ikke-euklidisk geometri og spil

udtrykket “ikke-euklidisk” bruges ofte af spillere (spiludviklere, journalister osv.) at betyde enhver form for spil, hvor rummet ikke fungerer nøjagtigt som i vores verden. Mens sådanne spil typisk har en tendens til at være fantastiske og meget sjove, er det ikke, hvad “ikke-euklidisk” traditionelt betyder for matematikere, for hvem det har en mere præcis betydning, hvilket ikke er “noget, der ikke er et helt normalt rum”. Denne artikel giver et resum.af, hvad “ikke-euklidisk” betyder, Og de forskellige underlige geometrier, der bruges i spil.,

opdagelsen af ikke-Euklidisk geometri er en af de mest fejrede, overraskende, og skøre øjeblikke i matematikkens historie. Det er noget, som mange store tænkere i mere end 2000 år troede ikke at eksistere (ikke kun i den virkelige verden, men også i fantasiverdener)., Så mange populære udstillinger af matematik diskuterer ikke-euklidisk geometri er blevet oprettet, at udtrykket med rette har indtastet den brede offentlige samvittighed, som noget ekstremt fremmede, vigtige, skøre, og svært at forstå. Generelt noget ekstremt cool!

for nylig er udtrykket “ikke-euklidisk geometri” blevet bevilget af nogle spiludviklere til enhver form for spilrum, der fungerer på en anden måde end vores., Dette er uheldigt, da spillerne er tiltrukket af sådanne spil og tænker ” Hej, endelig vil jeg have en chance for at forstå den underlige og vigtige ting, hvad alle disse matematikere var vanvittige om!”, som ikke er i nærheden af sandheden —mens disse spil normalt er meget seje, er de normalt baseret på relativt ligetil koncepter, der ikke har noget at gøre med den originale ting.

Euclid har vist, hvordan alt i geometri (Pythagoras sætning osv., det kunne være afledt af et lille sæt af meget simple postulater… men der var én ting, han var ikke glad for: hans femte postulat, der var faktisk ikke så simpelt: Hvis en linie skærer to rette linier, der danner to indvendige vinkler på samme side, at summen er mindre end to rette vinkler, så de to linier, hvis de er udsat på ubestemt tid, mødes ved den side, på hvilken de vinkler sum er mindre end to rette vinkler.. Euclid mente, at hans femte postulat kunne bevises fra de andre dem, og han mislykkedes, og det gjorde mange matematikere gennem tiderne., Mysteriet er blevet løst i det 19.århundrede.

Jeg er besluttet på at offentliggøre et værk om paralleller, så snart jeg kan sætte det i orden, fuldføre det, og muligheden opstår. Jeg har endnu ikke fundet ud af det, men den Vej, jeg har fulgt, er næsten sikker på at føre mig til mit mål, forudsat at dette mål er muligt. Jeg har det endnu ikke, men jeg har fundet ting så storslåede, at jeg var forbløffet. Det ville være en evig skam, hvis disse ting gik tabt, som du, min kære fader, må indrømme, når du så dem. Alt jeg kan sige nu er, at jeg har skabt en ny og anderledes verden ud af ingenting., Alt, hvad jeg har sendt dig indtil videre, er som et korthus sammenlignet med et tårn. – J .nos Bolyai

Bolyai, Lobachevsky og Gauss har skabt en ny verden, hvor alle Euklids postulater holder undtagen den femte, hvilket viser, at det femte postulat ikke kunne bevises fra de andre. Da Euclid mente, at en sådan ting ikke kunne eksistere, er det blevet kaldt af Gauss ikke-euklidisk geometri.

i dag kalder vi denne hyperbolske geometri, mens (todimensionel) ikke-euklidisk geometri kunne være hyperbolsk eller sfærisk., En kugle er buet i den tredje dimension; vi siger, at den har konstant positiv krumning. (Jordens overflade er en god tilnærmelse, selvom krumningen ikke er nøjagtigt konstant: den er lidt mere flad på polerne.) Euklidisk geometri har krumning 0, mens den hyperbolske geometri har konstant negativ krumning.,

Du kan nemt fortælle, om du er i en ikke-euklidisk verden på følgende måder:

• Kig efter parallelle linjer. I euklidisk geometri er de i konstante afstande fra hinanden., I sfærisk geometri konvergerer de, og i hyperbolsk geometri afviger de.
• se på vinklerne i en trekant. I euklidisk geometri opsummerer de op til 180 grader. I sfærisk geometri opsummerer de op til mere (for eksempel tager Nordpolen og to hjørner på ækvator som hjørner). I hyperbolsk geometri opsummerer de op til mindre.
• en nem måde at fortælle, om et spil bruger virkelig ikke-euklidisk geometri er at kigge efter rektangler., I ikke-euklidisk geometri er der ingen rektangler, noget der ligner et rektangel har faktisk sine vinkler mindre end 90 grader, eller dets kanter er buede. Så hvis du ser rektangler, er spillet (sandsynligvis) ikke ikke-euklidisk.
• i euklidisk geometri har en cirkel med radius r omkreds 2nr. I sfærisk geometri er det 2nsin (r) (som er afgrænset), og i hyperbolsk geometri er det 2nsinh (r) (som vokser eksponentielt). I en tredimensionel hyperbolsk verden med” absolut enhed ” på 1m, vil en kugle med radius 100m have større volumen end det observerbare univers!,
• I virkelig ikke-euklidiske 3D-spil og simuleringer fungerer paralla theen anderledes. I det euklidiske rum ses ting, der er langt væk fra dig (stjerner, fjerne bjerge) omtrent det samme sted, som du bevæger dig. Dette ændrer sig i ikke-euklidiske geometrier: i hyperbolsk rum bevæger alt sig, mens andre ikke-euklidiske geometrier er endnu mere underlige.

spil vores HyperRogue for at udforske en ikke-euklidisk verden og få nogle intuitioner om, hvordan ikke-euklidisk geometri fungerer. Det vigtigste gameplay er designet til det hyperbolske plan, men du kan også eksperimentere med andre 2D-og 3D-geometrier.,

Mangfoldigheder

Spil, der hævder at være ikke-Euklidisk har normalt verdener opnås ved at udføre en slags “operation”: vi skærer nogle fragmenter (kamre) ud af et Euklidisk rum, og lim dem sammen i en ikke-standard måde. I 3D-spil, det sted, hvor vi udførte kirurgi typisk ligner en portal, men spillet kan også gøre operationen synes problemfri., Matematisk kan dette kaldes en Euklidisk (eller hjemme) manifold (med grænse); Euklidisk/hjemme, fordi det er lavet af fragmenter af Euklidisk rum, og “med grænse”, fordi der er typisk nogle vægge, som du ikke kunne gå igennem, og nogle punkter indenfor disse vægge kunne ikke selv være modelleret konsekvent (vægge af portaler). Det er også muligt at have manifolds uden grænse; typisk disse ligne periodiske rum.sådanne spil kaldes sandsynligvis ikke-euklidisk, fordi deres geometri er umulig at fortolke konsekvent som en del af en verden, der ligner vores., I en euklidisk verden, når du går 10m, drej 90 grader til højre, gå 10m, drej 90 grader til højre, gå 10m, drej 90 grader til højre, gå 10m og drej 90 grader til højre, vender du tilbage til dit udgangspunkt og orientering. I en manifold (og også i ikke-euklidisk geometri som beskrevet ovenfor) er det muligt at ende i et andet punkt. (Et godt eksempel på dette er VR project Tea For God, hvor VR-verdenen du udforsker er enorm, mens du i den virkelige verden bare går frem og tilbage omkring et lille rum.,) Det er også muligt at lave en løkke, der bringer dig tilbage til dit udgangspunkt inde i manifolden, men ville være anderledes i euklidisk verden. Dette er imidlertid ikke, hvad ikke-euklidisk geometri betyder for en matematiker. Kirurgi ændrer rummets topologi, men det ændrer ikke dens geometri.

i en manifold kan du undertiden finde trekanter, hvis vinkler opsummerer noget andet end 180 grader, eller parallelle linjer, der holder op med at være tæt, når en af dem går gennem en portal., Men i en virkelig ikke-euklidisk verden sker disse fænomener selv for meget små trekanter og for hvert par linjer. Effekter som denne animation kunne ikke opnås ved hjælp af portaler-i ikke-euklidisk geometri er det muligt at se hele den retvinklede Femkant på oncen gang, mens med portaler vil en af de fem rette vinkler altid være skjult bag en portal.

en nem (men begrænset) måde at implementere en manifold i et spil er at lave usynlige teleportationsenheder, som problemfrit teleporterer afspilleren til et andet sted, der ser nøjagtigt det samme ud., Denne teknik virker i stort set enhver spilmotor (selv i Minecraft). Jeg har set mange kommentarer under videoer ved hjælp af denne teknik, der siger “dette er ikke ikke-euklidisk, du bruger bare teleporter!”Disse kommentarer er rigtige, at dette ikke er ikke-euklidisk i matematisk forstand, men at bruge teleporter har intet at gøre med det. Generelt synes jeg, at stemningen er underlig. Det er effekten, der betyder noget, ikke hvordan den implementeres. Ethvert videospil er trods alt en illusion.

selvfølgelig kunne vi også gøre dette ved at starte med ikke-euklidisk rum og opnå en ikke-euklidisk manifold., Hyperbolske manifolds er typisk afgrænset, og dermed mister de deres eksponentielle vækst (og afhængigt af spildesignet kan denne eksponentielle vækst være et stort teknisk problem); parallelle linjer og trekanter fungerer dog stadig forskelligt.

når afstanden ikke er den euklidiske metrisk

Jeg har set nogle mennesker hævder, at alle spil, der spilles på firkantede gitre er ikke-euklidisk., Dette er fordi, i sådan et spil, antallet af skridt, du skal tage for at nå punkt (x,y) fra punktet (0,0) er givet ved formlen, |x|+|y| (såkaldte taxaen metrisk) eller max(|x|, |y|) (såkaldte Chebyshev metrisk), eller en anden formel, hvor det sæt af punkter i d skridt er en ottekant, mens den Pythagoræiske læresætning siger, at afstanden mellem disse to punkter er faktisk kvadratroden af x2+y2 (såkaldte Euklidiske metrik). Tilsvarende kan man sige, at HyperRogue ikke er hyperbolsk, da det er et gitterbaseret spil.,faktisk har vi ikke rigtig brug for et gitter til dette problem: hvis du spiller et top-do .n spil med kontinuerlig plads ved hjælp af tastaturet, kan du normalt bevæge dig i otte retninger, så afstanden vil stadig blive givet ved en af formlerne ovenfor. Så dette ville gøre masser af spil ikke-euklidisk.

dette synes at være igen en forvirring som følge af at have flere ting opkaldt efter Euclid. “Ikke-euklidisk” betyder, at Euklids parallelle aksiom ikke er tilfreds, ikke at metrikken er anderledes end den euklidiske metrisk., Gitterbaserede spil opfattes normalt ikke af mennesker som noget underligt, og det forventes, da mange vigtige egenskaber ved disse rum ligner dem i kontinuerlige rum. Parallelle linjer i et kvadratisk gitter fungerer som i euklidisk geometri, mens store vægge i HyperRogue fungerer som lige linjer i hyperbolsk geometri. Et firkantet gitter vokser kvadratisk, ligesom det euklidiske plan, mens HyperRogue-verdenen vokser eksponentielt. Og så videre., Et temmelig imponerende fænomen opstår, når du simulerer, hvordan effekter spredes på et firkantet gitter-for eksempel simulerer du varmeoverførsel (i tid 0 et punkt på gitteret er meget varmt, og du lader varmen sprede sig til andre punkter) eller tilfældig gåtur (i tid 0 er der mange partikler i et punkt på gitteret, og så bevæger hver af dem tilfældigt). Selvom det ved første øjekast kan forekomme, at bølgerne skal sprede sig i firkantede eller ottekantede former (på grund af strukturgitteret), er de faktisk perfekt cirkulære!, Dette sker på et tilstrækkeligt symmetrisk gitter på det euklidiske plan, men vil være anderledes i andre gitter!

kunstnere forbundet med ikke-euklidisk geometri

M. C. Escher har skabt mange gode kunstværker baseret på umulige geometrier, hvilket igen har inspireret mange fantastiske spil. Hvis du læser, at Escher anvendes ikke-euklidisk geometri, det er sandt, han gjorde bruge ikke-euklidisk geometri i hans cirkel grænse serien. Men hvis et spil minder dig om f. eks., Stigende og nedstigende, vandfald, relativitet, dybde eller en anden verden II, godt, disse kunstværker har ikke meget at gøre med ikke-euklidisk geometri. Almindeligt anvendte udtryk for sådanne rum omfatter umuligt rum/geometri eller Escheres .ue.

en anden kunstner, der ofte er forbundet med ikke-euklidisk geometri, er H. P., Lovecraft: overflader for store til at tilhøre en hvilken som helst ting, rigtige eller passende for denne jord geometri af dream-sted, så han var unormal, ikke-Euklidisk, og loathsomely præget af områder og dimensioner, bortset fra vores, kunne Man ikke være sikker på, at havet og jorden var vandret, og dermed den relative position af alt det andet syntes phantasmally variabel. en vinkel, der var akut, men opførte sig som om den var stump. (H. P., Lovecraft, Call of Cthulhu) Disse beskrivelser er meget vage, men de beskriver nogle af de følelser, en lægmand, der har, hvor de udforsker en ikke-Euklidisk simulering ganske godt, selv forbavsende godt i betragtning af den kendsgerning, at Lovecraft havde ikke adgang til sådanne simuleringer: han nævner, at der er noget meget mærkeligt, om vinklerne i R’Lyeh, og du får denne følelse i et ikke-Euklidisk simulation, mens den er i spil ved hjælp af “ikke-Euklidisk” i et ikke-matematisk betydning, vinkler at se det meste normal; de minder spilleren mere af Escher er umuligt arkitekturer end R’Lyeh., Denne artikel udforsker dette mere detaljeret.

Spil og interaktive demoer ved hjælp af ikke-Euklidisk geometri

• vores HyperRogue — en roguelike spil, der finder sted i den hyperbolske plan (dvs, to-dimensionelle hyperbolsk geometri). Dette bruger et hyperbolsk plan (uden nogen topologisk kirurgi eller grænse), så dens verden er større end ingen mands himmel, MineCraft eller noget euklidisk.
• Bringris-vores ikke-euklidisk faldende blok spil (svarende til Tetris), lavet med HyperRogue motor.
• MagicTile-lignende Rubiks terning, men I ikke-euklidisk 2D manifolds.,
• hyperbolsk labyrint-en labyrint i en hyperbolsk 2D manifold.
• Hypernom-dette bruger tredimensionel sfærisk geometri.
• ensartet Polychora-mere tredimensionel sfærisk geometri.
• ikke-euklidisk VR (H3) — dette er tredimensionel hyperbolsk geometri. Se også H2 .r (hyperbolsk i nogle dimensioner og euklidisk i andre dimensioner) og en ny version.
• vores virtuelle hækling-en demo i tredimensionel sfærisk geometri.
• buede rum-flyve gennem tredimensionelle ikke-euklidiske manifolder.,
• Hyperbolic Games-simple spil i 2D hyperbolic manifolds.
• hypers .eeper — Minestryger i hyperbolsk plan.
• Sokyokuban-Sokoban-lignende i det hyperbolske plan, der kan afspilles i en bro .ser. Holonomy gør det interessant. (Se også dette for et andet puslespil baseret på holonomi.)

spil under udvikling

for nylig er der flere seje ikke-euklidiske spilprojekter under udvikling!

• Hypermine — dette er en Minecraft-lignende i tredimensionelt hyperbolsk rum., Skærmbillederne i galleriet er ganske imponerende, og udviklingen skrider ganske godt! (update: desværre går udviklingen langsomt for nylig: ()
• HyperBlock — en anden Minecraft-lignende. Dette bruger H2 .r-geometri, dvs.et hyperbolsk plan med ‘z’ – koordinaten, der arbejder på euklidisk måde.
• Hyperbolica-et ikke-euklidisk spil i udvikling. Traileren viser hyperbolsk geometri og en smule sfærisk geometri., I modsætning til HyperRogue, Hypermine og Hyperbolica, der er fokuseret på gameplay i en uendelig verden, ser det ud til at være mere et historiebaseret spil med gåture, puslespil, skydeelementer og mere mainstream grafik. (Solen i hyperbolsk rum, virker ikke som det er vist i traileren — og det bør det blive synligt lysere, efterhånden som vi bevæger os i retning af det — men forhåbentlig vil det blive ændret 🙂
• Ikke-Euklidisk billard i VR — ideen om kortlægning af en ægte højre-vinklet firkantet bord til en hyperbolsk højre-vinklet pentagon, eller sfærisk retvinklet trekant, er meget cool!,
• sidst men ikke mindst er HyperRogue også under udvikling —dens ikke-euklidiske motor og unikke verden er et godt testgrundlag for forskellige eksperimenter med spilgenrer eller andre underlige geometrier, og resultaterne af disse eksperimenter tilføjes til spillet. Ved at ændre indstillingerne kan du få noget helt andet end den originale roguelike i det hyperbolske plan.Du kan eksperimentere med sfærisk geometri, forskellige manifolds uden grænse, 3D geometrier herunder ikke-isotrope dem; roguelites, racing, puslespil, og så videre.,
• Spaceflu. —de eksisterende videoer viser “fraktal geometry”, men planerne på kickstarter-siden nævner hyperbolsk geometri og endda ikke-isotrop geometri (Solv).

eksempler på bemærkelsesværdige spil, der spilles på manifolds

• asteroider (1979) — når du går gennem den østlige kant af verden, vises du på den vestlige kant; på samme måde for nord eller vest. Dette er en todimensionel flad manifold uden grænse (kaldet en flad torus).
• Pac-Man (1980) – lignende asteroider., I de fleste versioner kan du kun gå gennem e-edge-kanten, men ikke gennem n-s-kanten, hvilket gør den til en cylinder (en manifold med grænse).
• Civili Civilizationation (1991) — som nævnt ovenfor er overfladen af en kugle ikke-euklidisk. Derfor er det umuligt at lave et fladt kort over jorden, som ikke forvrider noget. Desværre tager de fleste spil, der finder sted på en sfærisk planet, ikke hensyn til denne ikke-euklidiske geometri; de tager et fladt kort og foregiver, at dette kort ikke har nogen forvrængninger., Civilisationen spilles på en cylinder (Du kan ikke gå gennem en pol, mens i den virkelige verden ville den korteste flyvning fra Europa til Ha .aii gå gennem Nordpolen). Nogle andre spil spilles på flat tori, som i en vis forstand er endnu mere forskellig fra en kugle.
• Portal (2007) — når du placerer nogle portaler, verden bliver en manifold med grænse.
• Manifold Garden (2019) — det bruger udtrykket “manifold” korrekt. Jeg har ikke spillet det endnu, det ser ud til at være for det meste en tredimensionel flad torus (dvs .,, en tredimensionel flad manifold uden grænse), men den har også nogle portaler.fragmenter af Euclid, Parado.Vector — disse spil er på Escheres .ue euklidiske manifolds. Escheres likeue som i Eschers relativitet eller en anden verden: retningerne er ikke konsistente. Fragmenter af Euclid er et puslespil, mens Parado.Vector er en FPS.
• Model (for at blive udgivet i 2020) ser ud til at være et spil med portaler, hvor den ene ende af portalen kan være større end den anden ende, og derfor objekter kan blive større eller mindre, efter at gå gennem portalen., Mirror stage (2009) er en lignende id.i 2D; se også Sierpi .skis Grav. Det er også muligt at have portaler, hvor den ene ende er en firkant og den anden ende er et rektangel, hvilket får objekterne til at blive strakt af portaler (se også min gamle demo baseret på en lignende id.). Dette er ikke længere en euklidisk manifold, men snarere en affine (vi kunne kalde det en “lignende manifold”, hvis kun skalering er tilladt, men det udtryk ser ikke ud til at blive brugt)., Affine / lignende geometri er anderledes end euklidisk geometri (3.aksiom bliver meningsløst), men det kaldes stadig ikke ikke-euklidisk, da parallelle linjer ikke påvirkes.

andre bemærkelsesværdige spil, der er geometrisk underlige

• Antichamber — dette spil er sandsynligvis ansvarlig for at popularisere den matematisk forkerte brug af udtrykket “ikke-euklidisk”. Dette er for det meste et euklidisk manifold (med grænse), men udviser også nogle effekter, der ikke ville ske i en manifold (f.eks., Jeg tror, at næsten alle de underlige ting i Antichamber kunne (og sandsynligvis have været) implementeret med teleportationstrikset beskrevet ovenfor.
• fire-dimensionelle spil. Nogle mennesker kan tænke på disse spil som ikke-euklidisk, fordi fire rumlige dimensioner ikke ville passe ind i vores tredimensionelle verden. Men en verden, der fungerer ligesom vores gamle tredimensionelle euklidisk rum, bortset fra at det har flere dimensioner, er stadig absolut euklidisk (ifølge definition)., Det er selvfølgelig muligt at have et firedimensionelt ikke-euklidisk rum, men i skrivende stund ser det ud til, at intet spil forsøgte at gennemføre dette.
• Perspektivtricks, såsom Fe., Echodrome, Monument Valley, Naya ‘ s Questuest eller perspektiv. Superliminal har nogle perspektiv og “affine manifold” aspekter. Disse spil er underlige og seje, men bør heller ikke kaldes ikke-euklidisk. Jeg vil kalde nogle af dem Escheres .ue.

Videoer, der hævder at være ikke-Euklidisk (korrekt eller ej)

• Ikke Knude — et klassisk video med ikke-Euklidisk 3D geometri.,
• ikke-euklidisk virtuel virkelighed-dette er ikke-euklidisk i matematisk forstand.
• vores tempel af Cthulhu i 3D – “firkanterne” er faktisk buede. Ved første øjekast ser det ud til, at denne verden består af en sekvens af mindre og mindre bolde. Faktisk er disse” bolde ” horosfærer (en form fra hyperbolsk geometri, der ikke rigtig har en euklidisk analog; interessant nok, mens 3D-verdenen her er ikke-euklidisk, er geometrien på horosfæren euklidisk), og de er alle uendelige., (flere lignende videoer)
• vores SolvRogue —mens vi i to dimensioner kun har sfæriske, euklidiske og hyperboliske geometrier, er der endda mere underlige ikke-euklidiske geometrier i tre dimensioner. Gå her for mere.
• Non-Euclidean Worldsorlds engine – denne video starter med Circle Limit af M. C. Escher, som faktisk er baseret på ikke-euklidisk (hyperbolsk) geometri. Imidlertid, det meste af videoen præsenterer en almindelig gammel affine manifold med grænse.
• ” Nej! Euclid!”GPU Ray Tracer får en opgradering! – dette er ganske interessant, fordi dette faktisk er et buet rum, der ikke er baseret på kirurgi.,

tak til Henry Segerman for at foreslå forbedringer, og til alle udviklere, der forsøger at skabe disse mindbending geometriske oplevelser!