Derywacjeedit
Interpolacja Kwadratowaedit
P ( x ) = f ( A ) ( X − m ) ( x − B ) ( a − m ) ( A − B ) + f ( M ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − B) + f ( B) (x − A ) ( x − M ) ( b − M ) ( b − m). {\displaystyle P (x) = f (a) {\tfrac {(x-m) (x-b)} {(a-m) (A-b)}}+F(M) {\tfrac {(x-a) (x-b)} {(m-A) (M-b)}}+F(B) {\tfrac {(x-A) (x-M)} {(b-a) (b-m)}}.}
używając integracji przez podstawienie można pokazać, że
∫ a b P ( x ) d x = b − a 6 . {\displaystyle \ int _ {a}^{b}P (x)\, dx={\tfrac {b-a} {6}} \ left.,}
wprowadzenie rozmiaru kroku h = (b-A)/2 {\displaystyle h=(b-a)/2} jest również powszechnie zapisywane jako
∫ A b P ( x) d x = h 3 . {\displaystyle \ int _{a}^{b}P (x)\, dx={\tfrac {h} {3}}\left.}
uśrednianie punktu środkowego i reguły trapezowejedytuj
Inna pochodna konstruuje regułę Simpsona z dwóch prostszych przybliżeń: reguły punktu środkowego
M = ( b − a ) f ( A + b 2 ) {\displaystyle M=(b-A)F\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
i reguły trapezowej
T = 1 2 ( b − A ) ( f ( A ) + F B ) ) . {\displaystyle T = {\tfrac {1} {2}} (b-a) (f(A)+f (b)).,}
błędy w tych przybliżeniach to
1 24 ( b − a ) 3 f „( A ) + O ( ( b − a ) 4 ) i − 1 12 ( b − a ) 3 f „( A ) + O (B − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}} (b-a)^{3}f”(A)+O ((B-a)^{4})\quad {\text{I}}\quad -{\tfrac {1}{12}} (b-a)^{3}F”(A)+O ((B-A)^{4}),} 2 M + T 3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T} {3}}.
ta średnia ważona jest dokładnie zasadą Simpsona.
używając innego przybliżenia (na przykład reguły trapezowej z dwukrotnie większą liczbą punktów), można przyjąć odpowiednią średnią ważoną i wyeliminować inny termin błędu. To metoda Romberga.,
współczynniki nieokreślone
trzecia pochodna zaczyna się od ansatz
1 b − A ∫ A B f ( x ) D x ≈ α F ( A ) + β f ( A + B 2 ) + γ F ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1} {b-a}} \ int _ {a}^{B} f(x)\,DX\approx \alpha F (A)+ \ beta f \ left ({\tfrac{a+b} {2}}\right)+ \ gamma F (B).}
współczynniki α, β i γ można ustalić, wymagając, aby to przybliżenie było dokładne dla wszystkich wielomianów kwadratowych. To daje zasadę Simpsona.,
ErrorEdit
błąd przybliżenia całki przez regułę Simpsona dla n = 2 {\displaystyle n=2} wynosi
− 1 90 ( b − a 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
Gdzie ξ {\displaystyle \Xi } (grecka litera XI) jest pewną liczbą między A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} .,
ponieważ termin błędu jest proporcjonalny do czwartej pochodnej f {\displaystyle f} w ξ {\displaystyle \ xi}, to pokazuje, że zasada Simpsona dostarcza dokładnych wyników dla dowolnego wielomianu f {\displaystyle f} stopnia trzeciego lub mniej, ponieważ Czwarta pochodna takiego wielomianu jest zerowa we wszystkich punktach.
jeśli druga pochodna f” {\displaystyle f”} istnieje i jest wypukła w przedziale (A, b ) {\displaystyle (A,\ B)} :
( b − A ) f ( A + b 2 ) + 1 3 ( b − a 2 ) 3 F ” ( A + b 2 ) ≤ ∫ A B F ( x ) d x ≤ b − a 6 ., {\displaystyle (b-A)f\left ({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left ({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f”\left ({\tfrac {a+b}{2}}\right) \leq\int _{a}^{b}f(x)\, dx\leq {\tfrac {b-a} {/align = „left” / }
dla złożonych Simpson ruleEdit podstawowe
jeśli interwał całkowania {\właściwości styl wyświetlania wartość } jest w pewnym sensie „mały”, to zasada Simpson w N = 2 {\właściwości styl wyświetlania wartość h=2} podinterwalu zapewni odpowiednie przybliżenie do dokładnej całki. Przez małe rozumiemy, że funkcja integrowana jest relatywnie gładka w przedziale {\displaystyle}., Dla takiej funkcji, gładki kwadratowy interpolant jak ten używany w Simpsona reguły daje dobre wyniki.
jednak często zdarza się, że funkcja, którą próbujemy zintegrować, nie jest płynna w przedziale. Zazwyczaj oznacza to, że albo funkcja jest wysoce oscylacyjna, albo brakuje jej pochodnych w pewnych punktach. W takich przypadkach zasada Simpsona może dać bardzo słabe wyniki. Jednym z powszechnych sposobów radzenia sobie z tym problemem jest rozbicie interwału {\displaystyle} na N> 2 {\displaystyle n>2} małych podinterwałów., Zasada Simpsona jest następnie stosowana do każdego subinterwalu, a wyniki są sumowane, aby uzyskać przybliżenie całki w całym przedziale. Tego rodzaju podejście określa się jako zasadę złożoną Simpsona.,
∫ A b f ( x ) D x ≈ h 3 ∑ j = 1 N / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{N/2}{\bigg} \{} &={\frac {h}{3}} {\Bigg},\End{aligned}}}
błąd popełniony przez regułę Simpsona jest
− H 4 180 ( B − A ) F ( 4 ) ( ξ), {\displaystyle- {\frac {h^{4}}{180}}(b − A) f^{(4)} (\xi),} h 4 180 ( b-A) max ξ ∈ | f ( 4) (ξ)/. {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-A)\max _{\xi \ in } / f^{(4)} (\xi )|.,{\displaystyle {\displaystyle}}
ta formuła dzieli przedział {\displaystyle} na podinterwały o równej długości. W praktyce często korzystne jest stosowanie podrozdziałów o różnych długościach i koncentracja wysiłków na miejscach, w których integrand jest mniej dobrze zachowany. Prowadzi to do adaptacyjnej metody Simpsona.