diskussion
introduktion & teori
logik bakom tröghetsmomentet: Varför behöver vi detta?
Definition för punktkroppar
i = mr2
det är en skalär kvantitet (som dess translationella kusin, massa), men har ovanliga utseende enheter.
säg det, kilogram meter kvadrat och säg det inte på något annat sätt av misstag.
för en samling objekt, lägg bara till ögonblicken., Det fungerar som massa i detta avseende så länge du lägger till stunder som mäts ungefär samma axel.
i = i = MRI 2
för en utökad kropp, ersätt summeringen med en integrerad och massan med en infinitesimal massa. Du lägger till (integrera) alla tröghetsmoment som bidrog av de små, små massorna (dm) som ligger på vilket avstånd (r) från axeln de råkar ligga.,5e0″>
⌡
I praktiken, för objekt med en enhetlig densitet (ρ = m/V) du gör något som det här…
| I = | för ⌡ |
r2 dm = | för ⌡ |
r2 ρ dV = | för ⌡ |
r2 | m | dV |
| V |
För objekt med icke-rektangulära densitet, byt densitet med en densitet funktion, ρ(r).,
| i = | r2 ρ(r) dV |
den infinitesimala kvantiteten dV är en teeny liten bit av hela kroppen. I praktiken kan detta ta en av två former (men det är inte begränsat till dessa två former). Den infinitesimal rutan är förmodligen det enklaste begreppsmässigt. Tänk dig att tärna objektet upp i kuber.
bitarna är DX wide, dy high och DZ deep.,DZ
När ett objekt är väsentligen rektangulärt, får du en uppsättning upp något så här…
| i = | Första hjälpen | (x2 + y2 + Z2) | m | DX dy dz |
| v |
eller detta…
| i = | (x2 + y2 + Z2) ρ(x, y, z) DX dy DZ |
det här är sättet att hitta tröghetsmomentet för kuber, lådor, tallrikar, plattor, stavar och andra rektangulära saker., Observera att även om den strikta matematiska beskrivningen kräver en trippel integral, för många enkla former kan det faktiska antalet integraler som utarbetas genom brute force-analys vara mindre. Ibland är integralerna triviala.
det andra enkla volymelementet att arbeta med är det infinitesimala röret. Föreställ dig en purjolök.
varje skikt av purjolök har en omkrets 2NR, tjocklek dr, och höjd h.,med något liknande…
| i = | r2 | m | 2nrh dr | |
| v |
eller detta…
| i = | R2 ρ(r) 2nrh Dr |
denna metod kan tillämpas på diskar, rör, rör och rör., cylindrar, pennor, pappersrullar och kanske till och med trädgrenar, vaser och faktiska purjolök (om de har en enkel matematisk beskrivning).,
När former blir mer komplicerade, men är fortfarande något enkla geometriskt, bryta upp dem i bitar som liknar former som redan har arbetats på och lägga upp dessa kända stunder av tröghet för att få den totala.
Itotal = I1 + I2 + I3 +…
För lite mer komplicerade runda former kan du behöva återgå till en integrerad som jag inte är säker på hur man skriver.,div id=”04747815e0″>
eller detta för staplade diskar och brickor
| i = | iDisk or Washer(r) dr |
dessa metoder kan användas för att hitta tröghetsmomentet av saker som sfärer, ihåliga sfärer, tunna sfäriska skal och andra mer exotiska former som kottar, hinkar och ägg — i princip allt som kan rulla och som har en ganska enkel matematisk beskrivning.,
När du är klar med allt detta slutar du ofta med en fin liten formel som ser ut så här…
i = amr2
där α är ett enkelt rationellt nummer som 1 för en ram, ½ för en cylinder eller för en sfär.
vad händer om ett objekt inte roteras om axeln som används för att beräkna tröghetsmomentet? Applicera parallellaxelns teorem.
i = Icm + mL2
vad kan jag säga om den vinkelräta axeln teorem annat än det är intressant. Det gäller endast laminära föremål. Jag har inte behövt använda den så mycket.,
iz = Ix + IY
det bästa sättet att lära sig hur man gör detta är genom exempel. Massor av exempel.,15e0″>