Zeit Konstante

Zeit-Konstanten in elektrische circuitsEdit

In einer RL-Schaltung, die aus einem einzelnen Widerstand und einer einzelnen Induktivität besteht, beträgt die Zeitkonstante τ {\displaystyle \tau } (in Sekunden)

τ = L R {\displaystyle \tau ={L \over R}}

wobei R der Widerstand (in Ohm) und L die Induktivität (in Henrys) ist.,

In ähnlicher Weise ist in einer RC-Schaltung, die aus einem einzelnen Widerstand und Kondensator besteht, die Zeitkonstante τ {\displaystyle \tau } (in Sekunden):

τ = R C {\displaystyle \tau =RC}

wobei R der Widerstand (in Ohm) und C die Kapazität (in Farads) ist.

Elektrische Schaltungen sind oft komplexer als diese Beispiele und können mehrere Zeitkonstanten aufweisen (siehe Schrittantwort und Polaufteilung für einige Beispiele.) In dem Fall, in dem Feedback vorhanden ist, kann ein System instabile, zunehmende Schwingungen aufweisen., Darüber hinaus sind physikalische Stromkreise mit Ausnahme von Erregungen mit sehr geringer Amplitude selten wirklich lineare Systeme; Die Annäherung der Linearität ist jedoch weit verbreitet.

Thermische Zeitkonstante >

Zeitkonstanten sind ein Merkmal der Lumped System Analysis (Lumped Capacity analysis method) für thermische Systeme, die verwendet werden, wenn Objekte unter dem Einfluss von konvektiver Kühlung oder Erwärmung gleichmäßig abkühlen oder erwärmen., In diesem Fall ist die Wärmeübertragung vom Körper zur Umgebung zu einem bestimmten Zeitpunkt proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und der Umgebung:

F = h A s ( T ( t ) − T a ) , {\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}

wobei h der Wärmeübertragungskoeffizient ist und Ebenso wie die Oberfläche T(t) = Körpertemperatur zum Zeitpunkt t und Ta die konstante Umgebungstemperatur ist. Das positive Vorzeichen zeigt die Konvention an, dass F positiv ist, wenn Wärme den Körper verlässt, weil seine Temperatur höher ist als die Umgebungstemperatur (F ist ein äußerer Fluss)., Wenn Wärme an die Umgebung verloren geht, führt diese Wärmeübertragung zu einem Temperaturabfall des Körpers, der gegeben ist durch:

ρ c p V d T d t = – F, {\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}= – F,}

wobei ρ = Dichte, cp = spezifische Wärme und V das Körpervolumen ist. Das negative Vorzeichen zeigt die Temperaturabfälle an, wenn die Wärmeübertragung vom Körper nach außen erfolgt (dh wenn F > 0). Die Gleichsetzung dieser beiden Ausdrücke für die Wärmeübertragung,

ρ c p V d T d t = − h s ( T ( t ) − T a ) . {\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\rechts).,}

Offensichtlich ist dies ein LTI-System erster Ordnung, das in der Form gegossen werden kann:

d T t + 1 τ T = 1 τ T a, {\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}

mit

τ = ρ c p V h a s. {\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}

Mit anderen Worten, die Zeitkonstante besagt, dass größere Massen pV und größere Wärmekapazitäten cp zu langsameren Temperaturänderungen führen, während größere Oberflächenbereiche aS und eine bessere Wärmeübertragung h zu schnelleren Temperaturänderungen führen.,

Ein Vergleich mit der einleitenden Differentialgleichung legt die mögliche Verallgemeinerung auf zeitvariierende Umgebungstemperaturen Ta nahe. Wenn man jedoch das einfache konstante Umgebungsbeispiel beibehält, indem man die Variable ΔT ≡ (T − Ta) ersetzt, findet man:

d ΔTD t + 1 τ Δt = 0. {\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}

Systeme, für die Kühlung die obige Exponentialgleichung erfüllt, sollen Newtons Kühlgesetz erfüllen., Die Lösung dieser Gleichung geht hervor, dass in solchen Systemen, die Differenz zwischen der Temperatur des Systems und seiner Umgebung ΔT als Funktion der Zeit t ist gegeben durch:

Δ T ( t ) = Δ T 0 e − t / τ , {\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}

wo ΔT0 ist die anfängliche Temperaturdifferenz zur Zeit t = 0. Mit anderen Worten, der Körper nimmt die gleiche Temperatur wie die Umgebung mit einer exponentiell langsamen Rate an, die durch die Zeitkonstante bestimmt wird.,

Zeitkonstanten in der Neurowissenschaftmit

In einer erregbaren Zelle wie einem Muskel oder Neuron ist die Zeitkonstante des Membranpotentials τ {\displaystyle \tau}

τ = r m c m {\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}

wobei rm der Widerstand über die Membran und cm die Kapazität der Membran ist.

Der Widerstand über die Membran ist eine Funktion der Anzahl offener Ionenkanäle und die Kapazität ist eine Funktion der Eigenschaften der Lipiddoppelschicht.,

Die Zeitkonstante wird verwendet, um den Anstieg und Abfall der Membranspannung zu beschreiben, wobei der Anstieg beschrieben wird durch

V ( t ) = V max ( 1 − e − t / τ ) {\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}(1-e^{-t/\tau })}

und der Fall wird beschrieben durch

V ( t ) = V max e − t / τ {\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}

wo die Spannung in Millivolt ist, ist die Zeit in Sekunden und τ {\displaystyle \tau } in Sekunden.,

Vmax ist definiert als die maximale Spannungsänderung aus dem Ruhepotential, wobei

V max = r m I {\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}

wobei rm der Widerstand über die Membran und I der Membranstrom ist.

Einstellung für t = τ {\displaystyle \tau } für die Anstiegssätze V (t) gleich 0,63 Vmax. Dies bedeutet, dass die Zeitkonstante die Zeit ist, die verstrichen ist, nachdem 63% von Vmax erreicht wurden

Einstellung für t = τ {\displaystyle \tau } für die Fallsätze V(t) gleich 0,37 Vmax, was bedeutet, dass die Zeitkonstante die Zeit ist, die verstrichen ist, nachdem sie auf 37% von Vmax gefallen ist.,

Je größer eine Zeitkonstante ist, desto langsamer steigt oder fällt das Potential eines Neurons. Eine lange Zeitkonstante kann zu einer zeitlichen Summation oder zur algebraischen Summation wiederholter Potentiale führen. Eine kurze Zeitkonstante erzeugt vielmehr einen Koinzidenzdetektor durch räumliche Summierung.

Exponentieller Zerfalledit

Bei exponentiellem Zerfall, wie bei einem radioaktiven Isotop, kann die Zeitkonstante als mittlere Lebensdauer interpretiert werden., Die Halbwertszeit THL hängt mit der exponentiellen Zeitkonstante τ {\displaystyle \tau } um

T H L = τ ⋅ l n 2 zusammen. {\displaystyle T_{HL}=\tau \cdot \mathrm {ln} \,2.}

Der Kehrwert der Zeitkonstante wird als Zerfallskonstante bezeichnet und mit λ = 1 / τ bezeichnet . {\displaystyle \lambda =1/\tau .}

Meteorologische Sensorenedit

Eine Zeitkonstante ist die Zeit, die ein meteorologischer Sensor benötigt, um auf eine schnelle Änderung eines Messwerts zu reagieren, bis er Werte innerhalb der normalerweise vom Sensor erwarteten Genauigkeitstoleranz misst.,

Dies gilt am häufigsten für Messungen von Temperatur, Taupunkttemperatur, Luftfeuchtigkeit und Luftdruck. Radiosonden sind besonders betroffen aufgrund ihrer schnellen Zunahme der Höhe.