujemy więcej przykładów dodawania cyfr Majów.,

w tym module krótko naszkicowaliśmy rozwój liczb i naszego systemu liczenia, z naciskiem na Część „krótką”. Istnieje wiele źródeł informacji i badań, które wypełniają wiele tomów książek na ten temat. Niestety, nie możemy zbliżyć się do pokrycia wszystkich informacji, które tam są.

tylko zarysowaliśmy powierzchnię bogactwa badań i informacji, które istnieją na temat rozwoju liczb i liczenia w całej historii ludzkości., Co ważne, system, z którego korzystamy na co dzień, jest produktem tysięcy lat postępu i rozwoju. Reprezentuje wkład wielu cywilizacji i kultur. To nie zstąpi do nas z nieba, to dar od bogów. Nie jest to stworzenie wydawcy podręczników. Jest rzeczywiście tak samo ludzki jak my, podobnie jak reszta matematyki. Za każdym symbolem, formułą i regułą kryje się ludzkie oblicze, które można znaleźć, a przynajmniej szukać.

ponadto, mamy nadzieję, że teraz masz podstawowe uznanie dla tego, jak interesujące i różnorodne systemy liczbowe mogą uzyskać., Ponadto, jesteśmy prawie pewni, że zacząłeś również dostrzegać, że traktujemy nasz własny system liczbowy za pewnik tak bardzo, że kiedy próbujemy dostosować się do innych systemów lub baz, naprawdę musimy się skoncentrować i myśleć o tym, co się dzieje.

Share

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *