Lernergebnisse
- Identifizieren Sie rationale Zahlen aus einer Liste von Zahlen
- Identifizieren Sie irrationale Zahlen aus einer Liste von Zahlen
In diesem Kapitel stellen wir sicher, dass Ihre Fähigkeiten fest eingestellt sind. Wir werden uns noch einmal die Arten von Zahlen ansehen, mit denen wir in allen vorherigen Kapiteln gearbeitet haben. Wir arbeiten mit Eigenschaften von Zahlen, die Ihnen helfen, Ihren Zahlensinn zu verbessern., Und wir werden üben, sie auf eine Weise zu verwenden, die wir verwenden, wenn wir Gleichungen lösen und andere Verfahren in der Algebra abschließen.
Wir haben Zahlen bereits als Zählzahlen, ganze Zahlen und ganze Zahlen beschrieben. Erinnern Sie sich, was der Unterschied zwischen diesen Arten von Zahlen ist?,
| Zahlen zählen | 1,2,3,4\Punkte |
| ganze Zahlen | 0,1,2,3,4\Punkte |
| ganze Zahlen | \punkte -3,-2,-1,0,1,2,3,4\Punkte |
Rationale Zahlen
Welche Art von Zahlen würden Sie erhalten, wenn Sie mit allen Ganzzahlen beginnen und dann alle Brüche einschließen würden? Die Zahlen, die Sie hätten, bilden die Menge rationaler Zahlen. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden kann.,
Alle Fraktionen, sowohl positive als auch negative, sind rationale Zahlen. Einige Beispiele sind
\frac{4}{5},-\frac{7}{8},\frac{13}{4},\text{und} – \frac{20}{3}
Jeder Zähler und jeder Nenner ist eine Ganzzahl.
Wir müssen uns alle Zahlen ansehen, die wir bisher verwendet haben, und überprüfen, ob sie rational sind. Die Definition rationaler Zahlen sagt uns, dass alle Brüche rational sind. Wir werden uns nun die Zählzahlen, ganzen Zahlen, ganzen Zahlen und Dezimalzahlen ansehen, um sicherzustellen, dass sie rational sind.
Sind ganze Zahlen rationale Zahlen?, Um zu entscheiden, ob eine Ganzzahl eine rationale Zahl ist, versuchen wir, sie als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen zu schreiben. Eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, es als Bruch mit Nenner eins zu schreiben.
3=\frac{3}{1}-8=\frac{-8}{1}0=\frac{0}{1}
Da jede ganze Zahl kann geschrieben werden als Verhältnis von zwei ganzen zahlen-alle ganzen zahlen rationale zahlen. Denken Sie daran, dass alle Zählzahlen und alle ganzen Zahlen auch ganze Zahlen sind, und so sind auch sie rational.
Was ist mit Dezimalzahlen? Sind Sie rational? Schauen wir uns einige an, um zu sehen, ob wir jeden von ihnen als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen schreiben können., Wir haben bereits gesehen, dass ganze Zahlen rationale Zahlen sind. Die Ganzzahl -8 könnte als Dezimal -8.0 geschrieben werden. Also, klar, einige Dezimalstellen sind rational.
Im Allgemeinen ist jede Dezimalzahl, die nach einer Anzahl von Ziffern wie 7.3 oder -1.2684 endet, eine rationale Zahl. Wir können den Ortswert der letzten Ziffer als Nenner verwenden, wenn wir die Dezimalzahl als Bruch schreiben.
probieren Sie es aus
Integer -2, -1,0,1,2,3
Dezimal -2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0,3.0
Diese Dezimalzahlen stoppen.
Wir haben auch gesehen, dass jeder Bruch eine rationale Zahl ist., Schauen Sie sich die Dezimalform der Brüche an, die wir gerade betrachtet haben.
Verhältnis von ganzen zahlen \frac{4}{5},\frac{7}{8},\frac{13}{4},\frac{20}{3}
Decimal Formen 0.8,-0.875,3.25,-6.666\ldots,-6.\overline{66}
Diese Dezimalstellen entweder stoppen oder wiederholen.
Was sagen Ihnen diese Beispiele? Jede rationale Zahl kann sowohl als Verhältnis von ganzen Zahlen als auch als Dezimalzahl geschrieben werden, die entweder stoppt oder wiederholt. Die folgende Tabelle zeigt die Zahlen, die wir betrachtet haben, ausgedrückt als Verhältnis von ganzen Zahlen und als Dezimalzahl.
Irrationale Zahlen
Gibt es Dezimalstellen, die nicht aufhören oder sich wiederholen? Ja., Die Zahl \pi (der griechische Buchstabe pi, ausgesprochen „Kuchen“), die bei der Beschreibung von Kreisen sehr wichtig ist, hat eine Dezimalform, die nicht aufhört oder sich wiederholt.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht als Verhältnis zweier Ganzzahlen geschrieben werden kann. Seine Dezimalform hört nicht auf und wiederholt sich nicht.
Fassen wir eine Methode zusammen, mit der wir feststellen können, ob eine Zahl rational oder irrational ist.
Wenn die Dezimalform einer Zahl
- stoppt oder wiederholt, ist die Zahl rational.
- hört nicht auf und wiederholt sich nicht, die Zahl ist irrational.,
probieren Sie es aus
Denken wir jetzt an Quadratwurzeln. Quadratwurzeln perfekter Quadrate sind immer ganze Zahlen, also sind sie rational. Aber die Dezimalformen der Quadratwurzeln von Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, hören nie auf und wiederholen sich nie, daher sind diese Quadratwurzeln irrational.