Derivationedit
Quadratische interpolationEdit
P (x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P (x)=f (a){\tfrac {(x-m) (x-b)}{(a-m) (a-b)}}+f(m) {\tfrac {(x-a) (x-b)} {(m-a) (m-b)}}+f(b) {\tfrac {(x-a) (x-m)} {(b-a) (b-m)}}.}
Mit Hilfe der integration durch substitution ist, kann man zeigen, dass
∫ a b P ( x ) d x = b − a 6 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\left.,}
Einführung in die Schrittweite h = ( b − a ) / 2 {\displaystyle h=(b-a)/2} dies ist Häufig auch geschrieben als
∫ a b P ( x ) d x = h 3 . {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\left.}
Mittelung des Mittelpunkts und der trapezförmigen Regelenedit
Eine andere Ableitung konstruiert Simpsons Regel aus zwei einfacheren Näherungen: die Mittelpunktregel
M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}
und die Trapezregel
T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).,}
Die Fehler in diese Näherungen sind
1 24 ( b − a ) 3 f „( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) und − 1 12 ( b − a ) 3 f „( a ) + O ( ( b − a ) 4 ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f“(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{und}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f“(a)+O((b-a)^{4}),} 2 M + T-3 . {\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}
Dieser gewichtete Durchschnitt ist genau Simpsons Regel.
Unter Verwendung einer anderen Näherung (z. B. der Trapezregel mit doppelt so vielen Punkten) ist es möglich, einen geeigneten gewichteten Durchschnitt zu nehmen und einen anderen Fehlerterm zu eliminieren. Das ist Rombergs Methode.,
Unbestimmt coefficientsEdit
Die Dritte Ableitung beginnt der ansatz
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≈ α f ( a ) + β f ( a + b 2 ) + γ f ( b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}
Die Koeffizienten α, β und γ können festgelegt werden, indem verlangt wird, dass diese Näherung für alle quadratischen Polynome genau ist. Dies ergibt Simpsons Regel.,
ErrorEdit
Der Fehler in der Annäherung ein integraler durch die Simpson-Regel für n = 2 {\displaystyle n=2} ist
− 1 90 ( b − 2 ) 5 f ( 4 ) ( ξ ) , {\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}
wo ξ {\displaystyle \xi } (der Griechische Buchstabe xi) ist eine Zahl zwischen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} .,
Da der Fehlerterm proportional zur vierten Ableitung von f {\displaystyle f} bei f {\displaystyle \xi} ist , zeigt dies, dass Simpsons Regel genaue Ergebnisse für jedes Polynom f {\displaystyle f} von Grad drei oder weniger liefert, da die vierte Ableitung eines solchen Polynoms an allen Punkten Null ist.
Wenn die zweite Ableitung f „{\displaystyle f“} existiert und ist konvex im Intervall ( a , b ) {\displaystyle (a,\, b)} :
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 ( b − 2 ) 3 f “ ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − 6 ., {\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f“\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left.}
impsons ruleEdit
Wenn das Intervall der Integration {\displaystyle } in gewissem Sinne „klein“ ist, liefert Simpsons Regel mit n = 2 {\displaystyle n=2} Unterintervalle eine angemessene Annäherung an das genaue Integral. Mit klein meinen wir wirklich, dass die zu integrierende Funktion über das Intervall {\displaystyle} relativ reibungslos verläuft ., Für eine solche Funktion liefert eine glatte quadratische Interpolante wie die in Simpsons Regel verwendete gute Ergebnisse.
Es ist jedoch häufig der Fall, dass die Funktion, die wir integrieren möchten, über das Intervall nicht reibungslos verläuft. Typischerweise bedeutet dies, dass entweder die Funktion stark oszillierend ist oder an bestimmten Punkten Ableitungen fehlen. In diesen Fällen kann Simpsons Regel sehr schlechte Ergebnisse liefern. Eine gängige Methode zur Behandlung dieses Problems besteht darin, das Intervall {\displaystyle } in n > 2 {\displaystyle n>2} kleine Unterintervalle aufzuteilen., Simpsons Regel wird dann auf jedes Subinterval angewendet, wobei die Ergebnisse summiert werden, um eine Annäherung für das Integral über das gesamte Intervall zu erzeugen. Diese Art von Ansatz wird als zusammengesetzte Simpsons Regel bezeichnet.,
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ j = 1 n / 2 = h 3 , {\displaystyle {\begin{a}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg }\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg },\end{aligned}}}
Der Fehler, der durch die Regel des zusammengesetzten Elements begangen wird, ist
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( h), {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a) f^{(4)} (\xi),} h 4 180 ( b − a ) max . {\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a) – \max _{\xi \in }|f^{(4)}(\xi )|.,}
Diese Formulierung teilt das Intervall {\displaystyle } in gleich lange Unterintervalle auf. In der Praxis ist es oft vorteilhaft, Subintervalle unterschiedlicher Länge zu verwenden und die Anstrengungen auf die Stellen zu konzentrieren, an denen sich der Integrand weniger gut benimmt. Dies führt zur adaptiven Simpson-Methode.