geometrie non-euclidiană și jocuri

termenul „non-euclidian” este adesea folosit de jucători (dezvoltatori de jocuri, jurnaliști etc.) să însemne orice fel de joc în care spațiul nu funcționează exact ca în lumea noastră. În timp ce astfel de jocuri tind de obicei să fie uimitoare și foarte distractive, acest lucru nu înseamnă în mod tradițional „non-euclidian” pentru matematicieni, pentru care are o semnificație mai precisă, care nu este „ceva care nu este un spațiu perfect normal”. Acest articol oferă un rezumat al ceea ce înseamnă „non-euclidian” și diferitele geometrii ciudate folosite în jocuri.,

descoperirea non-geometrie Euclidiană este una dintre cele mai celebre, surprinzător, și nebun momente din istoria matematicii. Este ceva ce mulți gânditori mari de peste 2000 de ani au crezut că nu există (nu numai în lumea reală, ci și în lumile fantastice)., Au fost create atât de multe expoziții populare de matematică care discută geometria non-euclidiană, încât termenul a intrat pe bună dreptate în conștiința publică generală, ca ceva extrem de străin, important, nebun și greu de înțeles. În general, ceva extrem de cool!recent, termenul „geometrie non-euclidiană” a fost însușit de unii dezvoltatori de jocuri pentru orice tip de spațiu de joc care funcționează într-un mod diferit de al nostru., Acest lucru este regretabil, deoarece jucătorii sunt atrași de astfel de jocuri, gândindu-se „hei, în sfârșit voi avea șansa să înțeleg acel lucru ciudat și important despre care toți acești matematicieni erau înnebuniți!”, care nu este nici pe departe adevărul-în timp ce aceste jocuri sunt de obicei foarte cool, ele se bazează, de obicei, pe concepte relativ simple, care nu au nimic de-a face cu lucrul original.Euclid a arătat cum totul în geometrie (Teorema lui Pitagora, etc.,) ar putea fi derivate dintr-un mic set de foarte simple postulate… dar nu a fost un lucru el nu a fost fericit despre: al cincilea postulat, care a fost, de fapt, nu atât de simplu: Dacă un segment de linie se intersectează două linii drepte care formează două unghiuri interioare pe aceeași parte ca sumă mai mică decât două unghiuri drepte, atunci cele două linii, dacă este prelungită pe termen nelimitat, pe partea pe care unghiurile sumă mai mică decât două unghiuri drepte.. Euclid credea că cel de-al cincilea postulat al său ar putea fi dovedit de celelalte, și a eșuat, la fel și mulți matematicieni de-a lungul veacurilor., Misterul a fost rezolvat în secolul al 19-lea.sunt hotărât să Public o lucrare despre paralele de îndată ce o pot pune în ordine, să o completez și apare oportunitatea. Nu am făcut încă descoperirea, dar calea pe care am urmat-o este aproape sigură că mă va conduce la obiectivul meu, cu condiția ca acest obiectiv să fie posibil. Nu o am încă, dar am găsit lucruri atât de magnifice încât am fost uluit. Ar fi un păcat etern dacă aceste lucruri s-ar pierde așa cum tu, dragul meu Tată, ești obligat să recunoști când le-ai văzut. Tot ce pot spune acum este că am creat o lume nouă și diferită din nimic., Tot ce v-am trimis până acum este ca o casă de cărți în comparație cu un turn. Bolyai, Lobachevsky și Gauss au creat o lume nouă, în care toate postulatele lui Euclid dețin, cu excepția celui de-al cincilea, arătând astfel că cel de-al cincilea postulat nu a putut fi dovedit de celelalte. Din moment ce Euclid credea că un astfel de lucru nu ar putea exista, a fost numit de geometria Gauss non-euclidiană.astăzi, numim această geometrie hiperbolică, în timp ce geometria non-euclidiană (bidimensională) ar putea fi hiperbolică sau sferică., O sferă este curbată în a treia dimensiune; spunem că are o curbură constantă pozitivă. (Suprafața Pământului este o aproximare bună, deși curbura nu este exact constantă: este puțin mai plată pe poli.) Geometria euclidiană are curbura 0, în timp ce geometria hiperbolică are o curbură negativă constantă.,

puteți spune cu ușurință dacă vă aflați într-o lume non-euclidiană în următoarele moduri:

• căutați linii paralele. În geometria euclidiană, ele se află într-o distanță constantă una de cealaltă., În geometria sferică, ele converg, iar în geometria hiperbolică, se deosebesc.
• Uită-te la unghiurile unui triunghi. În geometria euclidiană, acestea însumează până la 180 de grade. În geometria sferică, ele însumează mai mult (de exemplu, luați Polul Nord și două vârfuri pe ecuator ca vârfuri). În geometria hiperbolică, ele însumează mai puțin.
• o modalitate ușoară de a spune dacă un joc folosește cu adevărat geometrie non-euclidiană este să căutați dreptunghiuri., În geometria non-euclidiană nu există dreptunghiuri, nimic care arată un pic ca un dreptunghi are de fapt unghiurile sale mai mici de 90 de grade sau marginile sale sunt curbate. Deci, dacă vedeți dreptunghiuri, jocul nu este (probabil) non-euclidian.
• în geometria euclidiană, un cerc de rază r are perimetrul 2NR. În geometria sferică, este 2nsin (r) (care este delimitată), iar în geometria hiperbolică, este 2nsinh (r) (care crește exponențial). Într-o lume hiperbolică tridimensională cu „unitate absolută” de 1m, o minge cu raza 100m va avea un volum mai mare decât universul observabil!,
• în jocurile și simulările 3D cu adevărat non-euclidiene, paralaxa funcționează diferit. În spațiul Euclidian, lucrurile care sunt departe de tine (Stele, munți îndepărtați) sunt văzute aproximativ în același loc în care te miști. Aceasta se schimbă în geometriile non-euclidiene: în spațiul hiperbolic, totul se mișcă, în timp ce alte geometrii non-euclidiene sunt și mai ciudate.

Redați HyperRogue-ul nostru pentru a explora o lume non-euclidiană și pentru a obține câteva intuiții despre cum funcționează geometria non-euclidiană. Jocul principal este conceput pentru planul hiperbolic, dar puteți experimenta și alte geometrii 2D și 3D.,jocurile care pretind a fi non-euclidiene au de obicei lumi obținute prin efectuarea unui fel de” intervenție chirurgicală”: tăiem câteva fragmente (camere) dintr-un spațiu euclidian și apoi le lipim împreună într-un mod non-standard. În jocurile 3D, locul în care am efectuat o intervenție chirurgicală arată de obicei ca un portal, dar jocul poate face, de asemenea, operația să pară fără probleme., Din punct de vedere matematic, aceasta se numește colector euclidian (sau plat) (cu limită); euclidian/plat, deoarece este format din fragmente de spațiu euclidian și „cu limită”, deoarece există de obicei niște pereți pe care nu i-ați putea trece, iar unele puncte din interiorul acestor pereți nu au putut fi modelate în mod consecvent (pereții portalurilor). De asemenea, este posibil să existe colectoare fără limită; de obicei, acestea arată ca spații periodice.astfel de jocuri sunt probabil numite non-euclidiene, deoarece geometria lor este imposibil de interpretat în mod consecvent ca parte a unei lumi similare cu a noastră., Într-o lume euclidiană, când mergi la 10m, la 90 de grade la dreapta, mergi la 10M, la 90 de grade la dreapta, mergi la 10m, la 90 de grade la dreapta, mergi la 10m și la 90 de grade la dreapta, te întorci înapoi la punctul de plecare și la orientare. Într-o varietate (și, de asemenea, în geometria non-euclidiană așa cum este descris mai sus) este posibil să se ajungă într-un punct diferit. (Un exemplu excelent în acest sens este proiectul VR Tea for God, unde lumea VR pe care o explorați este imensă, în timp ce în lumea reală vă plimbați înainte și înapoi în jurul unei încăperi mici.,) De asemenea, este posibil să se facă o buclă care vă aduce înapoi la punctul de plecare în interiorul colectorului, dar ar fi diferit în lumea euclidiană. Totuși, acest lucru nu înseamnă geometria non-euclidiană pentru un matematician. Chirurgia schimbă topologia spațiului, dar nu își schimbă geometria.într-o galerie puteți găsi uneori triunghiuri ale căror unghiuri se ridică la altceva decât 180 de grade sau linii paralele care nu mai sunt apropiate atunci când unul dintre ele trece printr-un portal., Cu toate acestea, într-o lume cu adevărat non-euclidiană, aceste fenomene se întâmplă chiar și pentru triunghiuri foarte mici și pentru fiecare pereche de linii. Efecte precum această animație nu au putut fi realizate folosind portaluri — în geometria non-euclidiană este posibil să vedeți întregul pentagon în unghi drept simultan, în timp ce cu portaluri, unul dintre cele cinci unghiuri drepte va fi întotdeauna ascuns în spatele unui portal.o modalitate ușoară (dar limitată) de a implementa o galerie într-un joc este de a face dispozitive de teleportare invizibile, care teleportează perfect playerul într-o altă locație care arată exact la fel., Această tehnică funcționează practic în orice motor de joc (chiar și în Minecraft). Am văzut multe comentarii sub videoclipuri folosind această tehnică spunând „Acest lucru nu este non-euclidian, utilizați doar Teleporturi!”Aceste comentarii au dreptate că acest lucru nu este non-euclidian în sensul matematic, dar utilizarea teleporturilor nu are nimic de-a face cu asta. În general, mi se pare ciudat acest sentiment. Efectul este cel care contează, nu modul în care este implementat. Orice joc video este o iluzie, la urma urmei.desigur, am putea face acest lucru începând cu spațiul non-euclidian, obținând o varietate non-euclidiană., Colectoarele hiperbolice sunt de obicei delimitate, astfel își pierd creșterea exponențială (și, în funcție de designul jocului, Această creștere exponențială poate fi o problemă tehnică uriașă); cu toate acestea, liniile paralele și triunghiurile încă funcționează diferit.

când distanța nu este metrica euclidiană

am văzut că unii oameni susțin că orice jocuri jucate pe grile pătrate sunt non-euclidiene., Acest lucru este pentru că, într-un astfel de joc, numărul de pași pe care trebuie să le ia pentru a ajunge la punctul (x,y) din punctul (0,0) este dat de formula |x|+|y| (așa-numita taxi metrice) sau max(|x|, |y|) (așa-numitele Chebyshev metrice), sau o altă formulă în care setul de puncte în d pași este un octogon, în timp ce teorema lui Pitagora spune că distanța dintre aceste două puncte este de fapt rădăcina pătrată a x2+y2 (așa-numitele metrică Euclidiană). În mod similar, s-ar putea spune că HyperRogue nu este hiperbolic, deoarece este un joc bazat pe grilă.,de fapt, nu avem nevoie de o grilă pentru această problemă: dacă jucați un joc de sus în jos cu spațiu continuu folosind tastatura, puteți să vă deplasați de obicei în opt direcții, astfel încât distanța va fi în continuare dată de una dintre formulele de mai sus. Deci, acest lucru ar face o mulțime de jocuri non-euclidiene.acest lucru pare a fi din nou o confuzie care rezultă din a avea mai multe lucruri numite după Euclid. „Non-euclidian” înseamnă că Axioma paralelă a lui Euclid nu este satisfăcută, nu că metrica este diferită de metrica euclidiană., Jocurile bazate pe grilă nu sunt percepute în mod normal de oameni ca fiind ceva ciudat, iar acest lucru este de așteptat, deoarece multe proprietăți importante ale acestor spații sunt similare cu cele ale spațiilor continue. Liniile paralele într-o grilă pătrată funcționează ca în geometria euclidiană, în timp ce pereții mari din HyperRogue funcționează ca liniile drepte în geometria hiperbolică. O grilă pătrată crește cvadratic, la fel ca planul euclidian, în timp ce lumea HyperRogue crește exponențial. Și așa mai departe., Un impresionant fenomen apare atunci când se simulează cum efectele răspândit pe o grilă pătrat — de exemplu, simularea de transfer de căldură (în timp 0 un punct de grila este foarte cald, și ai lăsa căldura să se răspândească la alte puncte), sau mers aleator (la data 0 există multe particule într-un singur punct al rețelei, și apoi fiecare dintre ele se mișcă la întâmplare). Chiar dacă la prima vedere ar putea părea că valurile ar trebui să se răspândească în forme pătrate sau octogonale (din cauza grilei de structură), ele sunt de fapt perfect circulare!, Acest lucru se întâmplă pe orice grilă suficient de simetrică pe planul euclidian, dar va fi diferit în alte grile!

artiști asociați cu geometria non-euclidiană

M. C. Escher a creat multe opere de artă minunate bazate pe geometrii imposibile, care la rândul lor au inspirat multe jocuri uimitoare. Dacă ați citit că Escher a folosit geometria non-euclidiană, acest lucru este adevărat, el a folosit geometria non-euclidiană în seria limită a cercului. Cu toate acestea, dacă un joc vă amintește de ex., Ascendent și descendent, cascadă, relativitate, adâncime sau altă lume II, Ei bine, aceste lucrări nu au prea multă legătură cu geometria non-euclidiană. Termenii utilizați în mod obișnuit pentru astfel de spații includ spațiul/geometria imposibilă sau Escheresque.un alt artist asociat frecvent cu geometria non-euclidiană este H. P., Lovecraft: suprafețe prea mari pentru a aparține orice lucru corect sau adecvat pentru acest pământ geometria vis-loc-a văzut a fost anormal, non-Euclidiene, și loathsomely amintește de sfere și dimensiunile, în afară de a noastră nu putea fi sigur că marea și pământul au fost orizontală, prin urmare, poziția relativă a totul părea phantasmally variabilă. un unghi care a fost acută, dar s-au comportat ca și cum ar fi fost obtuz. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Aceste descrieri sunt foarte vagi, dar ele descriu unele dintre sentimentele pe care un laic are în cazul în care explorarea unei non-Euclidiană simulare destul de bine, chiar extraordinar de bine, dat fiind faptul că Lovecraft nu au avut acces la astfel de simulări: el nu menționează că există ceva foarte ciudat despre unghiuri în R ‘ Lyeh, și veți obține acest sentiment într-un non-Euclidiană simulare, în timp ce în jocuri cu ajutorul „non-Euclidian” într-un non-matematice sens, unghiurile uite cea mai mare parte normal; ei reamintesc jucător mai mult de Escher e imposibil arhitecturi decât R ‘ Lyeh., Acest articol explorează acest lucru în detaliu.

jocuri și demo-uri interactive folosind geometria non — euclidiană

• HyperRogue nostru-un joc roguelike care are loc în planul hiperbolic (adică, geometrie hiperbolică bidimensională). Aceasta folosește un plan hiperbolic (fără nici o intervenție chirurgicală topologică sau limită), astfel încât lumea sa este mai mare decât No Man ‘ s Sky, MineCraft sau ceva euclidian.
• Bringris-jocul nostru non-euclidian care se încadrează în bloc (similar cu Tetris), realizat cu motorul HyperRogue.
• MagicTile – cum ar fi cubul lui Rubik, dar în colectoare 2D non-euclidiene.,
• labirint hiperbolic-un labirint într-un colector hiperbolic 2D.
• Hypernom-aceasta utilizează geometria sferică tridimensională.
• Polychora uniformă-geometrie sferică mai tridimensională.
• non-euclidian VR (H3)-aceasta este geometria hiperbolică tridimensională. A se vedea, de asemenea, H2xR (hiperbolic în unele dimensiuni și euclidian în alte dimensiuni) și o nouă versiune.
• croșetarea noastră virtuală — o demonstrație în geometria sferică tridimensională.
• spații curbate-zburați prin colectoare tridimensionale non-euclidiene.,jocuri hiperbolice-jocuri simple în colectoare hiperbolice 2D.
• HyperSweeper-Minesweeper în plan hiperbolic.
• Sokyokuban-Sokoban-ca în planul hiperbolic, pot fi redate într-un browser. Holonomy o face interesantă. (A se vedea, de asemenea, acest lucru pentru un alt puzzle bazat pe holonomy.)

jocuri în dezvoltare

recent, există mai multe proiecte de joc cool non-euclidiene în dezvoltare!

• Hypermine-acesta este un Minecraft-ca în spațiul hiperbolic tridimensional., Capturile de ecran din galerie sunt destul de impresionante, iar dezvoltarea progresează destul de bine! (update: din păcate, dezvoltarea merge lent recent: ()
• HyperBlock — un alt Minecraft-cum ar fi. Aceasta utilizează geometria H2xR, adică un plan hiperbolic cu coordonata ” z ” care lucrează în mod euclidian.
• Hyperbolica-un joc non-euclidian în dezvoltare. Remorca prezintă geometrie hiperbolică și un pic de geometrie sferică., Contrar HyperRogue, Hypermine și Hyperbolica care sunt axat pe gameplay-ul într-o lume infinită, ea pare a fi mai mult un joc bazat pe poveste, cu mersul pe jos, puzzle, elemente de fotografiere, și mai mult de masă grafică. (Soarele în spațiul hiperbolic nu funcționează așa cum este arătat în remorcă — ar trebui să devină vizibil mai luminos pe măsură ce ne îndreptăm spre el — dar sperăm că va fi schimbat 🙂
• biliard non-euclidian în VR — ideea de a cartografia o masă pătrată cu unghi drept real la un pentagon cu unghi drept hiperbolic sau un triunghi sferic cu unghi drept, este foarte fain!,nu în ultimul rând, HyperRogue este, de asemenea, în dezvoltare —motorul său non-euclidian și lumea unică este un mare motiv de testare pentru diverse experimente cu genuri de jocuri sau alte geometrii ciudate, iar rezultatele acestor experimente sunt adăugate la joc. Schimbând opțiunile, puteți obține ceva complet diferit de roguelike-ul original în planul hiperbolic.Puteți experimenta cu geometrie sferică, diverse colectoare fără limită, geometrii 3D, inclusiv cele non-izotrope; roguelites, curse, puzzle-uri, și așa mai departe.,
• Spaceflux-videoclipurile existente arată „geometria fractală”, dar planurile din pagina kickstarter menționează geometria hiperbolică și chiar geometria non-izotropă (Solv).

Exemple de jocuri notabile jucate pe colectoare

• asteroizi (1979) — când parcurgi marginea de Est a lumii, apari pe marginea de Vest; în mod similar pentru nord sau vest. Acesta este un colector plat bidimensional fără limită (numit torus plat).
• Pac-Man (1980) — ca asteroizii., În cele mai multe versiuni puteți trece doar prin marginea E-W, dar nu prin marginea N-S, făcându-l un cilindru (un colector cu limită).
• civilizație (1991)-după cum sa menționat mai sus, suprafața unei sfere este non-euclidiană. De aceea este imposibil să faci o hartă plană a Pământului care să nu denatureze nimic. Din păcate, majoritatea jocurilor care au loc pe o planetă sferică nu iau în considerare această geometrie non-euclidiană; ei iau o hartă plană și pretind că această hartă nu are distorsiuni., Civilizația se joacă pe un cilindru (nu poți trece printr-un pol, în timp ce în lumea reală, cel mai scurt zbor din Europa spre Hawaii ar trece prin Polul Nord). Unele alte jocuri sunt jucate pe plat tori, care este într-un anumit sens, chiar mai diferit de o sferă.
• Portal (2007) – odată ce plasați unele portaluri, lumea devine o varietate cu limită.
• Manifold Garden (2019) – folosește corect termenul „manifold”. Nu l-am jucat încă, se pare că este în mare parte un tor plat tridimensional (adică.,, un colector plat tridimensional fără limită), dar are și unele portaluri.
• fragmente de Euclid, Paradox Vector – aceste jocuri sunt pe colectoare euclidiene Escheresque. Escheresque ca în relativitatea lui Escher sau într-o altă lume: direcțiile nu sunt consecvente. Fragmente de Euclid este un joc de puzzle în timp ce Paradox Vector este un FPS.
• Maquette (care va fi lansat în 2020) pare a fi un joc cu portaluri, unde un capăt al portalului poate fi mai mare decât celălalt capăt și, prin urmare, obiectele pot deveni mai mari sau mai mici după ce au trecut prin portal., Mirror stage (2009) este o idee similară în 2D; vezi și mormântul lui Sierpiński. De asemenea, este posibil să aveți portaluri în care un capăt este un pătrat, iar celălalt capăt este un dreptunghi, ceea ce face ca obiectele să fie întinse de portaluri (vezi și vechea mea demonstrație bazată pe o idee similară). Acesta nu mai este un colector euclidian, ci mai degrabă unul afin (am putea să-l numim „colector similar” dacă este permisă doar scalarea, dar acest termen nu pare să fie folosit)., Geometria afină / similară este diferită de geometria euclidiană (a 3-a axiomă devine lipsită de sens), dar nu este încă numită non-euclidiană, deoarece liniile paralele nu sunt afectate.

alte jocuri notabile care sunt ciudate din punct de vedere geometric

• Antichamber — acest joc este probabil responsabil pentru popularizarea utilizării incorecte din punct de vedere matematic a termenului „non-euclidian”. Aceasta este în mare parte o galerie euclidiană (cu graniță), dar prezintă și unele efecte care nu s-ar întâmpla într-o galerie (de exemplu, ajungeți într-un loc diferit atunci când mergeți câțiva pași și înapoi)., Cred că aproape toate lucrurile ciudate din Antichamber ar putea fi (și probabil au fost) implementate cu trucul de teleportare desribed de mai sus.
• Jocuri cu patru dimensiuni. Unii oameni se pot gândi la aceste jocuri ca fiind non-euclidiene, deoarece patru dimensiuni spațiale nu s-ar potrivi în lumea noastră tridimensională. Cu toate acestea, o lume care funcționează la fel ca vechiul nostru spațiu euclidian tridimensional, cu excepția faptului că are mai multe dimensiuni, este încă cu siguranță euclidiană (conform definiției)., Este, desigur, posibil să existe un spațiu non-euclidian patru-dimensional, dar la momentul scrierii, se pare că nici un joc a încercat să pună în aplicare acest lucru.
• trucuri de perspectivă, cum ar fi Fez, Echodrom, Monument Valley, Naya ‘ s Quest sau perspectiva. Superliminal are unele aspecte de perspectivă și”afin multiple”. Aceste jocuri sunt ciudate și se răcească, dar nu ar trebui să fie numit non-euclidian, fie. Aș numi unele dintre ele Escheresque.

videoclipuri care pretind a fi non-euclidiene (corect sau nu)

• Not Knot — un videoclip clasic cu geometrie 3D non-euclidiană.,
• realitatea virtuală non-euclidiană — aceasta este non-euclidiană în sensul matematic.
• templul nostru din Cthulhu în 3D – „pătratele” sunt de fapt curbate. La prima vedere se pare că această lume constă dintr-o secvență de bile mai mici și mai mici. În fapt, aceste „bile” sunt horospheres (o forma de geometrie hiperbolica care nu au într-adevăr o Euclidian analog; interesant, în timp ce lumea 3D aici este non-Euclidiană, geometria pe horosphere este Euclidian), și toate sunt infinite., (mai multe videoclipuri similare)
• SolvRogue —în timp ce în două dimensiuni avem doar geometria sferică, euclidiană și hiperbolică, există și geometrii non-euclidiene mai ciudate în trei dimensiuni. Du-te aici pentru mai mult.
• Non-euclidian Worlds engine – acest video începe cu limită de cerc de M. C. Escher, care se bazează într-adevăr pe non-euclidian (hiperbolic) geometrie. Cu toate acestea, cea mai mare parte a videoclipului prezintă o simplă galerie afină veche cu limită.
• ” nu! Euclid!”GPU Ray Tracer primește un upgrade! — acest lucru este destul de interesant, pentru că acesta este într-adevăr un spațiu curbat, care nu se bazează pe intervenții chirurgicale.,mulțumesc lui Henry Segerman pentru că a sugerat îmbunătățiri și tuturor dezvoltatorilor care încearcă să creeze aceste experiențe geometrice mindbending!