geometria não euclidiana e jogos

o termo “não euclidiano” é frequentemente usado por jogadores (desenvolvedores de jogos, jornalistas, etc.) qualquer tipo de jogo onde o espaço não funciona exatamente como em nosso mundo. Embora tais jogos normalmente tendem a ser incríveis e muito divertidos, isso não é o que “não-euclidiano” tradicionalmente significa para matemáticos, para quem tem um significado mais preciso, que não é “qualquer coisa que não é um espaço perfeitamente normal”. Este artigo fornece um resumo do que” não-euclidiano ” significa, e as várias geometrias estranhas usadas em jogos.,

a descoberta da geometria não-euclidiana é um dos momentos mais célebres, surpreendentes e loucos da história da matemática. É algo que muitos grandes pensadores por mais de 2000 anos acreditavam não existir (não só no mundo real, mas também em mundos de fantasia)., Tantas exposições populares de matemática que discutem geometria não euclidiana foram criadas que o termo entrou legitimamente na consciência pública, como algo extremamente estranho, importante, louco e difícil de entender. Em geral, algo extremamente legal!

recentemente, o termo “geometria não euclidiana” foi apropriado por alguns desenvolvedores de jogos para qualquer tipo de espaço de jogo que funciona de uma forma diferente da nossa., Isso é lamentável, como os jogadores são atraídos por tais jogos, pensando “Ei, finalmente eu vou ter uma chance de entender essa coisa estranha e importante que todos esses matemáticos eram loucos por!”, que está longe da verdade —enquanto estes jogos são geralmente muito legais, eles são geralmente baseados em conceitos relativamente simples que não têm nada a ver com a coisa original.

Euclid tem mostrado como tudo em Geometria (Teorema de Pitágoras, etc.,) pode ser derivada a partir de um pequeno conjunto de muito simples postulados… mas havia uma coisa que ele não estava feliz sobre: o seu quinto postulado, o que não era, na verdade, simples assim: Se um segmento de linha intercepta duas retas formando dois ângulos interiores do mesmo lado que soma menor do que dois ângulos retos, então as duas linhas, se estendida indefinidamente, se reúnem do lado em que os ângulos soma menor do que dois ângulos retos.. Euclides acreditava que seu quinto postulado poderia ser provado a partir dos outros, e ele falhou, assim como muitos matemáticos através dos tempos., O mistério foi resolvido no século XIX.

estou decidido a publicar um trabalho sobre paralelos logo que eu possa colocá-lo em ordem, completá-lo, e a oportunidade surge. Ainda não fiz a descoberta, mas o caminho que segui é quase certo para me levar ao meu objetivo, desde que esse objetivo seja possível. Ainda não a Tenho, mas encontrei coisas tão magníficas que fiquei espantado. Seria uma pena eterna se estas coisas se perdessem, como vós, meu querido Pai, sois obrigados a admitir quando as vedes. Tudo o que posso dizer agora é que criei um mundo novo e diferente do nada., Tudo o que te enviei até agora é como um castelo de cartas comparado com uma torre. – János Bolyai Bolyai, Lobachevsky e Gauss criaram um novo mundo, onde todos os postulados de Euclides mantêm exceto o quinto, mostrando assim que o quinto postulado não poderia ser provado a partir dos outros. Uma vez que Euclides acreditava que tal coisa não poderia existir, ela foi chamada pela geometria não-euclidiana de Gauss.

hoje em dia, chamamos isso de geometria hiperbólica, enquanto a geometria não-euclidiana (bidimensional) pode ser hiperbólica ou esférica., Uma esfera é curvada na terceira dimensão; dizemos que tem uma curvatura positiva constante. (A superfície da Terra é uma boa aproximação, embora a curvatura não seja exatamente constante: é um pouco mais plana nos polos. A geometria euclidiana tem curvatura 0, enquanto a geometria hiperbólica tem curvatura negativa constante.,

pode facilmente dizer se está num mundo não euclidiano das seguintes formas:

• procure linhas paralelas. Na geometria euclidiana, eles estão em distâncias constantes um do outro., Na geometria esférica, convergem, e na geometria hiperbólica, divergem.veja os ângulos de um triângulo. Na geometria euclidiana, eles somam até 180 graus. Em geometria esférica, eles somam até mais (por exemplo, tomar o Polo Norte, e dois vértices no Equador como os vértices). Na geometria hiperbólica, somam-se a menos.
• uma maneira fácil de dizer se um jogo usa realmente geometria não euclidiana é procurar retângulos., Na geometria não euclidiana não há retângulos, qualquer coisa que se pareça um pouco com um retângulo realmente tem seus ângulos menores que 90 graus, ou suas bordas são curvadas. Então, se você ver retângulos, o jogo não é (provavelmente) não-euclidiano.
• na geometria euclidiana, um círculo de raio r tem perímetro 2nr. Na geometria esférica, é 2nsin(r) (que é limitado), e na geometria hiperbólica, é 2nsinh(r) (que cresce exponencialmente). Em um mundo hiperbólico tridimensional com “unidade absoluta” de 1m, uma bola com raio 100m terá maior volume do que o universo observável!,
• In truly non-Euclidean 3D games and simulations the parallax works different. No espaço euclidiano, as coisas que estão longe de você (estrelas, montanhas distantes) são vistas aproximadamente no mesmo lugar que você se move. Isto muda nas geometrias não-euclidianas: no espaço hiperbólico, tudo se move, enquanto outras geometrias não-euclidianas são ainda mais estranhas.

Play our HyperRogue to explore a non-Euclidean world and get some intuitions about how non-Euclidean geometry works. A jogabilidade principal é projetada para o plano hiperbólico, mas você também pode experimentar outras geometrias 2D e 3D.,

Coletores

os Jogos, alegando ser não-Euclidiana, geralmente, têm mundos obtidos através da realização de algum tipo de “cirurgia”: cortamos alguns fragmentos (câmaras) de um espaço Euclidiano e, em seguida, cola-los juntos de alguma forma não-padrão. Em Jogos 3D, o lugar onde realizamos a cirurgia normalmente se parece com um portal, mas o jogo também pode fazer a cirurgia parecer perfeita., Matematicamente, isso é chamado de um Euclidiana (ou televisão) distribuidor (com limite); Euclidiana/televisão, porque ela é feita de fragmentos do espaço Euclidiano, e “com limite”, porque normalmente há algumas paredes que você não poderia passar, e alguns pontos dentro de tais paredes não poderia mesmo ser modelado de forma consistente (paredes dos portais). Também é possível ter variedade sem limite; tipicamente estes parecem espaços periódicos.

tais jogos são provavelmente chamados de não-euclidianos porque sua geometria é impossível de interpretar consistentemente como uma parte de um mundo semelhante ao nosso., Em um Euclidiana mundo, quando você vai 10m, vire 90 graus para a direita, vá 10m, vire 90 graus para a direita, vá 10m, vire 90 graus para a direita, vá 10m, e vire 90 graus para a direita, voltar para o seu ponto de partida e orientação. Em uma variedade (e também em Geometria não euclidiana como descrito acima) é possível acabar em um ponto diferente. (Um grande exemplo disso é o chá do projeto VR para Deus, onde o mundo VR que você está explorando é enorme, enquanto no mundo real você está apenas andando para trás e para a frente em torno de uma pequena sala.,) Também é possível fazer um loop que o traz de volta ao seu ponto de partida dentro da variedade, mas seria diferente no mundo euclidiano. No entanto, isso não é o que geometria não-euclidiana significa para um matemático. A cirurgia muda a topologia do espaço, mas não muda sua geometria.

em uma variedade você pode às vezes encontrar triângulos cujos ângulos se resumem a algo mais do que 180 graus, ou linhas paralelas que deixam de estar perto quando um deles passa por um portal., No entanto, num mundo verdadeiramente não euclidiano, esses fenômenos acontecem mesmo para triângulos muito pequenos, e para cada par de linhas. Efeitos como esta animação não poderiam ser alcançados usando portais — em Geometria não euclidiana é possível ver todo o Pentágono de ângulo direito de uma vez, enquanto com portais, um dos cinco ângulos retos estará sempre escondido atrás de um portal.

uma maneira fácil (mas limitada) de implementar uma variedade em um jogo é fazer dispositivos de teletransporte invisíveis, que teletransportam o jogador para outro local que parece exatamente o mesmo., Essa técnica funciona basicamente em qualquer motor de jogo (mesmo em Minecraft). Eu vi muitos comentários em vídeos usando esta técnica dizendo: “isto não é não-euclidiano, você está apenas usando teletransportes!”Estes comentários estão certos de que isso não é não-euclidiano no sentido matemático, mas o uso de teletransportes não tem nada a ver com isso. Em geral, acho esse sentimento estranho. É o efeito que importa, e não a forma como é implementado. Qualquer jogo de vídeo é uma ilusão, afinal de contas.

é claro que também poderíamos fazer isso começando com espaço não-euclidiano, obtendo uma variedade não-euclidiana., Hiperbólica manifolds são normalmente delimitada, assim eles perdem o seu crescimento exponencial (e, dependendo do design do jogo, esse crescimento exponencial pode ser um enorme problema técnico); no entanto, linhas paralelas e triângulos ainda funcionam de forma diferente.

Quando a distância não é a métrica Euclidiana

eu tenho visto algumas pessoas argumentam que todos os jogos jogados em praça grelhas são não-Euclidiana., Isto porque, em um jogo, o número de passos que você precisa tomar para chegar ao ponto (x,y) do ponto (0,0) é dado pela fórmula |x|+|y| (o chamado táxi métrico) ou max(|x|, |y|) (chamado de Chebyshev métrica), ou alguma outra fórmula, onde o conjunto de pontos d passos é um octógono, enquanto o teorema de Pitágoras diz que a distância entre estes dois pontos é, na verdade, a raiz quadrada de x2+y2 (o chamado métrica Euclidiana). Da mesma forma, pode-se dizer que a Hiper-Rogue não é hiperbólica, uma vez que é um jogo baseado em grade.,

na verdade, não precisamos realmente de uma grelha para este problema: se você jogar um jogo de cima para baixo com espaço contínuo usando o teclado, você normalmente pode mover-se em oito direcções, de modo que a distância ainda será dada por uma das fórmulas acima. Então isso faria muitos jogos não-euclidianos.

isto parece ser novamente uma confusão decorrente de ter várias coisas com o nome de Euclid. “Não-euclidiano” significa que o axioma paralelo de Euclides não é satisfeito, não que a métrica seja diferente da métrica Euclidiana., Jogos baseados em grade não são normalmente percebidos pelas pessoas como algo estranho, e isso é esperado, já que muitas propriedades importantes desses espaços são semelhantes às dos espaços contínuos. Linhas paralelas em uma grade quadrada funcionam como na geometria euclidiana, enquanto grandes paredes em Hiperrogue funcionam como linhas retas em geometria hiperbólica. Uma grade quadrada cresce quadraticamente, assim como o plano euclidiano, enquanto o mundo Hiperrogue cresce exponencialmente. E assim por diante., Uma vez impressionante fenômeno surge quando você está simulando como efeitos de propagação em uma grade quadrada — por exemplo, a simulação de transferência de calor (no tempo 0 um ponto da grade é muito quente, e deixe que o calor se espalhou para outros pontos), ou passeio aleatório (tempo 0, não há muitas partículas em um ponto da grade e, em seguida, cada um deles se move aleatoriamente). Mesmo que possa parecer à primeira vista que as ondas devem se espalhar em formas quadradas ou octogonais (por causa da grade de estrutura), elas são de fato perfeitamente circulares!, Isso acontece em qualquer grade suficientemente simétrica no plano euclidiano, mas será diferente em outras grades!

artistas associados com geometria não euclidiana

M. C. Escher criou muitas grandes obras de arte baseadas em geometrias impossíveis, que por sua vez inspirou muitos jogos incríveis. Se você ler que Escher usou geometria não euclidiana, isso é verdade, ele usou geometria não euclidiana em sua série limite de círculo. No entanto, se um jogo lhe lembra de e.g., Ascendendo e descendo, cascata, relatividade, profundidade, ou outro mundo II, bem, estas obras de arte não têm muito a ver com geometria não euclidiana. Termos comumente usados para tais espaços incluem espaço impossível / geometria ou Escheresque.

outro artista comumente associado com geometria não-euclidiana é H. P., Lovecraft: superfícies grandes demais para pertencer a qualquer coisa, direito ou apropriada para esta terra a geometria do sonho-o lugar que ele viu era anormal, não-Euclidiana, e loathsomely impregnado de esferas e dimensões para além do nosso, não se poderia ter certeza de que o mar e a terra foram horizontal, portanto, a posição relativa de tudo o mais parecia phantasmally variável. um ângulo agudo, mas comportado como se fosse obtuso. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Estas descrições são muito vagas, mas eles descrevem alguns dos sentimentos de um leigo tem onde explorar um não-Euclidiana de simulação muito bem, mesmo incrivelmente bem, dado o fato de que Lovecraft não tinha acesso a tais simulações: ele não menciona que há algo de muito estranho sobre ângulos em r’Lyeh, e este sentimento em um não-Euclidiana de simulação, enquanto em jogos usando “não-Euclidiano” em um não-matemático sentido, os ângulos olhar principalmente normal; eles lembram o leitor de mais de Escher impossível arquiteturas de r’Lyeh., Este artigo explora este assunto com mais detalhes.

jogos e demos interativos usando geometria não euclidiana

• nosso jogo HyperRogue-a roguelike ocorrendo no plano hiperbólico (ou seja, geometria hiperbólica bidimensional). Isto usa um plano hiperbólico (sem qualquer cirurgia topológica ou limite), então seu mundo é maior do que o céu de nenhum homem, MineCraft, ou qualquer coisa Euclidiana.Bringris-o nosso jogo não-euclidiano de queda em bloco (semelhante ao Tetris), feito com o motor HyperRogue.Cubo de Rubik de tipo Magictil, mas em variedades 2D não-euclidianas.,
• labirinto hiperbólico — um labirinto num colector 2D hiperbólico.
• Hipernom-isto usa geometria esférica tridimensional.geometria esférica tridimensional uniforme.
• VR não-euclidiano (H3) — esta é a geometria hiperbólica tridimensional. Veja também H2xR (hiperbólico em algumas dimensões e euclidiano em outras dimensões) e uma nova versão.nossa Crochê Virtual-uma demonstração em geometria esférica tridimensional.espaços curvados-voam através de múltiplos tridimensionais não euclidianos.,jogos Hiperbólicos-jogos simples em distribuições hiperbólicas 2D.HyperSweeper-Minesweeper em plano hiperbólico.
• Sokyokuban-Sokoban-like no plano hiperbólico, jogável em um navegador. A holonomia torna-o interessante. (See also this for another puzzle based on holonomy.)

jogos em desenvolvimento

recentemente existem vários projetos de jogos não-euclidianos legais em desenvolvimento!

• Hipermina-este é um Minecraft-semelhante em espaço hiperbólico tridimensional., As imagens na galeria são bastante impressionantes, e o desenvolvimento está progredindo muito bem! (update: unfortunately the development is going slow recently: ()
• HyperBlock-another Minecraft-like. Isto usa a geometria H2xR, ou seja, um plano hiperbólico com a coordenada ” z ” trabalhando de forma Euclidiana.Hyperbolica-um jogo não euclidiano em desenvolvimento. O reboque mostra geometria hiperbólica e um pouco de geometria esférica., Ao contrário de HyperRogue, Hypermine e Hyperbolica, que são focados na jogabilidade em um mundo infinito, parece ser mais de um jogo baseado em histórias, com caminhadas, quebra-cabeça, elementos de tiro, e gráficos mais mainstream. (O sol no espaço hiperbólico não funciona como é mostrado no trailer — deve tornar-se visivelmente mais brilhante à medida que nos aproximamos dele, mas espero que seja alterado 🙂
• Não-Euclidiana bilhar em VR — a idéia de mapeamento de um direito real-angular mesa quadrada para hiperbólico clique com o botão direito em ângulo do pentágono, ou esférico, clique com o botão direito triângulo rectângulo, é muito legal!,por último, mas não menos importante, HyperRogue também está em desenvolvimento – seu motor não-euclidiano e mundo único é um grande campo de testes para vários experimentos com gêneros de jogos ou outras geometrias estranhas, e os resultados desses experimentos são adicionados ao jogo. Ao mudar as opções, você pode obter algo completamente diferente do roguelike original no plano hiperbólico.Você pode experimentar com geometria esférica, várias variedades sem limites, geometrias 3D incluindo as não isotrópicas; roguelites, corridas, quebra-cabeças, e assim por diante.,
• Spaceflux —os vídeos existentes mostram “geometria fractal”, mas os planos na página kickstarter mencionam geometria hiperbólica e até mesmo geometria não isotrópica (Solv).

exemplos de jogos notáveis jogados em vários asteróides

• (1979) — quando você atravessa a borda leste do mundo, você aparece na borda oeste; da mesma forma para o norte ou oeste. Esta é uma variedade bidimensional plana sem limite (chamada de Toro Plano).asteroides Tipo Pac — Man (1980)., Na maioria das versões você só pode passar pela borda e-W, mas não através da borda N-S, tornando-se um cilindro (uma variedade com limite).civilização (1991) — como mencionado acima, a superfície de uma esfera não é Euclidiana. É por isso que é impossível fazer um mapa plano da Terra que não distorça nada. Infelizmente, a maioria dos jogos que ocorrem em um planeta esférico não leva em conta Esta geometria não euclidiana; eles pegam um mapa plano e fingem que este mapa não tem distorções., A civilização é jogada em um cilindro (você não pode passar por um pólo, enquanto no mundo real, o vôo mais curto da Europa ao Havaí iria através do Pólo Norte). Alguns outros jogos são jogados em flat tori, que é, em algum sentido, ainda mais diferente de uma esfera.Portal (2007) — uma vez que você coloca alguns portais, o mundo se torna uma variedade com limites.
• Manifold Garden (2019) – ele usa o termo “manifold” corretamente. Eu não tenho jogado ainda, parece ser principalmente um Toro Plano tridimensional (i.e.,, uma variedade plana tridimensional sem limite), mas também tem alguns portais.fragmentos de Euclides, Vetor paradoxal-estes jogos estão em variedades euclidianas Escherescas. Escheresque como na relatividade de Escher ou em outro mundo: as direções não são consistentes. Fragments of Euclid é um jogo de quebra-cabeça, enquanto Paradox Vector é um FPS.Maquette (a ser lançado em 2020) parece ser um jogo com portais, onde uma extremidade do portal pode ser maior do que a outra extremidade, e consequentemente os objetos podem se tornar maiores ou menores depois de passar pelo portal., O estágio espelho (2009) é uma ideia semelhante em 2D; veja também a tumba de Sierpiński. Também é possível ter portais onde uma extremidade é um quadrado e a outra extremidade é um retângulo, fazendo com que os objetos sejam esticados por portais (veja também a minha demonstração antiga baseada em uma ideia semelhante). Esta não é mais uma variedade Euclidiana, mas sim uma variedade afinada (poderíamos chamá-la de “variedade similar” se apenas a escala for permitida, mas esse termo não parece ser usado)., Geometria afim/similar é diferente da geometria euclidiana (o terceiro axioma torna-se sem sentido), mas ainda não é chamada de não-euclidiana, uma vez que as linhas paralelas não são afetadas.

outros jogos notáveis que são geometricamente estranhos

• Antichamber — este jogo é provavelmente responsável por popularizar o uso matematicamente incorreto do termo “não-euclidiano”. Esta é principalmente uma variedade Euclidiana (com limite), mas também exibe alguns efeitos que não aconteceria em uma variedade (por exemplo, você acaba em um lugar diferente quando você vai alguns passos e volta)., Eu acredito que quase todas as coisas estranhas em Antichamber poderia ser (e provavelmente ter sido) implementado com o truque de teletransporte descrito acima.jogos de quatro dimensões. Algumas pessoas podem pensar nesses jogos como não-euclidianos, porque quatro dimensões espaciais não caberiam em nosso mundo tridimensional. No entanto, um mundo que funciona exatamente como o nosso antigo espaço tridimensional euclidiano, exceto que tem mais dimensões, ainda é definitivamente euclidiano (de acordo com a definição)., É claro que é possível ter um espaço não-euclidiano de quatro dimensões, mas no momento da escrita, parece que nenhum jogo tentou implementar isso.truques de perspectiva, como Fez, Echodrome, Monument Valley, Naya Quest, ou perspectiva. O Superliminal tem alguma perspectiva e vários aspectos. Estes jogos são estranhos e legais, mas também não devem ser chamados de não-euclidianos. Eu chamaria alguns deles Escheresque.

vídeos que afirmam ser não-euclidianos (corretamente ou não)

• Not Knot — um vídeo clássico com geometria 3D não-euclidiana.,
• Realidade virtual não-euclidiana-isto é não-euclidiano no sentido matemático.nosso Templo de Cthulhu em 3D-os “quadrados” são realmente curvados. À primeira vista, parece que este mundo consiste de uma sequência de bolas menores e menores. De fato, essas “bolas” são horosferas (uma forma da geometria hiperbólica que não tem realmente um análogo euclidiano; curiosamente, enquanto o mundo 3D aqui é não euclidiano, a geometria na horosfera é Euclidiana), e todas elas são infinitas., (vídeos mais semelhantes)
• nossa SolvRogue —enquanto em duas dimensões temos apenas geometria esférica, Euclidiana e hiperbólica, há ainda mais estranhas geometrias não euclidianas em três dimensões. Vai aqui buscar mais.
• motor de mundos não-euclidianos — este vídeo começa com limite de círculo por M. C. Escher, que é realmente baseado na geometria não-euclidiana (hiperbólica). No entanto, a maior parte do vídeo apresenta uma variedade afinada simples e antiga com limites.não! Euclid!”GPU Ray Tracer recebe um upgrade! – isto é muito interessante, porque este é realmente um espaço curvado, não baseado em cirurgia.,

graças a Henry Segerman por sugerir melhorias, e a todos os desenvolvedores que tentam criar essas experiências geométricas de domínio mental!